Смешанное произведение трех векторов

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Принято обозначение смешанного произведения трех векторов (или ).

Геометрические свойства смешанного произведения:

1 модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и ;

2 векторы , и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда .

Если векторы , и заданы декартовыми координатами: , , , то смешанное произведение вычисляется по формуле

Пример. Даны вершины тетраэдра , , , . Найти длину высоты, опущенную из вершины .

Решение.

Тогда

Откуда получим . Вычислим (см. предыдущий пример).

Тогда

Кривые второго порядка

В декартовой системе координат общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

(2)

где не все коэффициенты , и одновременно равны нулю. Если , то уравнение определяет прямую линию.

В декартовой системе координат уравнение (2) примет один из следующих видов:

1) каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом ;

2) каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями и ;

3) канонические уравнения гиперболы:

а) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;

б) каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью ;

4) канонические уравнения параболы:

а) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

б) каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

Используя каноническое уравнение кривой, легко построить график данной линии в декартовой системе координат.

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

а)

Разделим обе части уравнения на 144: . Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . Сделаем схематический чертеж.

б)

парабола с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной оси .

в) .

Преобразуем это уравнение, возведя обе части в квадрат

, , , .

Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями , . Если решить данное уравнение относительно , получим

, .

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой , т.е. половину эллипса, расположенную ниже оси .

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ

Всякое уравнение первой степени относительно и , т. е. уравнение вида

, (6)

где , и - постоянные коэффициенты, причем , определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Если в общем уравнении прямой , то разрешив его относительно , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

, (7)

где - тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси ; - ордината точки пересечения прямой с осью .

Уравнение (8)

является уравнением прямой, которая проходит через точку и имеет угловой коэффициент .

Если в общем уравнении прямой , то, разделив все члены на , получим уравнение прямой «в отрезках»

, (9)

где , – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на осях координат и , соответственно.

Уравнение

, (10)

является уравнением прямой, проходящей через две точки и .

Обозначим , координаты направляющего вектора прямой , тогда (10) примет вид

, (11)

где – точка на прямой. Уравнение (11) называется каноническим уравнением прямой. Введя параметр , из (10) получим параметрические уравнения прямой

где (12)

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

. (13)

Вектор – называется нормальным вектором прямой. Раскрывая в (13) скобки, получим общее уравнение прямой

Таким образом, в общем уравнении прямой, коэффициенты при и суть координаты нормального вектора прямой.

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и . Возможны следующие случаи их взаимного расположения:

1) прямые параллельны (в частности совпадают) тогда и только тогда, когда выполняется условие ;

2) прямые пересекаются в некоторой точке, тогда угол между ними находится по формуле ;

3) прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Пример. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны декартовы координаты вершины острого угла и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон этого треугольника.

Решение.

Найдем уравнение прилежащего катета. Так как , , то уравнение имеет вид . Угол между катетом и гипотенузой в равнобедренном треугольнике равен . Для нахождения уравнения гипотенузы воспользуемся формулой , из которой найдем угловой коэффициент прямой .