Дополнения из коммутативной алгебры

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Для дальнейшего нам понадобится ряд утверждений и определений из коммутативной алгебры. Пусть А – некоторое коммутативное кольцо с единицей и S – подполугруппа мультипликативной полугруппы в кольце А. Под полугруппой мы, по определению, имеем в виду множество с ассоциативной бинарной (в нашем случае – в мультипликативной записи) операцией. Мы ввели отношение эквивалентности в кольце частных A_S через условие Оре на пары (a,s), s∈S, a∈A, а соответствующий класс эквивалентности обозначили через a∕s. Кольцо A_S частных обладает свойством универсальности, о чем сообщает нам следующая теорема.

Теорема (свойство универсальности кольца частных). Пусть g:A⟶B – некоторый гомоморфизм колец, для которого все g(s), s∈S, являются единицами в кольце B. Тогда существует единственный гомоморфизм колец h:A_S⟶B, такой, что при 𝑓(x)=x∕1 следующая диаграмма коммутативна:

A B

𝑓 h

A_S

Доказательство. Сначала установим единственность h. Если гомоморфизм h существует, то h(a∕1)=h𝑓(a)=g(a) для любого элемента a∈A из кольца A. Значит h(1∕s)=h((s∕1)^-1)=h(s/1)^-1=g(s)^-1 для любого s∈S, и, тогда h(a/s)=h(a/1)h(1/s)=g(a)g(s)^-1, из чего следует, что h восстанавливается по g. Это же равенство показывает нам, что h – гомоморфизм.

Проверим корректность определения, то есть докажем существование гомоморфизма h. Пусть a/s=a'/s', но тогда существует элемент t из S, такой, что выполняется равенство (as'−a's)t=0 и, значит (g(a)g(s')−g(a')g(s))g(t)=0. А по условию g(t)=1 в кольце B, что дает нам g(a)g(s')=g(a')g(s)). Следовательно, мы имеем равенство g(a)g(s)^-1=g(a')g(s'))^-1, которое и доказывает теорему. □

Из свойства универсальности следует, что если мы наложим на гомоморфизм g дополнительные условия, а именно, что g(a)=0 если as=0 для некоторого s∈S и любой элемент из кольца B имеет вид b=g(a)g(s)^-1, то гомоморфизм h превращается в единственный изоморфизм колец A_S и B, с условием коммутативности диаграммы приведенной в доказанной теореме об универсальности кольца частных.

Мы уже знаем, что в процедуре локализации кольца A выбирается некоторый простой идеал J в кольце A, а мультипликативная структура S выбирается в виде дополнения A−J. Выберем элемент простого идеала j∈J, тогда j∕s образуют идеал в кольце частных A_S, обозначим его 𝔐. Если для некоторых двух элементов k∕t∉𝔐, то k∉J и, значит, k – это элемент из дополнения A−J, но тогда k∕t – единица в кольце A. Всякий идеал I из A не содержащийся в 𝔐, но лежащий в A_S, содержит единицу, а значит I=A и 𝔐 – единственный максимальный идеал в A_S. И, следовательно, по определению, A_S является локальным кольцом. В этом нет ничего нового относительно того, что уже было ранее сказано о кольце частных. Актуальность данного момента состоит в том, что переход к кольцу частных подсказывает нам некоторые обобщения.

И первым из обобщений является переход от произвольного кольца A к A-модулю M над этим кольцом. Как это уже было сделано для кольца – мы выбираем мультипликативно замкнутое подмножество S из A и рассматриваем пары (m, s) прямого произведения M⨯S. Отношение эквивалентности мы выбираем таким образом, что две пары (m, s) и (m', s') являются эквивалентными, если выполняется условие t(sm'−s'm)=0 для некоторого элемента t из S. Символом m∕s будем обозначать класс эквивалентности для пары (m, s), а получающийся по данному отношению эквивалентности модуль, являющийся множеством классов этих эквивалентностей, обозначим как M_S. Переход от модуля M к модулю M_S является точной операцией, т.е. справедливо следующее предложение.

Предложение 1. Если последовательность M' M M'' точна в члене M, то последовательность M'_S M_S M''_S точна в члене M_S.

Данное предложение доказывается простой проверкой операций, следующих из определения. Под точностью в члене M мы, как всегда, понимаем, что Im𝑓=Ker (соответственно, Im𝑓_s=Ker𝑔_s для члена M_S). Для нас важным будет наличие изоморфизма между A_S-модулем M_S и тензорным произведением соответствующих модулей A_S⊗_AM над кольцом А. Оказывается, что справедливо следующее предложение.

Предложение 2. Пусть M – некоторый A-модуль. Тогда A_S-модули M_S и A_S⊗_AM A_S⊗_AM изоморфны в том смысле, что существует единственный изоморфизм 𝑓:A_S⊗_AM⟶M_S для которого 𝑓((𝑎∕s)⊗m)=𝑎m∕s, при любых 𝑎∈A, m∈M, s∈S.

Доказательство. Определим отображение A_S⨯M⟶M_S через (𝑎∕s, m) ↦ am∕s. Это отображение A-билинейно. Используя категорную универсальность тензорного произведения (имеется в виду, что оно задано на объектах данной категории с точностью до изоморфизма), мы получаем A-гомоморфизм 𝑓:A_S⊗_AM⟶M_S, удовлетворяющий условию, которое мы накладываем на 𝑓, и который мономорфен и однозначно определен.

Тогда остается показать, что 𝑓 – эпиморфизм.

Пусть (𝑎_i∕s_i)⊗m_i – любой элемент из A_S⊗_AM. Полагаем, что s= s_i∈S и t_i= s_i Тогда

⊗m_i = ⊗m = ⊗𝑎_it_im = ⊗𝑎_it_im

Так что всякий элемент из A_S⊗_AM имеет вид (1∕s)⊗m. Предположим, что m∕s=0, но это означает, что и tm=0 и, значит, что для некоторого t из S, и, следовательно

m = m = tm = 0 = 0.

Из чего мы и делаем вывод, что 𝑓 – эпиморфизм, а значит и изоморфизм. □

Из этого обобщения построения кольца частных можно получить интересные следствия для тензорного произведения в процедуре локализации. Здесь уместно будет ввести определение, которое будет полезно нам в дальнейших вопросах из гомологической алгебры и введенное Ж.-П.Серром. Плоским модулем M над кольцом А называется такой модуль, для которого тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности, а если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность, то модуль называется строго плоским. На категорном языке понятие плоского левого А-модуля М сводится к существованию точного функтора N→M⊗_AN, т.е. функтора, переводящего точные последовательности в точные (в нашем случае – в точные последовательности тензорных произведений). Иногда мы будем использовать правые модули. Так, для любой мультипликативной системы S кольца A кольцо частных A_S является плоским A-модулем.

Следующим важным обобщением является осмысление понятия кольца частных относительно понятия кручения. Вообще, в теории групп кручением называют такие элементы группы, которые имеют конечный порядок, т.е. при некотором ненулевом n∈ℕ обращаются в нейтральный элемент этой группы. Конечно, такие элементы иногда важно учитывать, отсюда и такой интерес к понятию кручения в ряде алгебраических вопросов. Когда все элементы группы являются элементами кручения, то, соответственно, такая группа называется группой кручения или периодической группой. Чтобы наглядно представить группу кручения, возьмем группу поворотов окружности на некоторый угол, так, чтобы такой поворот был меньше, чем длина окружности. Можно записать такую группу, как фактор группу ℚ∕ℤ и она естественным образом будет группой кручения. Нетрудно видеть, что если А – коммутативное кольцо, а A_S – его поле частных для системы S, то A_S∕A так же будет группой кручения. Если М – свободный модуль (и, в частности, любое векторное пространство), то он является модулем без кручения. Поскольку любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел, то элементом кручения будет такой элемент, для которого существует ненулевое n∈ℕ, такое, что умножение на это число обращает его в нулевой элемент. Продолжая данную логику, мы будем называть элементом кручения A-модуля M такой элемент модуля, для которого существует ненулевой элемент кольца, не являющийся делителем нуля, который аннулирует данный элемент (т.е. переводит его в ноль кольца A). Для коммутативных колец множество всех элементов кручения образует подмодуль – подмодуль кручения. И обобщая, если S – мультипликативно замкнутая система кольца А, то элемент m А-модуля М назовем элементом S-кручения, если существует элемент из S, аннулирующий элемент m.

Кручение и процедура локализации для коммутативных колец тесно связаны. Итак, обозначим через Rad(A) – радикал модуля A, являющийся, по определению, пересечением максимальных подмодулей модуля А. Введем для Rad(A) определение кручения следующим, удобным для нас способом. Назовем Rad(A) кручением, если для точной последовательности модулей 0⟶A⟶B⟶C⟶0 точна последовательность 0⟶Rad(A)⟶Rad(B)⟶Rad(C). Или, что эквивалентно по смыслу, в случае, если A – подмодуль модуля B, то Rad(A)=A⋂Rad(B). Обозначим радикал Rad(A), являющийся кручением, через 𝔗. Опуская необходимую строгость, назовем радикальным фильтром 𝔉 кручения 𝔗 совокупность идеалов в кольце R, над которыми задан наш класс модулей, более точно 𝔉={H │ H – идеал в R и 𝔗(R∕H)=R∕H} Причем радикальный фильтр 𝔉 удовлетворяет следующим условиям:

(I) Если H∈𝔉, а K – идеал в R и H⊆K, то K∈𝔉;

(II) Если H∈𝔉, r∈R то (H∶r)={s │ s∈R, rs∈H}∈𝔉 ;

(III) Если K – идеал в R, H⊆K⊆𝔉 и (H∶r)∈𝔉 для любого r∈K, то H∈𝔉.

Здесь значок ∶ обозначает частное идеала H и элемента кольца R. Для дальнейшего построения мы выберем класс правых модулей над некоторым кольцом R. Если 𝔗 – кручение на классе всех правых R-модулей и 𝔉 – его радикальный фильтр, то определим множество R' через выражение:

R' = lim_I_∈𝔉 Hom_R(I, R∕𝔗(R))

В этой записи мы подразумеваем, что для элементов 𝛼 и 𝛽 из R' мы можем считать, что каждый из них принадлежит соответствующему модулю гомоморфизмов, т.е. 𝛼∈Hom_R(I, R∕𝔗(R)), 𝛽∈Hom_R(J, R∕𝔗(R)), I, J∈𝔉, и вот именно этот факт для нас сейчас и важно зафиксировать. Наша цель – установить, что гомоморфизм R в R' является локализацией относительно кручения 𝔗. Для этого установим наличие ряда отображений.

Заметим, что любой гомоморфизм 𝛼₁:I⟶R∕𝔗(R) разложим в произведение естественного отображения I⟶I∕𝔗(I) и гомоморфизма 𝛼₂:I∕𝔗(I)⟶R∕𝔗(R). Далее определим гомоморфизм 𝜗∈Hom_R(I∕𝔗(I), R∕𝔗(R)) полагая его действие на элементы через равенство 𝜗(x+𝔗(I))=x+𝔗(R) для всех x∈I. Объединяя эти отображения, получаем следующую коммутативную диаграмму:

𝛽₂

J' I∕𝔗(I) I

𝜗 𝛼₂ 𝛼₁

𝛽₁=𝛽 ≈

J R∕𝔗(R) R∕𝔗(R)

Пусть в нашем случае J'={x │ x∈J, 𝛽(x)∈Im𝜗} тогда J'∈𝔉 и для любого x из J' можно установить равенство 𝛼₁𝛽₁(x)=𝛼₂(𝛽₂(x)), где 𝛽₂ – ограничение гомоморфизма 𝛽 на J'. Произведение 𝛼𝛽∈Hom_R(J', R∕𝔗(R)). Так определенное умножение в множестве R' придает ему структуру кольца, которое называется кольцом частных относительно кручения 𝔗. Естественный гомоморфизм кольца R в кольцо R' оказывается локализацией правого R-модуля R относительно кручения 𝔗.

Заметим также, что при некоторых условиях для кручения 𝔗, гомоморфизм кольца R в кольцо R' может оказаться вложением (см. работу В.В.Кириченко).

Существуют и другие обобщения локализации, а также интересные связи, например, с ортогональным пополнением полупервичного кольца, если в качестве кручения использовать кручение Ламбека. Здесь, поскольку мы договорились, что будем вводить определения, которые относятся не только к данному параграфу, уместно будет напомнить, что кольцо R называется полупервичным, если 0 – его единственный нильпотентный идеал. В этом случае говорят, что R не имеет нильпотентных идеалов. Кольцо R называется первичным, если произведение двух ненулевых его идеалов является ненулевым идеалом. Коммутативное кольцо первично тогда и только тогда, когда оно является областью целостности. Первичное кольцо естественно полупервично. И.Ламбек (Joachim Lambek) доказал изоморфность пучкового представления коммутативного кольца с единицей на простом спектре представляемого кольца. Хотя доказанный результат он обозначил как теорему Гротендика, предложенная им конструкция является принципиально другой, а именно строится факторный пучок, индуцированный открытым семейством идеалов (0_P) – 0-компонентами по всем простым идеалам кольца. Его идеи по обобщению локализации и связи с его версией понятия кручения оказали немалое влияние на алгебраическую геометрию.

Мы уже достаточно подробно рассмотрели локальные свойства для некоторого коммутативного кольца А. Под этими свойствами мы имели в виду переход к свойствам всех простых идеалов и рассмотрение соответствующих колец частных A_S, где S=A-J, а J – простой идеал. И отмечали, что говоря о локальном свойстве кольца А, мы имеем в виду, что этим же свойством обладают соответствующие кольца частных A_S для всех простых идеалов J кольца А. Также нам известно, что заменив кольцо A на А-модуль M, мы можем говорить о соответствующем модуле M_S. Теперь покажем, что свойство модуля быть плоским является лишь его локальным свойством. Единственное, на что следует обратить внимание – в отношении определения плоскости модуля – поменяем в категорной формулировке левый модуль на правый. Тогда мы можем сказать, что вообще говоря, функтор M⟶M⊗_AN для А-модуля N не является точным, но если тензорное произведение на N переводит точные последовательности в точные, то модуль является плоским и справедливо следующее предложение.

Предложение 3. Для любого А-модуля следующие утверждения равносильны:

(I) М – плоский А-модуль;

(II) M_S – плоский A_S-модуль для всех простых идеалов J из A, S=A-J;

(III) M_S_' – плоский A_S_'-модуль для всех максимальных идеалов I из А, S'=A-I.

Доказательство. Докажем сначала что (I)⬄(II). Это следует из того, что для некоторого гомоморфизма колец 𝑓:A→B тензорное произведение M_B=B⊗_AM является плоским B-модулем в случае, если сам модуль M – плоский, а по Предложениям 1 и 2 настоящего параграфа модуль A_S является плоским A-модулем.

Поскольку всякий максимальный идеал прост, то очевидна эквивалентность утверждений (II)⬄(III).

Последняя эквивалентность (III)⬄(I) следует из свойств тензорного произведения кольца частных, вытекающих из Предложения 2 настоящего параграфа.

Можно показать, что из инъективности гомоморфизма произвольных A_S_'-модулей M'_S_' и M''_S_' следует инъективности гомоморфизма соответствующих A-модулей M' и M'', однако для этого необходимо предполагать, что эти модули конечно порождены.

□

Проясним смысл вышеприведенных конструкций для подмодуля кручения. Для структурной теории супермногообразий процедура локализации очень важна, поскольку для определения супермногообразия мы используем локально окольцованные суперпространства, конечно предполагая наши кольца суперкоммутативными. Впрочем, и под суперсхемой мы понимаем именно локально окольцованное пространство (M,Q(M)), у каждой точки которого имеется такая открытая окрестность U, что (U,Q(M)|_U) изоморфно аффинной суперсхеме в категории локально окольцованных суперпространств. Наиболее важным, в отношении подмодуля кручения, является тот факт, что подмодуль кручения является множеством тех элементов, которые отождествляются при локализации. Поэтому, чтобы мы могли полностью охватить это, несомненно, важное для нас свойство из коммутативной алгебры, мы рассмотрим ряд, давно ставших классическими, результатов, относящихся к структурной теореме для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. Следуя замечательной книге С.Ленга по алгебре (наиболее подходящей для наших конструкций по данному вопросу), мы сначала введем понятие представления для некоторого кольца в соответствующем кольце эндоморфизмов. Но затрагивать матричные представления мы не будем, потому, что ни в классическом, ни в суперкоммутативном случае они нам не понадобятся, а сразу перейдем к теоремам, дающим нам представление о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов.

Итак, пусть К – коммутативное кольцо и Е – некоторый К-модуль. Кольцо К-линейных отображений К-модуля Е в себя образует кольцо К-эндоморфизмов, которое обозначим через End_KE. Пусть также задана некоторая К-алгебра, которую мы обозначим через R и которая задается кольцевым гомоморфизмом K→R, позволяющим рассматривать R в качестве К-модуля. Если рассматривать кольцо К-эндоморфизмов End_KE как К-алгебру, то представление алгебры R в К-модуле Е – это кольцевой гомоморфизм К-алгебр 𝜎:R⟶End_KE, для которого коммутативна следующая диаграмма:

𝜎

R End_KE

Мы можем рассматривать К-модуль Е как End_KE-модуль, а следовательно и как R-модуль, определив действие на элементах как (x, v)↦𝜎(x)v, x∈R, v∈E.

Подгруппа F в E называется инвариантной подгруппой относительно данного представления или инвариантным подмодулем в Е, если действие R оставляет все элементы внутри данной подгруппы, т.е. RF⊂F. Эта группа одновременно R-инвариантна и К-инвариантна. Поскольку нам важны инварианты, мы сделаем акцент на инвариантных подгруппах и будем говорить, что представление в Е неприводимо или просто, если модуль Е нетривиальный, т.е. E≠0, и если единственными инвариантными подмодулями являются только 0 и сам модуль Е. Причем в отношении модуля Е мы также будем говорить о том, что он неприводим или прост, если данное условие выполнено.

Вообще говоря, согласно краткой формулировке Сержа Ленга (который, что также хотелось бы здесь отметить, был учеником Э.Артина и входил в группу Бурбаки) – цель теории представлений состоит в том, чтобы описать структуру всех представлений различных интересных колец и классифицировать их неприводимые представления. Причем в качестве кольца К обычно берется некоторое поле 𝕂, которое даже не обязано быть алгебраически замкнутым. Единственное, что можно добавить к словам С.Ленга – теория представлений и стала тем важнейшим математическим аппаратом, из которого впоследствии выросла теория категорий в виде своеобразного его обобщения. Представления в рамках классической теории представлений описываются как функторы из некоторой категории, например групп или колец, в категорию векторных пространств. Следующим обобщающим шагом стала замена уже самих объектов из теории категорий некоторыми общими, лишь аксиоматически определенными, конструкциями, а категория векторных пространств была заменена другими, иногда совсем неочевидными, категориями.

Для нас сейчас особенно интересным будет один специальный тип представлений. Пусть R-модуль Е раскладывается в E=E₁⊕…⊕E_m – прямую сумму R-подмодулей E_i, причем каждый элемент E_i этой суммы неприводим. Представление из нашей последней коммутативной диаграммы 𝜎 называется в таком случае вполне приводимым или полупростым. Сразу отметим, что не все представления вполне приводимы. Пусть теперь у нас есть элемент v∈E, и пусть E=Rv, что можно записать как E=[v] (иногда пишут (v), а иногда R[v], но поскольку модуль R у нас для следующих четырёх теорем фиксирован, разночтений не должно возникать). Тогда мы будем называть наш R-модуль Е главным и само представление 𝜎 называть главным. Понятно, что множество элементов x∈R, для которых xv=0, будет левым идеалом А в R. Поэлементно отображение R→E задается правилом x↦xv и индуцирует изоморфизм R-модулей R∕A→E, где R рассматривается как левый модуль над собой и R∕A – как фактормодуль. Единичному элементу 1 кольца R при таком отображении соответствует образующая v модуля Е.

Далее мы будем предполагать, что R – целостное (т.е. коммутативное с единицей и без делителей нуля) кольцо главных идеалов и все модули и гомоморфизмы заданы над этим кольцом. Далее, пусть F – свободный R-модуль с базисом {x_i}_i_∈_I. Рассмотрим простой элемент p∈R, понятно, что F∕pF – это векторное пространство над полем R∕pR. Размерность этого векторного пространства равна мощности I нашего свободного модуля F, которая определена однозначно и называется размерностью этого модуля. Докажем одну интуитивно понятную теорему, связанную с размерностью подмодуля.

Теорема 1 (о размерности подмодуля свободного модуля). Пусть F – свободный модуль и M – некоторый его подмодуль. Тогда подмодуль M свободен и его размерность меньше или равна размерности модуля F.

Доказательство. Данное доказательство приведено для случая, когда F имеет конечный базис {x_i}, i=1, …, n. Но применение трансфинитной индукции делает доказательство справедливым и для бесконечномерной размерности. Пусть M_r – пересечение M с [x₁, …, x_r]-модулем, порожденным элементами x₁, …, x_r.

Тогда M₁=M⋂[x₁] – подмодуль в [x₁] и, значит, имеет вид [a₁x₁] для некоторого элемента a₁∈R. Следовательно, M₁либо нулевой, либо свободный модуль размерности 1. Предположим по индукции, что M_r – свободный модуль размерности ≤r и пусть 𝔘 – множество, состоящее из всех элементов a∈R, таких, что существует элемент x∈M, который может быть записан в виде

x = b₁x₁ + … + b_rx_r + ax_r₊₁, где b_i∈R.

Тогда множество 𝔘 является идеалом и, следовательно, это главный идеал, порожденный некоторым элементом a_r₊₁. Если a_r₊₁=0, то M_r₊₁=M_r. Далее по индукции, если a_r₊₁≠0, то пусть элемент m∈M_r₊₁такой, что его коэффициент при x_r₊₁равен a_r₊₁. Если элемент x∈M, то его коэффициент при x_r₊₁делится на a_r₊₁и, значит, существует элемент c∈R, такой, что x−cm лежит в M_r. Следовательно, M=M_r+[m] Но, с другой стороны, понятно, что пересечение M_r⋂[m] пусто и, следовательно, эта сумма прямая M=M_r⊕[m], что и доказывает теорему. □

Следствие 1. Всякий подмодуль E' конечного порожденного модуля E является конечно порожденным подмодулем.

Доказательство. Доказательство следует из свойств нётеровых колец и модулей, и вполне для нас понятно, но мы представим данное следствие, как вытекающее из предыдущей теоремы. Представим E как фактормодуль свободного модуля с конечным числом образующих. Если v₁, …, v_n – образующие модуля E, то возьмем свободный модуль F с базисом {x_i}, i=1, …, n и сделаем отображение x_i на v_i. Согласно теореме 1 о размерности подмодуля свободного модуля, прообраз E' в F свободен и конечно порожден. Следовательно, E'– конечно порожденный модуль. □

Свободный одномерный R-модуль является (и называется) бесконечно циклическим, он изоморфен кольцу R, рассматриваемому как модуль над собой. Таким образом, всякий ненулевой подмодуль бесконечного циклического модуля является бесконечным циклическим. Пусть 𝔗 – подмодуль кручения, являющийся подмодулем в модуле Е (подмодуль всех периодических элементов модуля Е). Конечно порожденный подмодуль кручения (или периодический модуль) является обобщением понятия конечной абелевой группы. Следующая теорема показывает нам устройство конечно порожденного модуля с кручением. Отметим, что всегда надо помнить над каким кольцом R (см. выше) мы делаем наши построения.

Теорема 2 (об устройстве конечно порожденного модуля с кручением). Пусть Е – конечно порожденный модуль и 𝔗 – его подмодуль кручения. Тогда фактормодуль Е∕𝔗 является свободным и существует свободный подмодуль F в Е, такой что Е=𝔗⊕F, причем размерность подмодуля F однозначно определена.

Доказательство. Сначала докажем, что модуль Е∕𝔗 является модулем без кручения. Обозначим через класс вычетов элемента x∈E по модулю кручения 𝔗. Пусть элемент b∈R, b≠0, таков, что b =0, тогда bx∈𝔗 и, значит, существует элемент c∈R, c≠0, для которого cbx=0. Следовательно, x∈𝔗 и =0, что доказывает отсутствие кручения у модуля Е∕𝔗 и этот модуль является конечно порожденным. Пусть M – некоторый конечно порожденный модуль без кручения и {v₁, …, v_n} – максимальное множество элементов в M среди данного конечного множества образующих {y₁, …, y_m}, такое, что множество {v₁, …, v_n} линейно независимо. Если y – одна из образующих, то найдутся элементы a, b₁, …, b_n∈R, не все равные 0, такие, что

ay + b₁v₁ + … + b_nv_n = 0.

Тогда a≠0, поскольку если это не так, то мы вступаем в противоречие с линейной независимостью v₁, …, v_n. Следовательно, ay лежит в R-модуле [v₁, …, v_n]. Таким образом, для каждого j = 1, …, m мы можем найти элемент a_j∈R, a_j≠0, такой, что a_jy_j лежит в R-модуле [v₁, …, v_n]. Пусть a=a₁…a_m – произведение этих элементов, тогда aM содержится в R-модуле [v₁, …, v_n] и a≠0. Отображение x↦ax является инъективным гомоморфизмом, образ которого содержится в свободном модуле, и, по теореме 1 о размерности подмодуля свободного модуля, свободен. Этот образ изоморфен M, из чего следует, что М (а, значит, и Е∕𝔗) свободный модуль. Осталось получить подмодуль F, для этого нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Пусть E и E' – модули, причем модуль E' является свободным. Пусть 𝑓:E→E' – сюръективный гомоморфизм. Тогда существует свободный подмодуль F в E, такой, что ограничение 𝑓 на F индуцирует изоморфизм F≌E', причем E=F⊕Ker𝑓.

Доказательство. Пусть {x'_i}_i_∈_I – базис модуля E'. Обозначим через x_i, i∈I, элемент из Е, для которого 𝑓(x_i)=x'_i. Пусть F – подмодуль в Е, порожденный всеми элементами x_i, i∈I. Тогда можно видеть, что семейство элементов {x_i}_i_∈_I линейно независимо и поэтому модуль F свободен. Для заданного x∈E существуют элементы a_i∈R, такие, что 𝑓(x)=∑a_ix'_i. Тогда x−∑a_ix_i лежит в Ker𝑓, и поэтому E=Ker𝑓+F. Поскольку Ker𝑓⋂F=0, то, следовательно, эта сумма прямая E=F⊕Ker𝑓, что доказывает данную лемму. □

Применив лемму 1 к гомоморфизму E→Е∕𝔗 в теореме 2, мы получим наше разложение Е=𝔗⊕F. Размерность модуля F однозначно определена, поскольку для любого такого разложения модуля Е в прямую сумму Е=𝔗⊕F мы имеем изоморфизм модулей F≌Е∕𝔗. Это доказывает теорему 2. □

Размерность свободного модуля F в теореме 2 называется рангом модуля Е. Чтобы доказать структурную теорему для конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов R, необходимо дополнительно ввести ряд простых определений, которые нам понадобятся исключительно в применении к доказательству этой теоремы. Пусть Е – R-модуль, x∈E, отображение a↦ax является гомоморфизмом R на подмодуль, порожденный элементом x, и ядро этого гомоморфизма является главным идеалом, порожденным некоторым элементом m∈R. Про этот элемент мы будем говорить, что m – период элемента x, он определен однозначно с точностью до умножения на единицу при m≠0. Элемент c∈R, c≠0, называется показателем модуля Е (соответственно элемента x), если cE=0 (соответственно cx=0). Пусть p – простой элемент, обозначим через E(p) подмодуль в Е, состоящий из всех элементов x, обладающих показателем вида p^r, где r≥1. Некоторый любой подмодуль, содержащийся в E(p), называется p-подмодулем в Е. Зафиксируем некоторую систему представителей для простых элементов кольца R (по модулю единиц). Так, например, если R – кольцо многочленов от одного переменного над полем, то возьмем в качестве представителей неприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1.

Пусть m∈R и m≠0, обозначим через E_m ядро отображения x↦mx. Это ядро состоит из всех элементов модуля Е, имеющих показатель m. Модуль Е, в данной интерпретации, называется циклическим, если он изоморфен фактормодулю R∕[a] для некоторого элемента a∈R. Не теряя общности, мы можем считать, что a является произведением простых элементов из нашей системы представителей (конечно, если a≠0). Тогда можно говорить о том, что a есть порядок нашего циклического модуля. Пусть r₁, …, r_s – целые неотрицательные и ненулевые числа, тогда модулем типа (p^r , …, p^r ) называется p-модуль Е, изоморфный прямому произведению циклических модулей ⊕_iR∕(p^r ) для i=1, …, s. И если простой элемент p фиксирован, то можно говорить, что p-модуль Е имеет тип (r₁, …, r_s) относительно данного элемента p. Теперь мы готовы сформулировать и доказать следующую теорему.

Теорема 3 (структурная теорема для конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов). Пусть Е – конечно порожденный периодический ненулевой модуль. Тогда модуль Е является прямой суммой

E = ⊕_p E(p),

взятой по всем простым p, таким, что E(p)≠0. Каждый модуль E(p) может быть записан в виде прямой суммы

E(p) = R∕(p ^v )⊕ … ⊕R∕(p ^v ), где 1≤v₁≤…≤v_s.

Последовательность v₁, …, v_s однозначно определена.

Доказательство. Пусть a – некоторый показатель для Е. Допустим, что a=bc. Это некоторая разбивка показателя на произведение двух элементов из того же кольца (мы помним, что a , b , c∈R по определению), причем мы требуем, чтобы модуль натянутый на b и c являлся единичным (что можно записать как [b, c] = [1]). Далее мы посмотрим, что происходит с модулем Е, когда его показатель разбивается на произведения некоторых элементов и сведем это к представлению элемента a в виде произведения степеней простых элементов. Более строго это можно описать следующим образом. Итак, пусть a=bc с тем условием, которое мы только что потребовали и пусть x, y∈R– такие элементы, что 1=xb+yc. Тогда мы утверждаем, что E=E_b⊕E_c. Наше первое утверждение теоремы получится затем по индукции из представления a в виде произведения степеней простых элементов. Пусть имеется q∈E, тогда q=xbq+ycq. В этой сумме xbq∈E_b, так как cxbq=xaq=0, аналогично ycq∈E_c. Наконец, непосредственно видно, что пересечение E_b⋂E_c=0 и, следовательно, E есть прямая сумма E=E_b⊕E_c.

Теперь докажем, что E(p) является прямой суммой указанного в утверждении теоремы вида. Будем говорить, что элементы y₁, …, y_m некоторого модуля независимы, если, каково бы ни было соотношение a₁y₁+ … +a_my_m=0, где a_i∈R, мы должны иметь a_iy_i=0 для всех i. Конечно, независимость, определенная таким образом, не означает линейной независимости. Понятно, что элементы y₁, …, y_m тогда и только тогда независимы, когда модуль [y₁, …, y_m] обладает разложением в прямую сумму [y₁, …, y_m]=[y₁]⊕ … ⊕[y_m] циклических модулей [y_i], где i=1, …, m. Теперь нам понадобится аналог леммы 1 настоящего параграфа, но для модулей, имеющих показатель, который равен степени простого элемента.

Лемма 2. Пусть Е – периодический модуль с показателем p^r, где r≥1 и где p – некоторый простой элемент. Пусть x₁∈E – элемент периода p^r, E'=E∕[x₁] и y'₁, …, y'_m – независимые элементы из фактормодуля E'. Тогда, для всякого i существует представитель y_i∈E класса y'_i, такой, что период y_i равен периоду y'_i, при этом элементы x₁, y₁, …, y_m независимы.

Доказательство. Пусть элемент y'∈E' имеет период pⁿ для некоторого n≥1 и y – представитель класса y' в Е. Тогда pⁿy∈[x₁] и, следовательно, pⁿy=p^scx₁, c∈R, где p не зависит от c, для некоторого s≤r. Если s=r, то y имеет тот же период, что и y'. Если s<r, то p^scx₁имеет период p^r^-^sи, следовательно, y имеет период pⁿ⁺^r^-^s. Поскольку p^r – показатель для E, то должно выполнятся неравенство n+r−s≤r, таким образом s≥n, и получается, что y−p^s^-ⁿcx₁ является представителем для y', период которого равен pⁿ.

Пусть теперь y_i – представитель для y'_i, имеющий тот же период. Покажем, что элементы x₁, y₁, …, y_m независимы. Допустим, что a, a₁, …, a_m∈R такие элементы, что выполнено равенство ax₁+a₁y₁+ … +a_my_m=0, тогда выполняется и следующее равенство a₁y'₁+ … +a_my'_m=0. По нашему предположению a_iy'_i=0 для всякого i. Если p^r – период y'_i, то p^r делит a_i. Отсюда можно заключить, что a_iy_i=0 для всякого i и что, следовательно, ax₁=0. Тем самым, условие независимости из утверждения леммы доказано и это завершает доказательство леммы 2. □

Далее мы займёмся наиболее содержательным для нас в этой теореме вопросом, как получить разложение E(p) в прямую сумму. Сначала заметим, что модуль E(p) – конечно порожденный. Мы можем предполагать, не теряя общности, что E=E(p). Пусть x₁– элемент из Е, период которого p^r таков, что число r₁ максимально и пусть E'=E∕[x₁]. Можно утверждать, что размерность dimE'_p как векторного пространства над R∕pR строго меньше, чем dimE_p. Действительно, если y'₁, …, y'_m – линейно независимые элементы из E'_p над R∕pR, то из только что доказанной нами леммы 2 вытекает, что dimE_p ≥m+1, т.к. мы всегда можем найти в [x₁] элемент, имеющий период p и не зависимый от y₁, …, y_m, и, следовательно, dimE'_p<dimE_p. Поэтому мы можем доказать существование разложения в прямую сумму по индукции. Если E'≠0, то существуют элементы x'₂, …, x'_s имеющие соответственно периоды p^r , …, p^r и такие, что r₂≥…≥r_s. В силу леммы 2 существуют представители x₂, …, x_s в Е, такие, что x_i имеет период p^r и x₂, …, x_s независимы. Поскольку период p^r был выбран максимальным, мы имеем неравенство r₁≥r₂ и наше разложение в прямую сумму получено.

Осталось доказать единственность нашего разложения в прямую сумму. Оно будет следствием более общей теоремы о единственности, которую мы и собираемся сейчас доказать.

Теорема 4 (о единственности разложения конечно порожденного периодического модуля над кольцом главных идеалов). Пусть Е – конечно порожденный периодический ненулевой модуль. Тогда Е изоморфен прямой сумме ненулевых слагаемых

E ≌ R∕[t₁]⊕ … ⊕R∕[t_r],

где – t₁, …, t_r ненулевые элементы из R и каждый последующий элемент не зависит от выбора предыдущего, за исключением первого (более конкретно – данные элементы располагаются в порядке возрастающей делимости, что можно записать, как t₁│t₂│…│t_r). Последовательность идеалов [t₁], … [t_r] однозначно определена предыдущими условиями.

Доказательство. Используя уже сделанные построения из теоремы 3, разложим Е в прямую сумму p-подмодулей E(p₁)⊕ … ⊕E(p_l), а затем разложим каждый подмодуль в прямую сумму циклических подмодулей периодов . Это разложение можно изобразить в таком виде:

E(p₁) : r₁₁ ≤ r₁₂ ≤…

E(p₂) : r₂₁ ≤ r₂₂ ≤…

……

E(p_l) : r_l₁ ≤ r_l₂ ≤…

Здесь предполагается, что горизонтальные строки имеют одинаковую длину, причем хотя бы одна из них состоит из ненулевых элементов. В начале некоторых строк могут стоять показатели r_ij равные нулю. Строки с исключенными из них нулями описывают типы модулей относительно простых элементов, указанных слева, т.е. относительно p_i. Показатели r_ij расположены в возрастающем порядке, для всякого фиксированного i=1, …, l. Пусть t₁, …, t_r соответствуют столбцам этой матрицы показателей, т.е. мы полагаем, что

t₁ = …

t₂ = …

……

И, как верно замечает А.И.Кострикин, редактор перевода книги Ленга, нам повезло, что нет нужды выписывать последний элемент t_r, поскольку показатели для него были бы не совсем удобными для восприятия. Итак, прямая сумма циклических модулей, представляемых первым столбцом, изоморфна R∕[t₁], поскольку прямая сумма циклических модулей, периоды которых взаимно просты, также является циклическим модулем. Это справедливо и для каждого столбца из разложения. Также заметим, что данное доказательство располагает в порядке возрастающей делимости t_i, о чем и заявлено в утверждении теоремы 4.

Теперь вернемся к доказательству единственности. Пусть p – произвольный простой элемент и предположим, что E=R∕[pb] для некоторого ненулевого b∈R. Тогда E_p является подмодулем в bR∕[pb], что следует из однозначной разложимости на множители в кольце R. Ядром в композиции отображений R→bR→ bR∕[pb] служит в точности подмодуль [p], следовательно, мы имеем изоморфизм R∕[p]≌bR∕[pb].

Пусть теперь модуль Е представлен, как утверждается в теореме 4, в виде прямой суммы из r членов. Элемент w=w₁⊕ … ⊕w_r, w_i∈R∕[t_i], лежит в E_p тогда и только тогда, когда pw_i=0 для всех i. Следовательно, E_p является прямой суммой ядер умножения на p в каждом члене. Но E_p – векторное пространство над R∕[p], и его размерность равна, таким образом, числу членов фактормодуля R∕[t_i], таких, что p делит t_i.

Предположим теперь, что p – простой элемент, делящий t₁, а значит и t_i, для всех i=1, …, r. Пусть Е имеет разложение в прямую сумму из s членов, например E=R∕[t'₁]⊕ … ⊕R∕[t'_s], удовлетворяющее условиям теоремы 4. Тогда элемент p должен делить, по крайней мере, r элементов t'_j, откуда следует, что r≤s. По симметрии r=s и p делит t'_j для всех j.

Рассмотрим теперь модуль pE – в силу предыдущего замечания, и записав t_i=pb_i, мы будем иметь изоморфизм pE≌R∕[b₁]⊕ … ⊕R∕[b_r], причем b₁│…│b_r. Некоторые из b_i могут быть единицами, но те, которые не являются единицами, по индукции определяют свой главный идеал однозначно. Следовательно, записав [b₁]=…=[b_j]=1, но [b_j₊₁]≠1, мы можем утверждать, что последовательность идеалов однозначно определена. Это доказывает утверждение о единственности разложения и, тем самым, завершает доказательство теорем 3 и 4. □

Заметим, что мы в данной серии теорем подразумевали под подмодулями с некоторой образующей именно главные идеалы, порожденные данной образующей, но это вполне корректно в приведенных доказательствах, поскольку рассмотрение идет над кольцом главных идеалов. Собственно, это изначально было нами оговорено, но иногда возникает желание рассмотреть какие-либо дополнительные идеалы в таких модулях, однако им там просто неоткуда взяться исключительно из-за наших первоначальных условий. Идеалы [t₁], … [t_r] из условия теоремы 4 называются инвариантами модуля Е. Продолжение этого увлекательного исследования, развивающего дальнейшую теорию над кольцами главных идеалов, можно найти во всё той же книге С.Ленга. Нам же будет достаточно сделанных выше утверждений. Чтобы понять какую роль занимают модули над кольцами главных идеалов в нашей структурной теории, следует рассмотреть следующую цепочку вложений.

Поля ⊂ Евклидовы кольца ⊂ Кольца главных идеалов ⊂ Факторкольца ⊂

⊂ Целостные кольца ⊂ Коммутативные кольца ⊂ Градуированные коммутативные кольца

Именно так и могут быть устроены сечения пучков в окольцованных пространствах, которые находят свое применение на практике. Если коэффициенты выбраны из некоторого поля, то нам всё достаточно очевидно. Продвигаясь далее по цепочке вложений, мы встречаем евклидово кольцо А – это целостное кольцо, в котором существует функция нормы

n: A∖{0} ⟶ ℤ_≥₀,

удовлетворяющая следующей аксиоме: для любых x , y∈A, где y≠0, найдутся такие q , r∈A, что x=qy+r, причем либо n(y)>n(r), либо r=0. Иногда к этой аксиоме добавляют вторую, а именно, что n(xy)≥n(x) для любых x , y∈A, но она излишняя, поскольку если есть норма, удовлетворяющая первой аксиоме, то из нее можно изготовить, вообще говоря, другую, удовлетворяющую обеим аксиомам. По своей сути, евклидовы кольца – это кольца, в которых возможно деление с остатком (алгоритм Евклида). Примерами таких колец могут служить ℤ (норма – модуль целого числа) и 𝕂[x] (норма – степень многочлена). Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов, для доказательства достаточно выбрать в каждом идеале элемент наименьшей нормы. Устройство конечномерных модулей над кольцами главных идеалов мы только что исследовали и эти результаты будут справедливы и для модулей над евклидовыми кольцами. Таким образом, при простых случаях в отношении модулей мы всегда можем рассматривать, согласно теореме об устройстве конечно порожденного модуля с кручением настоящего параграфа, прямую сумму, разлагающую наш модуль на две части. В случае градуированных модулей нас, конечно, интересует только не нильпотентная часть образующих. Первая часть прямой суммы (см. теорему 2) несет в себе полезную информацию об устройстве модуля над кольцом главных идеалов. Для поля мы получим спектр, состоящий лишь из одной точки. А для колец (модулей), устроенных более нетривиально (но, разумеется, оставаясь в категории модулей над кольцами главных идеалов), спектр будет соответствовать объединению спектров согласно инвариантам подмодуля из условия теоремы 4. Об устройстве такого подмодуля нам всё известно, начиная от устройства его структуры и размерности до единственности его разложения, что, в свою очередь, следует из структурной теоремы для конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов. Нильпотентные образующие градуированного модуля полностью войдут в подмодуль кручения. И, поскольку спектр прямой суммы равен объединению спектров каждого из слагаемых, и учитывая, что при процедуре локализации подмодуль кручения обнуляется, мы можем утверждать, что для модулей (выступающих в качестве конечномерных колец), рассматриваемых в категории конечномерных модулей над кольцом главных идеалов, устройство схем для таких модулей достаточно простое. В этом утверждении мы предположили, что любое коммутативное кольцо можно рассматривать как модуль над собой и именно о спектре таких колец, а значит и схем, сделан наш вывод.

Конечно, в общем случае, переходя к коммутативным и градуированным коммутативным кольцам, наши утверждения становятся неверны и мы должны вместо прямой суммы модулей рассматривать их тензорные произведения. Спектры колец будут устроены сложнее – обычно, в физической практике, рассматриваются спектры, соотнесенные с идеалами, которые порождены постоянными функциями над некоторой окрестностью, над которой определен пучок. Так спектр кольца коэффициентов ℂ[x], наиболее часто встречающийся в виде кольца каких-либо коэффициентов, напоминает спектр ℤ, он состоит из точек, соответствующих наборам идеалов I_a=x−a и общей точки – идеала (0), т.е. Specℂ[x]={(0), … I_a, I_b, I_c,…}. Поэтому, рассмотрим наиболее важные свойства тензорного произведения для модулей над коммутативными кольцами. Тензорное произведение для модулей, несомненно, нужно аккуратно определить (мы ещё не делали этого по отношению к модулям), и затем рассмотреть, что означает тензорное произведение для алгебр. Но сначала остановимся подробнее на точных последовательностях, что может являться и подготовкой к введению в теорию гомологий, которая нам также будет важна в дальнейшем.

Далее будем предполагать, что А – произвольное коммутативное кольцо, мы также можем предполагать, что все рассматриваемые далее А-модули являются и идеалом 𝔄 кольца А (в частности, как мы недавно отмечали, и само кольцо А, и любой его идеал являются А-модулем) и факторкольцом A∕𝔄. Также, очень полезно помнить, что задать А-модуль вида A=𝕂[x] – это то же самое, что задать векторное пространство над полем 𝕂 (и линейный оператор на нем). Итак, последовательность А-модулей M_j и гомоморфизмов

𝑓_i 𝑓_i₊₁

… ⟶ M_i_-1⟶ M_i ⟶ M_i₊₁⟶ …

Называется точной в члене M_i, если Im𝑓_i=Ker𝑓_i₊₁. Эта последовательность называется точной, если она точна во всех своих членах. Приведем важные примеры.

𝑓

Последовательность 0 ⟶ M₁⟶ M₂ точна ⟺ 𝑓 инъективный гомоморфизм.

Последовательность M₂ ⟶ M₃ ⟶ 0 точна ⟺ gсюръективный гомоморфизм.

Следующий пример точной последовательности носит название – короткая точная последовательность:

𝑓 g

0 ⟶ M₁⟶ M₂⟶ M₃ ⟶ 0 точна ⟺ 𝑓 инъективный, g сюръективный и g индуцирует изоморфизм Coker𝑓≌M₂∕𝑓(M₁) на M₃.

Любую длинную точную последовательность можно разбить на короткие точные последовательности, если положить N_i=Im𝑓_i=Ker𝑓_i. Тогда для всех i получаются короткие точные последовательности вида 0⟶N_i⟶M_i⟶N_i₊₁⟶0. Приведем без доказательства два предложения относительно точных последовательностей – их доказательства сводятся к проверке определений и работе с коммутативными диаграммами на основе сделанных утверждений.

Предложение 4. Пусть нам дана последовательность А-модулей и гомоморфизмов:

u 𝑣

M₁⟶ M₀⟶ M₂⟶ 0

Она точна тогда и только тогда, когда для всех А-модулей N точна последовательность

0 ⟶ Hom(M₂, N) ⟶ Hom(M₀, N) ⟶ Hom(M₁, N).

Пусть нам дана последовательность А-модулей и гомоморфизмов:

u 𝑣

0 ⟶ N₁⟶ N₀⟶ N₂

Она точна тогда и только тогда, когда для всех А-модулей M точна последовательность

□

0 ⟶ Hom(M, N₁) ⟶ Hom(M, N₀) ⟶ Hom(M, N₂).

Предложение 5. Пусть нам дана коммутативная диаграмма А-модулей и гомоморфизмов, строки которой точны и которая имеет вид:

u 𝑣

0 M₁ M₀ M₂ 0

𝑓₁ 𝑓₀ 𝑓₂

u' 𝑣'

0 N₁ N₀ N₂ 0

Тогда существует точная последовательность (являющаяся частным случаем точной последовательности гомологий в гомологической алгебре) вида:

0 ⟶ Ker𝑓₁⟶ Ker𝑓₀⟶ Ker𝑓₂⟶ Coker𝑓₁⟶ Coker𝑓₀⟶ Coker𝑓₂⟶ 0,

в которой , являются ограничениями u, 𝑣, а , индуцированы гомоморфизмами u', 𝑣'.

□

Граничный гомоморфизм в данном предложении определяется следующим образом. Если x₂∈𝑓₂, x₂=𝑣(x₀) то для некоторого элемента x₀∈M₀, и 𝑣'(𝑓₀(x₀))=𝑓₂(𝑣(x₀))=0, поэтому 𝑓₀(x₀)∈Ker𝑣'=Imu', так что 𝑓₀(x₀)=u'(y₁) для некоторого y₁∈N₁. По определению, d(x₂) есть образ y₁ в Coker𝑓₁, а проверка точности последовательности, существование которой утверждается в данном предложении, следует из предыдущих определений.

Эти действия с точными последовательностями и утверждения приведенных предложений для точных последовательностей А-модулей нам понадобятся, чтобы сформулировать свойство точности тензорного произведения модулей. Мы можем просто потребовать, как мы это и делали выше, чтобы наши модули были плоскими. Но для полноты изложения, и в силу достаточной важности этих конструкций в суперматематике, мы проделаем далее все необходимые нам действия и проясним значения утверждений для тензорных произведений модулей (для начала ограничивая рассуждения коммутативными кольцами). Как и для классического случая линейных пространств, мы начнем со свойства универсальности.

Пусть у нас есть M, N, P – три А-модуля. Отображение 𝑓:M×N→P называется А-билинейным, если для каждого элемента x∈M отображение N в P, задаваемое поэлементно как y↦𝑓(x, y), является А-линейным, и для каждого элемента y∈N отображение M в P, x↦𝑓(x, y), также А-линейно. Построим А-модуль T, называемый тензорным произведением А-модулей M и N (обозначаемый, как M⊗_AN), который обладает следующим свойством: А-билинейные отображения M⨯N→P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с А-линейными отображениями T→P, каков бы ни был А-модуль Р. Более точно, докажем, что справедливо следующее предложение.

Предложение 6. (об универсальности тензорного произведения модулей) Пусть M, N – некоторые А-модули.

Тогда существует пара (T, g), состоящая из А-модуля T и А-билинейного отображения g, со следующим свойством: для любого А-модуля P и А-билинейного отображения 𝑓:M×N→P существует единственное А-линейное отображение 𝑓':T→P, такое, что 𝑓=𝑓'∘g (иногда, в таком случае, говорят, что любое билинейное отображением может быть пропущено через T).

Если (T, g), (T', g') – две пары с таким свойством, то существует единственный изоморфизм j:T→T', для которого j∘g=g'.

Доказательство. Сначала докажем единственность. Заменив (P, 𝑓) на (T', g'), мы получим единственное отображение j:T→T', для которого g'=j∘g. Переставим T и T', найдем отображение j':T'→T, для которого g=j'∘g'. Поскольку обе композиции j∘j' и j'∘j должны быть тождественными отображениями, мы можем утверждать, что j – изоморфизм.

Теперь докажем существование искомой пары отображений. Обозначим через С свободный А-модуль A⁽^M^x^N⁾, его элементы – это формальные линейные комбинации элементов M×N с коэффициентами из кольца А, т.е. выражения вида a_i(x_i, y_i), где a_i∈A, x_i∈M, y_i∈N.

Пусть D – подмодуль С, порожденный всеми элементами вида

(x+x', y)−(x, y)−(x', y), (x, y+y')−(x, y)−(x, y'), (ax, y)−a(x, y), (x, ay)−a(x, y).

Положим T=C∕D. Для каждого базисного элемента (x, y) из С обозначим через x⨂y его образ в T. Модуль T порожден элементами вида x⨂y, и из определения модуля видно, что его порождающие элементы удовлетворяют соотношениям

(x+x')⨂y=x⨂y+x'⨂y, x⨂(y+y')=x⨂y+x⨂y', (ax)⨂y=x⨂(ay)=a(x⨂y).

Поэтому отображение g:M×N→T, определенное равенством g(x, y)=x⨂y является А-билинейным. Любое отображение 𝑓 произведения M×N в А-модуль P продолжается по линейности до гомоморфизма А-модулей 𝑓'':C→P. А если 𝑓 А-билинейно, то 𝑓'' обращается в нуль на образующих D и, значит, и на всем D. Поэтому 𝑓'' индуцирует однозначно определенный А-гомоморфизм 𝑓' модуля T=C∕D в модуль P, для которого 𝑓'(x⨂y)=𝑓(x, y). Это, в свою, очередь, означает существование пары (T, g) с требуемыми свойствами. □

Понятно, что если заданы два семейства образующих {x_i}_i_∈_I, {y_j}_j_∈_J для соответствующих А-модулей M, N, то элементы x_i⨂y_j порождают А-модуль M⊗_AN. Поэтому, в частности, если А-модули M и N являются конечно порожденными, то и M⊗_AN является конечно порожденным. При построении модуля тензорного произведения мы могли бы рассматривать не билинейные отображения, а начать рассмотрение полилинейных отображений модулей (линейных по каждой переменной) 𝑓:M₁×…×M_r→P, определенных аналогично билинейным. Тогда мы могли бы получить конструкцию кратного тензорного произведения А-модулей T=M₁⊗…⊗M_r, порожденного всевозможными произведениями вида x₁⨂…⨂x_r, x_i∈M_i, 1≤i≤r. Для данной конструкции также справедливо предложение об универсальности. Таким образом, мы можем утверждать, что если M₁, …, M_r – некоторые А-модули, то существует пара (T, g), состоящая из А-модуля T и А-полилинейного отображения g:M₁×…×M_r→T, такая, что для любого А-модуля P и А-полилинейного отображения 𝑓:M₁×…×M_r→P существует единственный А-гомоморфизм 𝑓':T→P, для которого 𝑓'∘g =𝑓. И если (T, g), (T', g') – две пары с таким свойством, то существует единственный изоморфизм j:T→T', для которого j∘g=g'.

Тензорные произведения связаны каноническими изоморфизмами, которые существуют и определены однозначно. Приведем некоторые из них с указанием, как они действуют на элементах соответствующих А-модулей:

(I) M⊗N → N⊗M, x⨂y ↦ y⨂x;

(II) (M⊗N)⊗P → M⊗(N⊗P) → M⊗N⊗P, (x⨂y)⨂z ↦ x⨂(y⨂z) ↦ x⨂y⨂z;

(III) (M⊕N)⊗P → (M⊗P)⊕(N⊗P), (x, y)⨂z ↦ (x⨂z, y⨂z);

(IV) A⊗M → M, a⨂x ↦ ax.

Пусть теперь M является R-модулем, причем кольцо R является целостным (коммутативным, с единицей и без делителей нуля), а Q – соответствующее поле частных. Тогда Q-модуль является обычным векторным пространством M_Q=M⊗_RQ и существует естественный гомоморфизм h:m→m⨂1 абелевой группы M в абелеву группу M_Q, а его ядро является подмодулем кручения 𝔗=Kerh. Таким образом, если рассматривать локализацию кольца R по мультипликативной системе S, мы можем записать, что M_S=M⊗_RR_S и ядро естественного гомоморфизма h суть элементы подмодуля кручения 𝔗. Поэтому подмодуль кручения, в данном случае, понимается как множество тех элементов, которые отождествляются при локализации.

В Предложении 3 настоящего параграфа мы вывели для плоских А-модулей ряд свойств в отношении колец частных. Сейчас мы подойдем к свойствам точности тензорного произведения А-модулей с более общей точки зрения. Пусть у нас имеется А-билинейное отображение 𝑓:M×N→P. Для каждого x∈M отображение N в P, действующее поэлементно как y↦𝑓(x, y), является А-линейным и поэтому 𝑓 индуцирует отображение M→Hom(N, P), которое А-линейно, так как 𝑓 линейно по элементу x. Также понятно, что любой А-гомоморфизм 𝜑:M→Hom_A(N, P) определяет некоторое билинейное отображение (x, y)↦𝜑(x)(y), поэтому множество А-билинейных отображений S={M×N→P} находится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством Hom(M, Hom(N, P)). С другой стороны, S находится во взаимно однозначном соответствии с Hom(M⊗N, P) в силу универсальности тензорного произведения. Поэтому существует канонический изоморфизм

Hom(M⊗N, P) ≌ Hom(M, Hom(N, P)).

Существование данного канонического изоморфизма приводит нас к следующему предложению, имеющему важную интерпретацию в теории категорий.

Предложение 7. Пусть дана точная последовательность А-модулей и гомоморфизмов

𝑓 g

M₁⟶ M₀⟶ M₂⟶ 0 (обозначим её через Е),

и N – некоторый произвольный А-модуль, тогда точна последовательность

𝑓⨂id g⨂id

M₁⊗N M₀⊗N M₂⊗N ⟶ 0 (обозначим её через Е⊗N).

Здесь id – тождественное отображение А-модуля N.

Доказательство. Пусть P – любой А-модуль. Из точности последовательности E в силу Предложения 4 настоящего параграфа следует точность последовательности Hom(E, Hom(N, P)).

В силу существования канонического изоморфизма Hom(M⊗N, P)≌Hom(M, Hom(N, P)), будет точна последовательность Hom(E⊗N, P). Теперь, снова применяя Предложение 4 настоящего параграфа, мы получаем, что последовательность Е⊗N точна. □

Теперь более очевидным становится наше утверждение, относящееся к языку теории категорий, когда мы заранее определили для категории А-модулей, что понятие плоского (левого) А-модуля М сводится к существованию точного функтора N→M⊗_AN. Действительно, пусть T(M)=M⊗N и U(P)=Hom(N, P), тогда канонический изоморфизм Hom(M⊗N, P)≌Hom(M, Hom(N, P)) мы можем записать в виде равенства Hom(T(M), P)=Hom(M, U(P)) для всех А-модулей M и P. А это, в свою очередь, означает, что функтор T присоединен слева к U, а функтор U присоединен справа к функтору T. Доказанное Предложение 7 настоящего параграфа показывает нам, что любой функтор, присоединенный к какому-либо функтору слева, точен справа и наоборот – любой функтор, присоединенный справа, точен слева.

Мы также упоминали, что если N не является плоским А-модулем, то в общем случае последовательность M₁⊗N ⟶ M₀⊗N ⟶ M₂⊗N ⟶ 0, полученная из точной последовательности M₁⟶ M₀⟶ M₂⟶ 0 тензорным умножением на произвольный А-модуль N, может утратить свою точность.

Приведем пример, который демонстрирует сказанное. Пусть A=ℤ. Рассмотрим точную последовательность

𝑓

0 ⟶ ℤ ⟶ ℤ, в которой 𝑓(x)=2x для всех элементов x∈ℤ.

Умножим эту последовательность справа на N=ℤ∕2ℤ, получим последовательность

𝑓⨂id

0 ⟶ ℤ⊗N ℤ⊗N.

Она не является точной, поскольку для любых x⨂y∈ℤ⊗N мы имеем

(𝑓⨂id)(x⨂y) = 2x⨂y = x⨂2y = x⨂0 = 0,

так что 𝑓⨂id является нулевым отображением, однако, ℤ⊗N≠0.

Таким образом, функтор T_N:M⟶M⊗_AN на категории А-модулей и их гомоморфизмов, вообще говоря, не является точным. Именно поэтому, требование к функтору T_N, при котором тензорное умножение переводит точные последовательности в точные, обязывает нас рассматривать плоские А-модули N. Обобщенное предложение для плоских модулей, отражающее ряд их важных свойств, можно сформулировать следующим образом.

Предложение 8 (о некоторых свойствах плоских модулей).

Следующие свойства А-модуля равносильны:

(I) N – плоский A-модуль;

(II) Для любой точной последовательности А-модулей 0⟶M₁⟶M₀⟶M₂⟶0 последовательность 0⟶M₁⊗N⟶M₀⊗N⟶M₂⊗N⟶0 точна;

(III) Если гомоморфизм 𝑓:M₁⟶M₀ является мономорфизмом (инъективен), то и гомоморфизм 𝑓⨂id:M₁⊗N⟶M₀⊗N также является мономорфизмом;

(IV) Если гомоморфизм 𝑓:M₁⟶M₀ является мономорфизмом и модули M₀ и M₁ конечно порождены, то и гомоморфизм 𝑓⨂id:M₁⊗N⟶M₀⊗N является мономорфизмом.

Доказательство. Равносильность свойств (I)⟺(II) проверяется разбиением длинной точной последовательности на короткие точные последовательности. Равносильность (II)⟺(III) следует из предложения 7 настоящего параграфа. Следствие (III)⟹(IV) очевидно, поэтому остается доказать наиболее неочевидное следствие (IV)⟹(III). Предположим, что гомоморфизм 𝑓:M₁⟶M₀ является мономорфизмом, и пусть 𝑢=∑x_i⨂y_i∈Ker(𝑓⨂id), так что ∑𝑓(x₁_i)⨂y_i=0 в M₁⊗N. Обозначим через M^*₁ подмодуль в M₁, порожденный элементами x₁_i, а через 𝑢^* обозначим сумму ∑x₁_i⨂y_i как элемент M^*₁⊗N. Используя канонические изоморфизмы для тензорного произведения модулей, мы можем утверждать, что в M₀ существует конечно порожденный подмодуль M^*₀, содержащий 𝑓(M^*₁) и такой, что ∑𝑓(x₁_i)⨂y_i=0 как элемент M^*₀⊗N. Обозначим через 𝑓^*:M^*₁→M^*₀ соответствующее ограничение гомоморфизма 𝑓, тогда (𝑓^*⨂id)(𝑢^*)=0. Поскольку модули M^*₀ и M^*₁конечно порождены, 𝑓^*⨂id является мономорфизмом, так что 𝑢^*=0 и, следовательно, 𝑢=0. □

Из классической коммутативной алгебры мы не рассмотрели конструкции, связанные с тензорным произведением алгебр. Мы отложим это рассмотрение до параграфа, посвященного супермодулям.

Другие материалы по коммутативной алгебре можно продолжить изучать по многочисленным учебникам и монографиям, посвященным данной теме. Среди них особо отметим фундаментальную по объему представленного материала книгу Д.Айзенбада. Для тех, кому интересны различные упражнения, вероятно будет интересно введение в коммутативную алгебру, написанное лауреатом филдсофской премии, топологом и алгебраистом М.Атья в соавторстве с И.Макдональдом. Также очень полезными могут оказаться книга И.Ламбека по теории колец и модулей и монография Ф.Каша, посвященная той же теме. И обязательно нужно упомянуть две работы, очень полезные для понимания коммутативной алгебры: одну – книгу, изданную группой Бурбаки, и вторую – О.Зарисского и П.Самюэля, обе посвященные коммутативной алгебре.

Обычно, у тех, кто начинает заниматься вопросами суперкоммутативной алгебры, всегда возникает вопрос, к какому случаю – коммутативному или некоммутативному она ближе. Являясь по определению некоммутативной, суперкоммутативная алгебра в целом выглядит как коммутативная и использует в большинстве своем именно коммутативные аналоги для своих утверждений. На практике все сводится к тому, что суперкоммутативные алгебраические конструкции отличаются от коммутативных количеством внутренних автоморфизмов. Иногда это выглядит достаточно парадоксально. Ведь ожидается, что количество внутренних автоморфизмов в суперкоммутативном случае должно быть больше, но, например, алгебра Грассмана имеет автоморфизмов больше, чем она же, понимаемая как супералгебра (той же самой алгебры, но наделенной суперструктурой). Вполне естественно, что хотелось бы сразу определить такую категорию, в которой аналоги групп для преобразований суперпространства имели бы заведомо большее число внутренних симметрий (по отношению к их классическим аналогам), но, на данный момент, этот вопрос не имеет решения.

В тоже время и некоммутативная теория применяется в суперкоммутативном случае практически постоянно, и мы обязаны (исходя из определения суперкоммутативности) для работы с суперкоммутативными конструкциями использовать основы соответствующей некоммутативной техники. Некоторые некоммутативные методы будут рассмотрены нами в третьей части этой работы.

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 224; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!