Выберем в качестве базисного минора

Следовательно, и система имеет ненулевые решения.

Запишем укороченную систему

В качестве базисных неизвестных выберем и (т. к. в базисный минор выбраны 1-й и 2-й столбцы), тогда и - свободные неизвестные. Полагая , , находим и .

Подставим в первое уравнение системы и найдем :

Запишем общее решение системы

Из общего решения находим любое частное решение. Например, полагая , , получим , . Таким образом, частное решение системы имеет вид: , , , .

Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1

Элементы линейной алгебры

1. Найти значение матричного многочлена , если задан многочлен и матрица

1.1. , .

1.2.

1.3. ,

1.4.

1.5. ,

1.6. ,

1.7. ,

1.8. ,

1.9. ,

1.10. ,

1.11. , .

1.12. , .

1.13.

1.14. ,

1.15.

1.16. ,

1.17. ,

1.18. ,

1.19. ,

1.20. ,

2. Найти произведение матриц и :

2.1

2.2. , .

2.3. ,

2.4.

2.5.

2.6. ,

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12. , .

2.13. ,

2.14.

2.15.

2.16. ,

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

3. Вычислить определитель матрицы из задания 2, соответствующего варианта.

4. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами: 1) Крамера; 2) матричным.

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

5. Найти общее и одно частное решение неоднородной системы линейных уравнений, записать фундаментальную систему решений.

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13. 5.14.

5.15. 5.16.

5.17. 5.18.

5.19. 5.20.

Методические указания к выполнению контрольной работы № 2

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор двумя большими латинскими буквами с общей чертой ( начало вектора, конец вектора) или одной малой (см. рис.)

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону. Число, равное длине вектора, называется его модулем.

Если заданы декартовы координаты вектора , то модуль вектора , обозначаемый символом , вычисляется по формуле: .

Если заданы две точки в декартовой системе координат и , где начало вектора, конец вектора, то координаты вектора вычисляются по формулам .

Операции алгебраического сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

1. Если , , то координаты вектора вычисляются по формулам .

2. Если и действительное число, то координаты вектора вычисляются по формулам .

Пример. Даны два вектора и .

Вычислить а) ; б) .

Решение.

а) ;

Скалярное произведение векторов, его свойства

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается или .

Обозначим через угол между векторами и . Тогда скалярное произведение выражается формулой

Если векторы и заданы декартовыми координатами , , то скалярное произведение вычисляется по формуле

Скалярное произведение векторов и равно нулю ( ) тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. В частности , если или .

Алгебраические свойства скалярного произведения:

2. , где константа;

3. .

С помощью скалярного произведения можно вычислить:

1. Модуль вектора : . Эта формула справедлива для любой системы координат. В частности, в декартовой системе координат данная формула примет вид , где .

2. Косинус угла между векторами и

3. Проекцию вектора на вектор

Пример. Векторы и взаимно перпендикулярны и , . Найти .

Решение.

Пример. Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Решение.

Воспользуемся формулой .

;

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом (или ) и определяемый тремя правилами:

1. , где угол между векторами и ;

2. вектор перпендикулярен к каждому из векторов и ;

3. вектор ориентирован так, что если смотреть с его конца на плоскость векторов и , то кратчайший поворот от к происходит против часовой стрелки (см. рис.)