Векторный способ задания движения точки

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Скоростью точки называют вектор v , равный первой

производной по времени t от ее радиуса-вектора r , то есть от

векторной функции r(t):

Здесь использован принятый в механике символ диф-

ференцирования по времени в виде точки, расположенный над

дифференцируемой функцией.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории

точки в сторону ее движения

Ускорением точки называется вектор a , равный первой

производной по времени t от ее скорости v или второй

производной от ее радиуса-вектора r :

Координатный способ :

проекции , скорости точки v ( вектор) равны первым производным по времени от соответствующих координат точки

Естественный способ

Скорость точки v , направленная по касательной к

траектории, определяется одной проекцией , равной первой

производной по времени от криволинейной координаты s:

Вектор

имеет проекцию на

касательную, равную первой производной по времени от

проекции скорости или второй производной от координаты

s, и проекцию на нормаль , равную отношению квадрата

скорости к радиусу кривизны траектории в данной точке:

4. Твердое тело. В статике и вообще в теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. То есть предполагается, что эти тела не деформируются, не изменяют свою форму и объем, какое бы действие на них не было оказано.

Существует несколько определений:

1. Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.

2. Абсолютно твёрдое тело — механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.

3. Абсолютно твёрдое тело — тело (система), взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.

Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела).

Поступательное движение – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Теорема: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси – такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными.Ось вращения остается неподвижной.

Угловая скорость – величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f' (t).

Угловое ускорение – величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f'' (t).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины и имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом

Направле ние совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно при замедленном вращении

а) Равномерное вращение - вращение с постоянной угловой скоростью

(w = const):

, , .

Пусть при t = 0: j = 0, тогда С = 0 и мы получаем следующее уравнение или закон равномерного вращения:

. (2.33)

в) Равнопеременное вращение - это вращение с постоянным угловым ускорением (e = const):

, , ,

, ,

Пусть при t = 0: w = w0 и j0 = 0, тогда С1 = w0 , C2 = 0. Подставляя найденные значения констант интегрирования в полученные выше выражения, получаем:

, (2.34)

. (2.35)

В полученном законе изменения угловой скорости (2.34) и в уравнении равнопеременного вращения (2.35), угловое ускорение e будет положительным при равноускоренном вращении и отрицательным при равнозамедленным.

В заключение приведем вполне очевидные соотношения, которые часто используются при решении задач:

, (2.36)

где N - число оборотов, n - угловая скорость в оборотах в минуту.

Возьмем в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, некоторую точку , находящуюся на расстоянии от оси вращения. При вращении тела точка движется по окружности радиуса (рис. 2.12, б). Поэтому при повороте тела на угол точка окажется на расстоянии от своего начального положения. Дифференцируя это равенство по времени, получим

Таким образом,

т. е. скорость любой точки вращающегося тела равна произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость. Так как скорость направлена по касательной к окружности, по которой движется точка , а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и ось вращения. Ускорение точки складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение ускоренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное.

. (2.36)

Нормальная составляющая ускорения направлена от точки к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то по формулам (2.22) и (2.25)

10.

Плоскопараллельным (или плоским ) называется такое движение твердого тела , при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!