Тема: «Пространственная система сил»

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Пример 1. На тело в форме куба с ребром а — 10 см действуют три силы (рис. 7.6). Определить моменты сил относительно осей координат, совпадающих с ребрами куба.

Решение

1. Моменты сил относительно оси Ох:

2. Моменты сил относительно оси Оу:

3. Моменты сил относительно оси Oz :

Пример 2. На горизонтальном валу закреплены два колеса, ), r₁= 0,4 м;

r₂ = 0,8м. Остальные размеры — на рис. 7.7. К колесу 1 приложена сила F ₁ , к колесу 2 — силы F ₂ = 12 кН, F₃ = 4кН. Определить силу F 1 и реакции в шарнирах А и В в состоянии равновесия.

Напомним:

1. При равновесии выполняются шесть уравнений равновесия. Уравнения моментов следует составлять относительно опор А и В.

2. Силы F ₂ // Ox; F ₁ // Oy; F ₃ // Oy.

Моменты этих сил относительно соответствующих осей равны нулю.

Расчёт следует завершитьпроверкой, использовав дополнительные уравнения равновесия.

Решение

Определяем силу F1, составив уравнение моментов сил относительно оси

Oz :

Определяем реакции в опоре А. На опоре действуют две составляющие реакции (Y_a; X_a).

Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох' (в опоре В).

Поворот вокруг оси Ох' не происходит:

Знак «минус» означает, что реакция направлена в противоположную сторону.

Поворот вокруг оси Оу' не происходит, составляем уравнение моментов сил относительно оси Оу' (в опоре В):

3. Определяем реакции в опоре В. На опоре действуют две составляющие реакции (Х_в; У_в). Составляем уравнение моментов сил относительно оси Ох (опора А):

Составляем уравнение моментов относительно оси Оу (опора А):

4. Проверка. Используем уравнения проекций:

Следовательно, реакции определены верно.

Тема: «Центр тяжести»

Пример 1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

Аналогично определяется Y с

Пример 2. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, получая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометрические характеристики известны. Они приводятся в соответствующих таблицах прокатного профиля.

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необходимые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А₁ = 10,9 см²;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81мм; площадь сечения А₂ = 20,2 см²;

3 — лист 5x100; толщина 5 мм; ширина 100 мм; площадь сечения А₃ = 0,5 • 10 = 5 см².

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно определить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести находится на оси симметрии и координата х_с = 0.

Лист 3: у_з = а/2 = 0,25

3. Определение центра тяжести составного сечения:

Тема: «Кинематика точки»

Пример 1. По заданному закону движения S = 10 + 20t — 5t²([S] = м; [t] = с) определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

(Рекомендуется обойтись без расчетов, использовать метод сравнения заданного уравнения с уравнениями различных видов движений в общем виде.)

Решение

1. Вид движения: равнопеременное

2. При сравнении уравнений очевидно, что

— начальный путь, пройденный до начала отсчета 10 м;

— начальная скорость 20 м/с;

— постоянное касательное ускорение

— ускорение отрицательное, следовательно, движение равнозамедленное, ускорение направлено в сторону, противоположную направлению скорости движения.

3. Определяем время, при котором скорость точки будет равна нулю:

Примечание: Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение — положительная величина, график пути — вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) — отрицательная величина, график пути — выпуклая парабола.

Пример 2 . Точка движется по желобу из точки А в точку D.

Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через В и С?

Скорость движения считать постоянной. Радиус участка АВ = 10 м, радиус участка ВС = 5м.

Решение

1. Рассмотрим участок АВ. Касательное ускорение равно нулю v = const

Нормальное ускорение при переходе через точку В увеличивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги АВ не совпадает с центром дуги ВС.

2. На участке ВС:

— касательное ускорение равно нулю: at = 0;

— нормальное ускорение при переходе через точку С меняется: до точки С движение вращательное, после точки С движение становится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю.

3. На участке CD полное ускорение равно нулю.

Пример 3 . По заданному графику скорости найти путь, пройденный за время движения .

v, _M/C

Решение

1. По графику следует рассмотреть три участка движения. Первый участок — разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).

Уравнение скорости

Ускорение

Второй участок — равномерное движение: v = 8 м/с; a2 = 0

Третий участок – торможение до остановки (равнозамедленное движение)

Уравнение скорости

Ускорение

2. Путь, пройденный за время движения, будет равен:

Пример 4. Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, прошло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, определить время торможения.

Решение

1. Записываем уравнение скорости для равнозамедленного движения:

v = v0 + at = 0

Определяем начальную скорость в м/с:

Выразим ускорение (замедление) из уравнения скорости:

2. Записываем уравнение пути:

После подстановки получим:

3. Определяем время до полной остановки (время торможения):

Тема: «Простейшие виды движения твердого тела»

Пример 1. По заданному графику угловой скорости определить вид вращательного движения.

ω, рад/с

Решение

1. Участок 1 — неравномерное ускоренное движение,

2. Участок 2 — скорость постоянна — движение равномерное w = const.

3. Участок 3 — скорость убывает равномерно — равнозамедленное движение,

Пример 2. Ротор электродвигателя вращается со скоростью, описываемой уравнением Определить вид движения.

Решение

1. Анализируем выражение для скорости: скорость меняется и зависит от времени линейно. Следовательно, угловое ускорение — постоянно,

2. Движение равнопеременное (равноускоренное, т. к. ускорение положительно).

Пример 3. Тело вращалось равноускоренно из состояния покоя сделало 360 оборотов за 2 мин. Определить угловое ускорение.

Пример 4. Тело вращалось с угловой частотой 1200 об/мин.

Затем движение стало равнозамедленным, и за 30 секунд скорость упала до 900 об/мин. Определить число оборотов тела за это время и время до полной остановки.

Решение

1. Построить график изменения скорости за 30 с (рис. 11.9).

Определяем угловую скорость вращения тела:

Определяем угловое ускорение:

Пример 5. Маховое колесо вращается равномерно со скоростью 120 об/мин (рис. 11.10). Радиус колеса 0,3 м. Определить скорость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии 0,15 м от центра.

Решение

Тема: «Сложное движение точки»

Пример 1. Рассмотрим механизм, в котором стержень OA вращается вокруг точки О со скоростью w . Вдоль стержня перемещается ползун М со скоростью v_M. Определить абсолютную скорость точки М.

Решение 1. Относительное движение — вдоль стержня; скорость v_r = v_M

2. Переносное движение — вращение стержня;

скорость

3. Скорость абсолютного движения

Пример 2. Стержень АВ соскальзывает вниз, опираясь концами о стену и пол

Длина стержня 1,5 м; в момент, изображенный на чертеже, скорость точки v_B = 3м/с. Найти скорость точки А.

Решение

1. Найдем положение МЦС. Скорости точек А и В направлены вдоль стены и вдоль пола. Восстанавливая перпендикуляры к векторам скоростей, находим МЦС.

2. По известной скорости v_B определяем угловую скорость стержня:

Тема: «Основные понятия и аксиомы динамики»

Пример 1. Свободная материальная точка, масса которой 5 кг, движется согласно уравнению Определить величину движущей силы.

Решение

1. Ускорение точки:

2. Действующая сила согласно основному закону динамики

Пример 2. К двум материальным точкам массой т1 = 2 кг и

т 2 = 5 кг приложены одинаковые силы. Сравнить величины ускорений.

Решение

Согласно третьей аксиоме динамики ускорения обратно пропорциональны массам:

Пример 3. На материальную точку действует система сил (рис. 13.5). Определить числовое значение ускорения, полученного материальной точкой т = 7 кг. Остальные данные представлены на чертеже.

Тема: «Метод кинетостатики»

Пример 1. Рассмотрим движение платформы по шероховатой поверхности с ускорением (рис. 14.4).

Решение

Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Реакция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускорения сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу, становится уравновешенной, и можно составить уравнения равновесия. Наносим систему координат и составляем уравнения проекций сил.

Пример 2. Тело весом 3500 Н движется вверх по наклонной плоскости согласно уравнению S = 0,16t². Определить величину движущей силы, если коэффициент трения тела о плоскость f = 0,15.

Решение

1. Составим расчетную схему, берем систему координат с осью х вдоль наклонной плоскости.

Активные силы: движущая, сила трения, сила тяжести. Наносим акцию в опоре перпендикулярно плоскости. Чтобы верно направить л у инерции, необходимо знать направление ускорения, определить это можно по уравнению движения.

При a > 0 движение равноускоренное.

2. Определяем ускорение движения:

Силу F _И _H направим в обратную от ускорения сторону.

3. По принципу Даламбера составим уравнения равновесия:

4. Подставим все известные величины в уравнения равновесия:

Выразим неизвестную силу и решим уравнение:

Пример 3. График изменения скорости лифта при подъеме известен. Масса лифта с грузом 2800 кг. Определить натяжение каната, на котором подвешен лифт на всех участках подъема.

Решение

1. Рассмотрим участок 1 — подъем с ускорением.

Составим схему сил.

Уравнение равновесия кабины лифта:

ΣF_y=T-G-F_ин=0

где T — натяжение каната; G — сила тяжести; F_И_H — сила инерции, растягивающая канат.

Для определения ускорения на участке 1 учтем, что движение на этом участке равнопеременное, скорость

Следовательно, ускорение:

Определяем усилие натяжения каната при подъеме с ускорением

2800(9,81 + 1,25) = 30 968 Н; Т₁ = 30,97 кН.

2. Рассмотрим участок 2 — равномерный подъем.

Ускорение и сила инерции равны нулю. Натяжение каната равно силе тяжести.

Т₂ - G = 0; Т₂ = G = mg;

Т₂ = 2800 • 9,81 = 28 кН.

3. Участок 3 — подъем с замедлением. Ускорение направлено в сторону, обратную направлению подъема. Составим схему сил (рис. 14.8).

Уравнение равновесия:

Отсюда

Ускорение (замедление) на этом участке определяется с учетом го, что v = 0.

Натяжение каната при замедлении до остановки:

Таким образом, натяжение каната меняется при каждом подъеме и опускании, канат выходит из строя в результате усталости материала, работоспособность зависит от времени.

Пример 4. Самолет выполняет «мертвую петлю» при скорости 160 м/с², радиус петли 1000 м, масса летчика 75 кг. Определить величину давления тела на кресло в верхней точке «мертвой петли».

Решение

1. Схема сил, действующих на летчика:

Тема: «Работа и мощность»

Пример 1. Тело массой 200 кг поднимают по наклонной плоскости.

Определите работу при перемещении на 10 м с постоянной скоростью. Коэффициент трения тела о плоскость f = 0,15.

Решение

1. При равномерном подъеме движущая сила равна сумме сил сопротивления движению. Наносим на схему силы, действующие на тело:

Пример 2. Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки А в точку С по наклонной плоскости. Сила тяжести тела 1500 Н. АВ = б м, ВС = 4м.

Решение

1. Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты груза. Изменение высоты при перемещении из точки А в С:

Работа силы тяжести:

Пример 3. Определите работу силы резания за 3 мин. Скорость вращения детали 120 об/мин, диаметр обрабатываемой детали 40 мм, сила резания 1 кН.

Решение

1. Работа при вращательном движении

где F_рез — сила резания.

2. Угловая частота вращения 120 об/мин.

3. Число оборотов за заданное время составляет z = 360 об.

Угол поворота за это время

4. Работа за 3 мин W_p = 1 • 0,02 • 2261 = 45,2 кДж.

Пример 4. Определить потребную мощность мотора лебедки для подъема груза весом 3 кН на высоту 10 м за 2,5 с. КПД механизма лебедки 0,75.

Решение

1. Мощность мотора используется на подъем груза с заданной скоростью и преодоление вредных сопротивлений механизма лебедки.

Полезная мощность определяется по формуле Р = Fv cos а. В данном случае а = 0; груз движется поступательно.

2. Скорость подъема груза

3. Необходимое усилие равно весу груза (равномерный подъем).

4. Полезная мощность Р = 3000 х 4 = 12 000 Вт.

5. Полная мощность, затрачиваемая мотором,

Пример 5. Судно движется со скоростью 56 км/ч (рис. 16.4). Двигатель развивает мощность 1200 кВт. < Определить силу сопротивления воды движению судна. КПД машины 0,4.

Решение

1. Определяем полезную мощность, используемую на движение с заданной скоростью:

2. По формуле для полезной мощности можно определить движущую силу судна с учетом условия а = 0. При равномерном движении движущая сила равна силе сопротивления воды: F_ДВ = F_СОПР.

3. Скорость движения судна

4. Сила сопротивления воды

Сила сопротивления воды движению судна F_СОПР= 48 кН.

Пример 6. Точильный камень прижимается к обрабатываемой детали с силой 1,5 кН. Какая мощность затрачивается на обработку детали, если коэффициент трения материала камня о деталь 0,28; деталь вращается со скоростью 100 об/мин, диаметр детали 60 мм.

Решение

1. Резание осуществляется за счет трения между точильным камнем и обрабатываемой деталью:

Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 1657; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!