Содержание и порядок выполнения
1. Вычертить схему балки с указанием числовых данных.
2. Построить эпюры внутренних силовых факторов с указанием характерных координат.
3. Из условия прочности подобрать двутавровое сечение стальной балки.
4. Определить прогибы и углы поворота сечений на границах участков.
Дано: 
МПа, 
МПа,
м, 
м,
кН/м, 
кН.
Решение:
1) Вычертим схему балки с указанием всех заданных численных величин, рис. 7.
Составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам балки.
Выражения для внутренних усилий 
и 
получим с помощью метода сечений. Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения. При этом поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, т.е. стремиться сдвинуть левую отсечённую часть балки относительно правой вверх. Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсечённой части. Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся в верхней части сечения балки.
Примем за начало отсчёта сечение 
. Будем вести отсчёт справа налево. При этом нужно правильно учитывать знаки моментов и сил, т.к. если слева направо эти величины растут, то справа налево они падают.
На участке 
, 
м:
кН, 
кН, 
кН.
|
|
|
кН∙м, 
кН∙м, 
кН∙м.
На участке 
, 
м:
кН, 
кН, 
кН.
кН∙м,
кН∙м, 
кН∙м.
2) Построение эпюр 
и 
производится по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат эпюры 
откладываются выше оси, отрицательные – ниже. Характер эпюр, на каждом участке, определяется типом уравнения описывающем изменения величин и 
. Нужно заметить, что т.к. поперечная сила является производной от изгибающего момента, то в сечениях, где она равна нулю, эпюра моментов достигает своего экстремального значения (максимума или минимума).
На участке эпюра моментов имеет экстремум, т.к. эпюра сил пересекает ось. Найдем экстремальное значение момента: 
, откуда 
м, т.е. сечение 
, где момент достигает экстремума, расположен на расстоянии м от сечения . Значение момента:
кН∙м.
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (см. рис. 7).
Из построенных эпюр видно, что 
кН и 
кН∙м.
3) Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид
.
Наибольший по модулю момент достигается в опасном сечении 
и равен
кН∙м.
Определяем из условия прочности момент сопротивления сечения балки:
м3 
см3.
Выбираем в качестве профиля сечения в виде двух двутавров №50 с суммарным моментом сопротивления 
см3 и суммарным моментом инерции 
см4. В этом случае жёсткость балки составит: 
МН∙м2.
|
|
|
4) Определим углы поворота и прогибы в сечениях , 
и . Для этого используем метод начальных параметров.
Для определения прогибов используем метод начальных параметров. Выберем начало координат в сечении , ось 
направим вверх, ось 
– влево (см. рис. 7).
Запишем уравнение прогибов и углов поворота:
,
,
где 
– функция прогиба балки; 
, 
– прогиб и угол поворота в начале координат; 
, 
– координаты точек приложения сосредоточенных моментов и сил; 
– координаты начала действия распределённых нагрузок.
Приведём уравнения прогибов и углов поворота к конкретному виду, характерному рассматриваемой балке:
,
.
В уравнениях указаны, какие слагаемые, на каких участках используются. Подставляя исходные данные, получаем
,
.
Определим , , если известно, что в сечении 
перемещение и угол поворота отсутствуют:
,
.
После преобразований получаем
кН∙м2,
кН∙м3.
В итоге уравнения прогибов и углов поворота примут вид:
,
.
Очевидно, что в сечении 
(заделка) отсутствуют прогибы и углы поворота.
Рассмотрим сечение при 
:
м 
мм,
|
|
|
рад.
Рассмотрим сечение при 
:
м 
мм,
рад.
Рис. 7.
Задача 8
Для заданной статически неопределимой рамы требуется:
1) установить степень статической неопределимости;
2) выбрать основную систему;
3) написать канонические уравнения (выражающие условия, что суммарное перемещение от внешних сил и всех лишних неизвестных по направлению каждого из лишних неизвестных равно нулю);
4) построить эпюры от единичных сил, от внешней нагрузки и вычислить при помощи способа Верещагина все перемещения, входящие в канонические уравнения;
5) найти величины лишних неизвестных, решив уравнения;
6) построить окончательные эпюры 
, 
, ;
7) проверить правильность построения окончательной эпюры 
, умножив ее на каждую из единичных эпюр.
Дано: 
кН, 
м, 
м.
Решение:
Вычертим схему рамы, рис. 8 а.
Рис. 8 а.
1)
Степень статической неопределимости системы равна 2, т.к. при пяти неизвестных связях плоская система позволяет написать только три уравнения равновесия.
2)
Существует несколько возможных основных систем, рис. 8 б.
Рис. 8 б.
Для расчётов выбираем 3-ю основную систему.
3)
Составим систему канонических уравнений метода сил:
4)
Составим эпюру расчетных моментов (в основной системе от внешней нагрузки), рис. 8 в.
|
|
|
Рис. 8 в.
Строим эпюры моментов от единичных сил, рис. 8 г, д.
Рис. 8 г.
Рис. 8 д.
Произведение эпюр по методу Верещагина производилось по формуле:
.
Здесь 
– параметры перемножаемых эпюр, изображённых ниже (если эпюра лежит выше оси, то параметр положителен, если ниже – отрицателен).
Произведём вывод этой формулы.
.
, 
, 
;
, 
.
В итоге получаем
– формула получена!
При выпуклости параболической эпюры направленной вниз, площадь эпюры сменит знак и перед слагаемым 
будет знак минус.
Вычисляем коэффициенты 
системы канонических уравнений метода сил. Используем для этого метод перемножения эпюр Верещагина.
м3.
м3.
м3.
м3.
Найдём коэффициенты 
правой части канонической системы:
кН∙м3.
кН∙м3.
5)
Подставим полученные коэффициенты в систему канонических уравнений и решим её.
, откуда 
кН.
Тогда 
кН.
Знак «минус» означает, что направление действия силы 
противоположно указанному на схеме рис. 8 г.
6)
Построим окончательные эпюры 
, 
и 
, рис 8 е.
7)
Проверим правильность построения конечной эпюры 
.
Умножаем эпюру на каждую из единичных.
.
.
Итак, получены верные значения неизвестных реакций.
Рис. 8 е.
Задача 9
Определить из условия прочности необходимые размеры диаметров редукторного ступенчатого вала.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!