Математическая постановка задачи.
Нагрев элементов коммутационного аппарата протекающим током короткого замыкания является нестационарным нелинейным процессом. Нестационарность является следствием импульсного характера воздействия. Ток протекает в течение единиц секунд, поэтому стационарное распределение температуры не успевает установиться. Нелинейность вызвана тем, что характерные значения перегрева элементов коммутационного аппарата составляют сотни градусов. При таких значениях температуры необходимо учитывать зависимость от температуры не только удельного сопротивления, но и теплопроводности, теплоемкости, а также плотности.
Система уравнений
Сформулируем математическую постановку задачи [15,16] на примере типового элемента - проводника, покрытого слоем изоляции, находящегося в воздухе (рис 2.4). Задачу можно разделить на три области.
I область. Проводник. Искомыми функциями являются потенциал 
и температура 
.
II область. Изолятор. Тут искомой функцией является 
.
III область. Воздух. Здесь определяются следующие функции: 
, скорость 
и давление 
.
Рис. 2.4. Геометрическая модель.
Искомые функции в области проводника (область I) удовлетворяют уравнениям, описывающим процесс протекания тока. Это уравнение Лапласа (2.1) и уравнения (2.2) и (2.3), которые связывают электрический потенциал, напряженность электрического поля и плотность тока:
(2.1)
|
|
|
(2.2)
(2.3)
где j - плотность электрического тока, E - напряженность электрического поля, с - удельное сопротивление материала.
Перейдем к описанию граничных условий, которым должны удовлетворять искомые функции. Так как известным является полный ток, то используются смешанные граничные условия. Поэтому на одном из торцов проводника задается условие равенства нулю потенциала 
, а на противоположном - постоянный ток 
.
На боковой границе задается условие, соответствующее равенству нулю нормальной компоненты электрического поля 
.
Уравнения (2.1) - (2.3) дополняются нестационарным уравнением теплопроводности, справедливым в области I и II. В области проводника I уравнение неоднородное. Его правая часть содержит источник - объемную плотность джоулева тепловыделения (2.4). В области изолятора II уравнение однородное (2.5):
(2.4)
(2.5)
где 
, 
, 
- теплопроводность, плотность и теплоемкость металла, а 
, 
и 
аналогичные величины для слоя изоляции.
На границе раздела металл-изолятор задается условие непрерывности температуры и теплового потока
и 
.
Конвективное течение в окружающем изолированный проводник воздухе (область III) описывается уравнениями (2.6) - (2.8). Уравнение (2.6) описывает распространение тепла в воздухе за счет теплопроводности и конвекции, уравнение Навье-Стокса (2.7) описывает движение вязкой среды, а (2.8) - уравнение неразрывности:
|
|
|
(2.6)
(2.7)
(2.8)
где 
- плотность воздуха, 
- теплопроводность воздуха, 
- теплоемкость воздуха, 
- скорость, 
- давление, g - ускорение свободного падения, 
- кинематическая вязкость воздуха, 
- коэффициент теплового расширения воздуха.
На границе раздела изолятор-воздух задается условие непрерывности температуры 
и теплового потока с учетом излучения
(2.9)
а также условие прилипания 
.
Для исходных уравнений Навье-Стокса и неразрывности можно использовать приближения, которые позволят упростить систему уравнений. Если рассматривать движение воздуха в приближении несжимаемости, что означает достаточно мало меняющееся давление в каком-либо направлении, то в этом случае изменением плотности газа под влиянием давления можно пренебречь. Также можно воспользоваться приближением Буссинеска. В этом случае плотность воздуха считается линейно зависящей от температуры только в той части уравнения, которая описывает массовую силу, а во всех остальных частях плотность постоянна:
|
|
|
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Численная реализация
Задача в данной постановке может быть решена только численно. Для решения задач такого типа наиболее распространенными две программные системы: Comsol Multiphysics и ANSYS. Comsol позволяет моделировать физические процессы, которые описываются уравнениями в частных производных методом конечных элементов. Данный программный продукт отличается повышенным требованием к объему оперативной памяти. ANSYS включает в себя программный пакет Workbench, который позволяет создать геометрическую модель с нуля, либо изменить модель, которая была создана в каком-либо стороннем продукте, например Autodesk Inventor. Определение рассчитываемых уравнений и граничных условий, а также непосредственно сам расчет выполняется в CFX, который также является программным пакетом в составе ANSYS.
Выключатель является сложным геометрическим объектом. Конечноэлементная модель выключателя довольно объемная и состоит примерно из 10ч20 млн. элементов.
При дальнейшем рассмотрении мы разделим задачу расчета теплового поля коммутационного аппарата при воздействии тока термической стойкости на 2 части: "задачу возбуждения" теплового поля в течение первых четырех секунд, когда имеется источник тепла, и задачу последующей трансформации теплового поля при отсутствии источников.
|
|
|
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 265; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!