Содержание и порядок выполнения

Стр 1 из 3Следующая ⇒

Содержание

Сопротивление материалов. 2

Задача 1. 2

Задача 2. 4

Задача 3. 7

Задача 4. 9

Задача 5. 11

Задача 6. 13

Задача 7. 17

Задача 8. 21

Задача 9. 27

Задача 10. 31

Задача 11. 33

Сопротивление материалов

Шифр: 281281281

Задача 1

Стальной стержень ( МПа) находится под действием продольной силы и собственного веса ( т/м³). Найти перемещение сечения .

Дано: МПа,

кН, Н/м³,

м²,

м, м, м.

Решение:

Рис. 1.

Составим уравнения внутренних усилий . Разбиваем стержень на три участка длиной соответственно , и . Значения внутренних усилий на каждом участке определяем, пользуясь методом сечений начиная со свободного конца. Сжимающие усилия отрицательны, растягивающие – положительны.

С учётом собственного веса.

На участке сила равна

Н, Н.

На участке сила равна

Н,

Н.

На участке сила равна

Н,

Н.

Напряжения определяются по формуле: , где – продольная сила на участке, – площадь поперечного сечения участка.

Определим напряжения на участках:

На участке :

Па, кПа.

На участке :

Па,

кПа,

кПа.

На участке :

Па,

кПа,

кПа.

Перемещение сечения определим как интеграл

Для простоты вычисления данного интеграла, заменим в нем все известные величины их числовыми значениями:

м.

Н.

Н/м.

м.

Ответ: Перемещение сечения равно м.

Задача 2

Абсолютно жёсткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору
и прикреплён к двум стержням при помощи шарниров (рис. 2).

Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу ;
2) найти допускаемую нагрузку , приравнивая большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению МПа; 3) найти предельную грузоподъемность системы и допускаемую нагрузку , если предел текучести МПа и запас прочности ; 4) сравнить величины , полученные при расчете по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам.

Дано: Па, Па,

м, м, м,

м².

Решение:

1) Вычертим нашу стержневую систему (в виде схемы) с указанием всех числовых значений (см. рис. 2).

В стержнях 1 и 2 возникают усилия, которые препятствуют их деформации, т.е. возникают реакции. Реакции направлены противоположно деформированию стержня.

Запишем уравнение равновесия:

Откуда .

Определим изменение длины каждого стержня.

Удлинение (абсолютная деформация) стержня длиной , при действующей на него сжимающей/растягивающей нагрузки , определяется так: .

Удлинение стержня 1: м.

Удлинение стержня 2: м.

Изобразим схематически перемещение балки (см. рис. 2) и определим зависимость между и .

Из подобия треугольников и получаем:

, откуда .

Треугольник является прямоугольным и равнобедренным, т.к. . Это значит, что , следовательно, или

, откуда .

Подставляем в полученную зависимость выражения для и :

Откуда

Тогда

2) Определим допускаемую нагрузку.

Определим напряжение в стержнях:

Напряжение в стержне 1:

Па.

Напряжение в стержне 2:

Па.

Выбираем наибольшее напряжение – . Предполагая, что оно равно допускаемому, имеем

Н.

3) Определим предельную грузоподъёмность системы.

, .

Подставим эти выражения для усилий в уравнение статики:

Откуда

Н.

Определим допускаемую нагрузку: Н.

4) Допускаемая нагрузка во втором случае больше, чем в первом: . Расчёт по допускаемым напряжениям даёт заниженные допускаемые нагрузки.

Рис. 2.

Задача 3

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское напряжённое состояние (одно из трёх главных напряжений равно нулю).

Требуется найти: 1) главные напряжения и направление главных площадок;
2) максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений; 3) относительные деформации ; 4) относительное изменение объема; 5) удельную потенциальную энергию.

Дано: МПа, МПа, МПа, МПа, .

Решение:

1) Сжимающие напряжения считаем отрицательными. Касательные напряжения положительны, если они поворачивают площадку по часовой стрелке.

Определим величины главных напряжений:

МПа.

Т.к. , то .

Определим направление главных площадок

, .

2) Определим максимальные касательные напряжения:

МПа.

3) Определим относительные деформации.

Из обобщённого закона Гука:

4) Найдём относительное изменение объёма:

5) Определим удельную потенциальную энергию деформации:

кДж.

Задача 4

К стальному валу приложены четыре момента (см. рис. 4). Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов; 2) при заданном значении определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей стандартной величины; 3) построить эпюру углов закручивания; 4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: м, Н∙м, Н∙м, Н∙м, МПа, Па.

Решение:

1) Крутящий момент считают отрицательным, если он вращает отсеченную часть вала против часовой стрелки.

Определим крутящий момент в заделке из условия

Отсюда

, Н∙м.

Определим по участкам крутящие моменты:

Момент на участке равен: Н∙м.

Строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 4).

Опасным является участок , т.к. на этом участке крутящий момент по модулю максимален Н∙м.

2) Максимально напряжение сдвига при чистом кручении определяется по формуле , где – полярный момент сопротивления сечения. Условие прочности имеет вид .

Для круглого сечения вала , тогда из условия прочности или , откуда диаметр вала м мм.

При округлении до стандартного размера диаметр вала получаем равным мм.

3) Определим углы закручивания на участках вала. Угол закручивания определяется по формуле , где м⁴ – полярный момент инерции.

Тогда жёсткость Н∙м².

Угол закручивания на участке : рад.

Строим эпюру углов закручивания (см. рис. 4).

4) Найдём наибольший относительный угол закручивания . Как видно, относительный угол закручивания пропорционален крутящему моменту, т.е. он наибольший на том участке вала, где действует наибольший момент.

град/м.

Рис. 4.

Задача 5

Для заданного составного сечения определить положение центра тяжести, главных центральных осей и величину главных моментов инерции.

Дано: швеллер №22а и равнополочный уголок 180´180´12.

Решение:

1) Вычертим сечение в масштабе с указанием размеров (см. рис. 5).

2) Определим положение центра тяжести сечения.

Запишем характеристики сечений по ГОСТ 8510-86 для уголка и ГОСТ 8240-89 для швеллера.

Швеллер №22а: высота – см; ширина – см; площадь – см²;

моменты инерции швеллера относительно осей, проходящих через его центр тяжести – см⁴, см⁴, см⁴ – т.к. он имеет ось симметрии,

расстояние от полки швеллера до центра масс – см.

Уголок 180´180´12: высота/ширина – см; площадь – см²;

моменты инерции уголка относительно осей, проходящих через его центр тяжести – см⁴, см⁴ (с учётом расположения уголка см⁴);

расстояние от оснований уголка до центра масс – см.

Определим координаты центров тяжести швеллера и уголка в осях .

см, см.

Определим положение центра тяжести:

см.

3) Определим моменты инерции относительно центральных осей.

Найдём моменты инерции уголка и швеллера относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения:

см⁴.

Определим моменты инерции всего сечения:

см⁴.

4) Определим положение главных центральных осей.

Для центральных осей должно выполняться равенство: .

Тогда .

Откуда

5) Вычислим главные центральные моменты инерции.

Т.к. , то

см⁴.

Сделаем проверку:

см⁴; см⁴.

Рис. 5.

Задача 6

Подобрать прочные размеры и оценить экономичность подобранных сечений.

Содержание и порядок выполнения

1. Вычертить схему балки с указанием числовых данных.

2. Определить внутренние усилия по участкам и построить эпюры и с указанием характерных координат.

3. Из условия прочности подобрать прочные размеры поперечных сечений стальной балки: круглое ( ), прямоугольное ( ), квадратное ( ) и двутавровое.

4. Оценить экономичность подобранных сечений.

Дано: МПа,

кН, кН/м, кН∙м,

м, м, м, м, .

Решение:

1) Вычертим схему балки с указанием числовых данных, рис. 6.

2) Составим уравнения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам.

Выражения для внутренних усилий и получим с помощью метода сечений. Поперечная сила в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения. При этом поперечная сила считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, т.е. стремиться сдвинуть левую отсечённую часть балки относительно правой вверх.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения всех внешних сил, приложенных к отсечённой части. Момент считается положительным, если сжатые волокна находятся в верхней части сечения балки.

Составим уравнения равновесия и определим реакции опор и .

кН.

Проверка: .

На участке , :

кН, кН, кН.

кН∙м, кН∙м, кН∙м.

На участке , :

кН, кН, кН.

кН∙м,
кН∙м, кН∙м.

На участке , :

кН, кН, кН.

кН∙м,
кН∙м, кН∙м.

На участке , :

кН, кН, кН.

кН∙м,
кН∙м, кН∙м.

Построение эпюр и производится по участкам на основе полученных уравнений. Положительные значения ординат эпюры откладываются выше оси, отрицательные – ниже. Положительные ординаты эпюры откладываются ниже оси, отрицательные выше. Характер эпюр, на каждом участке, определяется типом уравнения описывающем изменения величин и . Нужно заметить, что т.к. поперечная сила является производной от изгибающего момента, то в сечениях, где она равна нулю, эпюра моментов достигает своего экстремального значения (максимума или минимума).

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (см. рис. 6).

3) Определим размеры различных поперечных сечений балки из условия прочности по нормальным напряжениям.

Анализируя эпюру изгибающих моментов, определяем, что наиболее опасным является сечение , в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения:

кН∙м.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид , откуда требуемое значение момента сопротивления сечения балки: м³= 795 см³.

Двутавровое сечение.

По ГОСТ 8239–89 подбираем из таблицы сортаментов номер двутавра, момент сопротивления которого наиболее близок к расчетному. Выбираем двутавр № 40, у которого см³ и площадь сечения см².

Определим наибольшее значение возникающих в сечении напряжений:

МПа .

Прямоугольное сечение.

Определим размеры прямоугольного сечения с соотношением сторон .

, откуда м.

Округляем до ближайшего стандартного размера мм, мм, см².

Определим наибольшее значение возникающих в сечении напряжений:

МПа .

Квадратное сечение.

Определим размеры квадратного сечения.

, откуда м.

Округляем до ближайшего стандартного размера мм, см².

Определим наибольшее значение возникающих в сечении напряжений:

МПа .

Круглое сечение.

Определим размеры круглого сечения.

, откуда м.

Округляем до ближайшего стандартного размера мм, см².

Определим наибольшее значение возникающих в сечении напряжений:

МПа .

Перегруз составляет: , что допустимо.

4) Оценим экономичность подобранных сечений.

Найдём удельный момент сопротивления каждого сечения:

Двутавр: .

Прямоугольник: .

Квадрат: .

Круг: .

Как видим, наиболее рациональными при чистом изгибе является двутавровое сечение. Много хуже двутаврового, но лучше остальных является прямоугольный профиль.

Рис. 6.

Задача 7

Для заданной балки подобрать стандартный двутавр из условия прочности и определить перемещение.

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 654; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!