Пределы применимости формулы Эйлера
Рассмотрим пределы применимости формулы Эйлера для некоторых материалов, используемых в строительстве.
Как показывают эксперимент, формула Эйлера была получена при использовании дифференциального уравнения изогнутой оси, справедливого только в линейной зоне диаграммы напряжений для стали, ограниченной сверху sпц – пределом пропорциональности, т.е. справедливо следующее неравенство:
| (11.6) |
Записывая неравенство (11.6) относительно l, приходим к выражению
| (11.7) |
При подстановке в правую часть (11.7) характеристик мягкой строительной стали обычной прочности (С235 – С285): E = 2,1×105 МПа и sпц » 195 МПа, получим, что значение предельной гибкости lп будет примерно равно 100 (lп = 100), т.е. формула Эйлера справедлива при l ³ 100. Для сталей повышенной прочности применимость формулы Эйлера ограничена l ³ 85. При l < lп применять формулу Эйлера нельзя, так как она дает завышенные значения критической силы, и расчет по ней может привести аварии. При l < lп стержень вступает в упруго-пластическую, а затем и пластическую стадии работы материала.
Дальнейшие рассуждения удобно проводить, изучая диаграмму критических напряжений для малоуглеродистых сталей обычной прочности (рис. 11.3).
Кривая 1-2-3 представляет собой гиперболу, которая построена по формуле Эйлера (гипербола Эйлера). Но она справедлива только на участке 1–2, когда l ³ lп. Стержни, при l ³ lп называют стержнями большой гибкости, которые при потере устойчивости работают в зоне упругих деформаций.
|
|
|
Линия 1-2-5 на рис. 11.4 представляет собой кривую критических напряжений для стали, полученную опытным путем немецким инженером Фридрихом Энгессером. Правее lп она практически совпадает с гиперболой Эйлера (1–2). Левее lп (2–5) она расположена ниже гиперболы Эйлера.
Рис. 11.3. Диаграмма критических напряжений для малоуглеродистой стали обычной прочности
Аналитические решения для определения критических напряжений в зоне 2–5 очень сложны. Поэтому, для их определения при l< lп используют различные эмпирические зависимости. Наиболее распространенной аппроксимацией является ломаная линия 2–4–6, состоящая из наклонной (2–4) и горизонтальной (4–6) прямых.
Линейная зависимость (линия 2–4) на участке (l0£ l< lп) была предложена российским ученым Ясинским Ф.С.
 .
| (11.8) |
Для сталей обычной прочности в формуле Ясинского принимают: а = 310 МПа = 31 кН/см2, b = 1,14 МПа = 0,114 кН/см2. Считают, что значение l0 для сталей обычной прочности находится в пределах 40…60. Стержни, гибкость которых находится в пределах l0£l< lп, можно условно назвать стержнями средней гибкости. При потере устойчивости материал таких стержней работает в зоне упруго-пластических деформаций.
|
|
|
При l < l0 используют аппроксимацию в виде горизонтальной прямой 4-6, а стержни с такими гибкостями называют стержнями малой гибкости. Считают, что такие стержни, длина которых невелика по сравнению с поперечными размерами, будут разрушаться скорее не из-за потери устойчивости, а из-за потери прочности. При достижении напряжениями предела текучести sт возникнут значительные необратимые пластические деформации, которые и считают более опасными. Для стержней малой гибкости (l < l0) принимают
| (11.9) |
где sт – предел текучести.
Рядом современных авторов при l < lп предложено вместо двух прямых использовать одну кривую, описываемую параболической зависимостью
| (11.10) |
где: sт – предел текучести, sпц – предел пропорциональности. При l = lп получаем sкр = sпц, а при l = 0 sкр = sт. Кривая 2–7–6 на рис. 11.3 соответствует формуле (11.10). Недостатками этой формулы являются необходимость введения в расчет значения sпц, которое надо знать дополнительно, а также излишняя формализация процесса вычисления, сопровождающаяся, к сожалению, потерей физического смысла (исчезают понятия о стержнях малой и средней гибкости).
|
|
|
Для сжатых стержней, выполненных из других материалов, также принято, что формула Эйлера справедлива при гибкостях, больших предельной гибкости, т.е. когда l ³ lп. Для каждого материала существует свое значение предельной гибкости. Так, например, для дерева (сосна или лиственница) значение предельной гибкости lп » 70, а для чугуна lп » 80. А вот при меньших гибкостях также применяют различные эмпирические зависимости.
Для хрупких материалов, для сталей некоторых марок и для дерева (материалов, не имеющих предела текучести sт) при l £ lп для определения критических напряжений рекомендуется применять формулу
| (11.11) |
где sв – временное сопротивление (предел прочности). При l = 0 sкр = sв, а при l = lп sкр = sпц.
Если взять для дерева (сосны): lп = 70, sпц = 20 МПа, sв = 33 МПа, то получим для l < lп следующую формулу (в МПа):
| (11.12) |
В случае, когда условия закрепления стержня в разных плоскостях неодинаковые, нужно найти две гибкости в разных плоскостях, выбрать из них максимальную lmax, после чего, исходя из интервала по гибкости, использовать подходящую формулу.
В соответствии с современными исследованиями критические напряжения в стержнях строительных конструкций зависят не только от гибкости и модуля упругости материала, но и от ряда других факторов. На них влияют также: форма сечения, вид материала, остаточные напряжения от сварки и прокатки, случайные эксцентриситеты и др. Поэтому реальные расчеты в сфере строительства по формулам раздела 11.4 не проводят, используя их только для оценочных расчетов.
|
|
|
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 428; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!