Краткие теоретические сведения

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Линеаризация – процесс приведения криволинейных статических характеристик звеньев, используемых в процессе управления к прямолинейным характеристикам. Самым распространенным методом, используемым в процессе линеаризации, является метод малых отклонений, который допускает, что отклонения входных и выходных параметров системы в процессе управления от их установившихся значений достаточно малы. В основе метода линеаризации лежит разложение в ряд Тейлора, которое позволяет разложить нелинейную функцию нескольких переменных по степеням малых отклонений этих переменных в окрестностях значений, соответствующих заданному установившемуся режиму.

Пример решения.

Линеаризация нелинейного дифференциального уравнения (ДУ).

3xy - 4x² + 1,5 y = 5 + y

Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х₀ = 1, = 0, = 0. Для определения недостающего начального условия у₀ подставим данные значения в ДУ:

3у₀ - 4 + 0 = 0 + у₀ откуда у₀ = 2.

Введем в рассмотрение функцию

F = 3xy - 4x² + 1,5x’y - 5y’ - y

и определим все ее производные при заданных начальных условиях:

= (3у - 8х = 3*2 - 8*1 = -2,

= (3х + 1,5x’ - 1 = 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,

= (1,5у = 1,5*2 = 3,

= -5.

Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:

-5^.Dy’ + 2^.Dy + 3^.Dх’ - 2^.Dх = 0.

Линеаризация ДУ, заданного в явном виде относительно у, т.е. y = F(x) производится по формуле

то есть, в данном случае нет необходимости искать производные по у.

Задание : (решение задач)

Линеаризовать уравнения статики и динамики в окрестностях номинальных режимов.

Варианты заданий:

Вариант № 1

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 2

y = 2^.х + x³

2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима

x_н= 2 и определить передаточную функцию звена

y⁽²⁾ + y ^.y⁽¹⁾ + y³ = 2 ^. x²_.

Вариант № 2

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 1

y = 2^.х² + x⁵

2. Линеаризовать уравнение динамики в окрестности номинального режима и определить передаточную функцию звена

y⁽²⁾ + y ^.y⁽¹⁾ = 2 ^. u ^.f + f,

u_н = f_н = 0, y_н = 2.

Вариант № 3

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

y = 2 ^. u² ^. f + f³ + 2 ^. u²

u_н = 0,5; f_н = 1

y⁽²⁾ + 2 ^. y ^.y⁽¹⁾ + y = 2 ^. u⁽¹⁾ ^.f + u³,

u_н = 1, f_н = 2.

Вариант № 4

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

y = u ^. f + u²

u_н = 1; f_н = 2.

y⁽²⁾ + y ^.y⁽¹⁾ + y³ = u⁽¹⁾ ^.f + u ^.f + u²,

u_н = 1, f_н = 2.

Вариант № 5

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

2 ^. u ^. - f = 0

u_н = 2; f_н = 1.

y⁽¹⁾ + y + y ^.u - 2 ^. u ^. f + u⁽¹⁾ = 0,

u_н = 0,5, f_н = 1.

Вариант № 6

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима x_н= 1

y² + y^.х² - 2^. x = 0.

y⁽¹⁾ + y = 2 ^. u ^.f + u⁽¹⁾,

u_н = 0,5; f_н = 2.

Вариант № 7

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 2

y² - 2^.u^.x - x³ - 4 = 0.

y⁽²⁾ + y ^.y⁽¹⁾ + y² = 2 ^. x.

Вариант № 8

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 1

y = 4^.х² + x³_.

y^{(1) .}(1 + y) + y = u ^.u⁽¹⁾ +f ^. f⁽¹⁾,

u_н = 2; f_н = 1.

Вариант № 9

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 2

y = 2^.х² + x.

y^{(1) .}(2 + y) + y = u² ^.u⁽¹⁾ +f,

u_н = 0,5; f_н = 1.

Вариант № 10

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 2

y = 2^.х^.(1 + x²).

y⁽²⁾ + y ^.y⁽¹⁾ + y = 2 ^. x³ + x ^.x⁽¹⁾_.

Вариант № 11

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 3

y = 2^.х^.(3 + x)

y ^.y⁽¹⁾ + y = 2 ^. x³ + x ^.x⁽¹⁾_.

Вариант № 12

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

u ^. - 2f ^. y = 0

u_н = 2; f_н = 1.

y⁽¹⁾ + y + u - u ^. f + u⁽¹⁾ = 0,

u_н = 1; f_н = 1.

Вариант № 13

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 1

y² - y ^.x² - 2 ^. x = 0.

y⁽¹⁾ + y ^.y⁽¹⁾ = 2 ^. x - 8 ^.x³;

x_н = 2; y_н = 2.

Вариант № 14

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

2 ^. + u ^. f ^. y = 0

u_н = -2; f_н = 1.

y⁽¹⁾ + y^{(1) .}y² + y = u ^. u⁽¹⁾ + f ^. f⁽¹⁾ ,

u_н = 1; f_н = 2.

Вариант № 15

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 2

y = 3^.х² + 2^.x³_.

y^{(1) .}(1 + 2^.y) + y = u ^.u⁽¹⁾ +^.f ^. f⁽¹⁾,

u_н = 2; f_н = 1.

Вариант № 16

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 1

y = 5^.х² + 3^.x.

y^{(1) .}(2 + 3^.y) + y = u² ^.u⁽¹⁾ +2^.f,

u_н = 1; f_н = 1.

Вариант № 17

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 3

y = 2^.х^.(1 + x²).

y⁽²⁾ + 2^.y ^.y⁽¹⁾ + y = x³ + 3^.x ^.x⁽¹⁾.

Вариант № 18

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 1

y = 2^.х^.(10 + x).

5^.y ^.y⁽¹⁾ + y = 2 ^. x³ + 3^.x ^.x⁽¹⁾_.

Вариант № 19

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

u ^. - 5^.f^. y = 0

u_н = 1; f_н = 2.

y⁽¹⁾ + y + u - 2^.u ^. f + u⁽¹⁾ = 0,

u_н = 0.5; f_н = 1.

Вариант № 20

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 2

y² - 4^.y ^.x² - x = 0.

y⁽¹⁾ + y ^.y⁽¹⁾ = 3 ^. x - 5 ^.x³;

x_н = 2; y_н = 1.

Вариант № 21

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

2 ^. + 2^.u ^. f ^. y = 0

u_н = 2; f_н = 2.

y⁽¹⁾ + y^{(1) .}y² + y = u ^. u⁽¹⁾ + f ^. f⁽¹⁾ ,

u_н = 1; f_н = 1.

Вариант № 22

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

4 ^. + u ^. f ^. y = 0

u_н = -2; f_н = -1.

y⁽¹⁾ + y^{(1) .}y² + y = u ^. u⁽¹⁾ + f ^. f⁽¹⁾ ,

u_н = 1; f_н = 1.

Вариант № 23

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 1

y = 2^.х² + 2^.x³_.

y^{(1) .}(1 + 2^.y) + y = u ^.u⁽¹⁾ +^.f ^. f⁽¹⁾,

u_н = 2; f_н = 2.

Вариант № 24

1. Линеаризовать уравнение статики в окрестности номинального режима

x_н= 3

y = 2^.х² + 3^.x.

y^{(1) .}(2 + 3^.y) + y = u² ^.u⁽¹⁾ +2^.f,

u_н = 1; f_н = 2.

1.5. Контрольные вопросы:

1. Общая форма записи дифференциальных уравнений САУ.

2. Дать описание уравнений статики.

3. Определение и методы линеаризации уравнений.

4. Графическое представление линеаризации уравнений.

5. Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений.

6. Дать описание уравнений состояния.

2. Практическое занятие № 2: «Преобразование Лапласа. Передаточная функция. Расположение корней уравнения на комплексной плоскости.» – 2 часа

2.1. Цель занятия:

Получение практических навыков использования преобразования Лапласа, определения передаточных функций звеньев САУ, нахождения комплексных корней уравнения состояния.

Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 1044; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!