Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

Теорема о движении центра масс (центра инерции)

 

          Теорема о движении центра масс является следствием теоремы об изменении количества движения системы.

          Ранее было показано, что положение центра масс (геометрическая точка) может быть найдено по формуле

                                         .

,

Продифференцируем равенство по t

, но

             

 

тогда

(1)

                                    

Таким образом, количество движения системы равно количеству движения ее центра масс, в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы.

Продифференцируем (1) по t:

                                                           (а)

Кроме того, по теореме о количестве движения системы

                                                         масс.

.

Спроецируем (2) на оси координат:

,

 ,             (2΄)- дифференциальные уравнения движения центра  

.                    масс(дифференциальные уравнения поступательного 

                                             движения твердого тела).

 

(2) и (2´) выражают теорему о движении центра масс.

 

     Читать. Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Следствия теоремы

1). Из (2). Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю

(∑ ) то скорость центра масс системы остается величиной постоянной

( ).

2). Если проекция главного вектора всех внешних сил на некоторую ось равна нулю, (∑ ), то проекция скорости центра масс системы на эту ось остается неизменной ( ).

Кроме того, если в начальный момент , то , т.е. координата центра масс не изменяется при движении системы.

 

Теорема об изменении момента количества движения

(кинетического момента)

 

         В качестве векторной меры движения наряду с количеством движения можно использовать момент количества движения или кинетический момент .

1. Момент количества движения материальной точки

 

   Пусть материальная точка М массой m движется со скоростью V.

Кинетическим моментом  относительно какого-либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра.

Проведём полную аналогию момента силы  относительно начала координат О и относительно оси z с моментом количества движения точки (различие лишь в направлении векторов).

 

(1)

- алгебраический момент силы относительно точки,

 - алгебраический момент количества движения относительно

                  того же центра.

Если точка совершает сложное движение, то , где .

Проецируя (1) на оси декартовой системы координат, получим выражения моментов количества движения (кинетические моменты) материальной точки относительно этих осей:

(1’)

,

,

.

алгебраические моменты силы и количества движения материальной точки относительно оси Z. координат(z).

,     

.

Теорема об изменении момента количества движения материальной

Точки

Теорема выражает зависимость между моментом количества движения относительно точки и оси и моментом силы относительно тех же точки и оси.

Продифференцируем по t векторное равенство (1)

.

Но , а ,т.к. вектора направлены по одной прямой.

.

движения материальной точки.

Следовательно, (2)- теорема об изменении момента количества

 

Проецируя (2) на оси координат, получим:

            (3)- та же теорема относительно                                          

                                                                 координатных осей.

     Читать (2) и (3). При движении материальной точки производная по времени от момента ее количества движения относительно какого-либо центра (оси) равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра (оси).

---

Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 665; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!