Построение частного решения неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами при специальной правой части.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n- 1)} + ... + a₁y' + a₀y = f(x). (1)

Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ — десйствительные числа, f(x) — непрерывная на [a, b] правая часть.

Общее решение этого уравнения имеет вид y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + ... + C_ny_n(x) + y*(x),

где С₁, С₂, ..., С_n — произвольные постоянные, y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

 

Если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

f(x) = exp(αx)M_m(x) или

f(x) = exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)), β<>0.

Здесь M_m(x) — многочлен степени m, N_n(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа то  частное решение уравнения (1) имеет  вид

y*(x) = x^rexp(αx)P_m(x) ( r- кратность корня α в харак.урав)

или

y*(x) = x^rexp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)),

где P_k(x) и Q_k(x) — многочлены степени k = max(n,m) с неизвестными коэффициентами, r- кратность корня α+iβ в харак.урав.

P_k(x) = p_kx^k + p_k-1x^k-1 + ... + p₁x + p₀, Q_k(x) = q_kx^k + q_k-1x^k-1 + ... + q₁x + q₀.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов P_k(x) и Q_k(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)) в уравнение и приравниваем в правой и левой части полученного равенства коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx), x²exp(αx)cos(βx), x²exp(αx)sin(βx), ..., x^kexp(αx)cos(βx), x^kexp(αx)sin(βx).

Полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

 

Метод подбора применяется к ограниченному, но достаточно широкому классу правых частей, поскольку квазимногочленами являются функции вида:

M_k(x), M_k(x)exp(αx), M_k(x)cos(βx), M_k(x)sin(βx), exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)).

Подробнее (кому нужно)

Частное решение y*(x) можно найти методом подбора, если правая часть уравнения — квазимногочлен — функция вида

f(x) = exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx)).

Здесь M_m(x) — многочлен степени m, N_n(x) — многочлен степени n, α и β — действительные числа.

Метод подбора вычисления частного решения линейного неоднородного уравнения с квазимногочленом в правой части состоит в следующем.

Внимательно смотрим на правую часть уравнения и записываем число α ± βi.

Затем составим характеристическое уравнение однородного уравнения и найдем его корни. Возможны два случая: среди корней характеристического многочлена нет корня, равного числу α ± βi (нерезонансный случай) и среди корней характеристического многочлена есть r корней, равных числу α ± βi ( резонансный случай).

Рассмотрим нерезонансныйслучай (среди корней характеристического многочлена нет корня, равного числу α ± βi) . Тогда частное решение уравнения будем искать в виде

y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)),

где P_k(x) и Q_k(x) — многочлены степени k = max(n,m) с неизвестными коэффициентами,

P_k(x) = p_kx^k + p_k-1x^k-1 + ... + p₁x + p₀, Q_k(x) = q_kx^k + q_k-1x^k-1 + ... + q₁x + q₀.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов P_k(x) и Q_k(x) , подставим y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx)) в уравнение и приравняем коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx), x²exp(αx)cos(βx), x²exp(αx)sin(βx), ..., x^kexp(αx)cos(βx), x^kexp(αx)sin(βx).

Доказано, что полученная таким образом система 2k + 2 уравнений относительно 2k + 2 неизвестных имеет единственное решение.

Рассмотрим резонансный случай (среди корней характеристического многочлена есть r корней, равных числу α ± βi) . Тогда частное решение уравнения будем искать в виде

y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx))x^r,

где P_k(x) и Q_k(x) — многочлены степени k = max(n,m) с неизвестными коэффициентами.

Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочленов P_k(x) и Q_k(x) , подставляем y*(x) = exp(αx)(P_k(x)cos(βx) + Q_k(x)sin(βx))x^rв уравнение и приравниваем коэффициенты при

exp(αx)cos(βx), exp(αx)sin(βx), xexp(αx)cos(βx), xexp(αx)sin(βx), x²exp(αx)cos(βx), x²exp(αx)sin(βx), ..., x^kexp(αx)cos(βx), x^kexp(αx)sin(βx).

 

Пример. Уравнением колебаний называют линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Однородное уравнение y'' + ω₀²y = 0 описывает свободные колебания материальной точки с частотой ω₀².

Неоднородное уравнение — колебания материальной точки под действием внешней периодической силы Fcosω₀x, частота которой ω₀ совпадает с частотой свободных колебаний частицы (резонанс).

Найдём общее решение уравнения колебаний в случае, когда частота свободных колебаний совпадает с частотой внешней вынуждающей силы.

Характеристическое уравнение однородного уравнения λ² + ω₀² = 0 имеет пару комплексно сопряжённых корней λ_1,2 = ± i ω₀.

Фундаментальную систему решений однородного уравнения образуют функции cosω₀x, sinω₀x. Общее решение однородного уравнения имеет вид

y(x, C₁, C₂) = C₁cosω₀x + C₂sinω₀x.

Правая часть уравнения — квазимногочлен exp(αx)(M_m(x)cos(βx) + N_n(x)sin(βx))≡Fcosω₀x , у которого α = 0, β = ω, M_m(x)=M₀ = F, N_n(x)= 0, α ± iβ = iω₀.

Среди коренй характеристического уравнения есть одна пара комплексно сопряжённых корней, равная α ± iβ = iω₀: λ_1,2 = ± i ω₀.

Поэтому будем искать частное решение неоднородного уравнения y*(x) в виде y*(x) =( A cosω x + B sin ω x)x.

Подставим в уранение:

y = (A cosω x + B sin ω x)x,

y' = (−Aω sinω x + B ωcos ω x)x + (A cosω x + B sin ω x),

y'' = (−Aω² cosω x − Bω² sin ω x)x + 2(−Aω sinω x + B ωcos ω x)x ,

y'' + ω₀²y = (−Aω² cosω x − Bω² sin ω x)x + 2(−Aω sinω x + B ωcos ω x)x + ω₀²(A cosω x + B sin ω x)x = 2Bω₀cosω₀ x − 2Asin ω₀ x = Fcos ω₀x.

Приравняв коэффициенты в левой и правой части уравнения 2Bω₀cosω₀ x − 2 Asin ω₀ x = Fcos ω₀x, получим A = 0, B = F/2ω₀и тогда частное решение неоднородного уравнения

Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения

---

Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 296; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!