Дифференциальное уравнение вращательного движения

 

   Пусть на вращающееся твердое тело действует система внешних сил . Реакции связей   и . По теореме о кинетическом моменте

                                         (1)

, т.к. силы  и  пересекают ось z.

Кинетический момент вращающегося тела

                                              (2)

(2) в (1):                                                                        (3)

         или .

Частные случаи.

1.    -равномерное вращение;

2.   - вращение равнопеременное.

   Замечание. При решении практических задач на дифференциальные уравнения знак момента силы «+», если направление вращения тела совпадает с направлением воображаемого вращения под действием силы.

Пример . Направление ветвей ремня, приводящего во вращение шкив, 20 и 40 Н. Шкив имеет вес 80 Н, радиус- 30 см и радиус инерции относительно оси вращения 25 см. Определить угловое ускорение шкива и уравнение его вращения. Вначале шкив находится в покое. Трением пренебречь.

Дано:

 =40 Н                 

=20 Н                         

Р=80 Н                              

30 см=0,3 м

=25 см=0,25 м   

=0                                                                       

Определить:

 

Дифференциальное уравнение вращения шкива .                   (1)   

Момент внешних сил

;

 

, т.к. силы  и  пересекают точку 0.

.                                                                             (2)

Момент инерции шкива                                          

 .                                                                                           (3)

(1) с учетом (2) и (3):

,

.                                                                                                (4)

Проинтегрируем (4) дважды по t.

При начальных условиях:  φ'  φ0=0 получаем

Окончательное уравнение движения шкива  φ

 

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

 

      Приняв за полюс центр масс, уравнения движения плоской фигуры имеют вид:

                            (1) 

     

 

Дифференциальные уравнения центра масс:

                        (2)

           

  Третье дифференциальное уравнение получим из теоремы об изменении кинетического момента в относительном движении по отношению к центру масс в проекции на подвижную ось ( на рис. не показано)

.                                                                 (3)

Т.к. относительное движение вращательное(относительно центра масс), то

(4)

(3) примет вид

                                

φ ’’.

                                                                 (5)

 

Или

  Таким образом, дифференциальные уравнения плоского движения получают

вид:

                                                  

С помощью этих уравнений можно решать две основные задачи динамики плоского движения твердого тела:

1. По заданному плоскому движению находить действующие на тело внешние силы;

2. По заданным внешним силам и начальным условиям определять движение тела.

 

---

Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 493; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!