Предпочтение и полезность. Бинарные соотношения
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕДМЕТА
"ТЕОРИЯ ИГР"
Предмет теории игр, ее цели и задачи
Особое место среди явлений или ситуаций, в которых возникает необходимость принятия обоснованных рациональных решений, занимают явления или ситуации, которые характеризуются наличием у участников данной ситуации несовпадающих интересов и различных путей достижения своих целей. Такие явления (ситуации) называются КОНФЛИКТНЫМИ (от латинского conflictus - столкновение).
Для конфликта характерно, что ни один из его участников заранее не знает решений, принимаемых остальными участниками, т.е. вынужден действовать в условиях неопределенности. Неопределенность исходов может проявляться не только в результате сознательных действий других участников, но и как результат действия тех или иных "стихийных сил" (непознанной природы). Важно лишь то, что наличие двух или более сторон с различными целями и возможностями исключает априорную оценку каких-либо вероятностных распределений того или иного исхода, которая тем самым предопределяется конфликтностью явления. Для характеристики понятия "конфликт" примем определение.
Конфликт - это такая ситуация, в которой имеется более одного участника, цели которых не совпадают и действия которых не являются совершенно независимыми.
При этом конфликт не обязательно должен пониматься как антагонистический; в качестве конфликта можно рассматривать любое разногласие, любое несовпадение целей и интересов сторон. Такие конфликтные ситуации, методы обоснования принимаемых сторонами в этих ситуациях решений и являются предметом изучения дисциплины "Теория игр".
|
|
|
Если в других разделах математики, изучающих теорию принятия решений, рассматриваются задачи, когда выбор решения осуществляется одним лицом, то теория игр исследует ситуации, в которых принятие решения зависит от нескольких участников.
Теория игр изучает оптимальное поведение игроков в играх в том или ином смысле с целью выработки рекомендаций для принятия оптимальных решений. Важным инструментом повышения качества таких решений являются научные подходы, основанные на математическом моделировании процессов выбора.
Таким образом, подытожив вышеизложенное, можно дать следующее определение предмета теории игр:
ТЕОРИЯ ИГР - это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности.
Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, то есть, определение для них оптимальной стратегии.
*********
Теория игр впервые была систематически изложена Нейманом и Моргенштерном только в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-е годы /6/. Нейман и Моргенштерн написали оригинальную книгу, которая содержала, главным образом, экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней математический аппарат для исследования стратегических решений.
|
|
|
Затем главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. Среди социальных наук аппарат теории игр используется, главным образом, в психологии для анализа торговых сделок и переговоров, а также для изучения принципов формирования коалиций.
В качестве типичного примера конфликтной ситуации, в которой сталкиваются противоречивые неантагонистические интересы сторон, можно привести задачу управления запасами предприятия, где в качестве сторон конфликта, игроков, выступают различные подразделения предприятия.
Производственный отдел заинтересован в возможно более длительном и непрерывном выпуске как можно большими партиями изделий одного наименования, т.е. в узкой номенклатуре выпускаемых изделий: такое производство снижает затраты на переналадку оборудования, на переобучение работников при переходе на выпуск нового изделия и т.д., а следовательно снижает и общие производственные затраты.
|
|
|
Отдел сбыта заинтересован в больших запасах готовой продукции, чтобы удовлетворить запросы потребителя в любой момент времени. Вместе с тем, отдел сбыта, стремясь продать как можно больше продукции, заинтересован в максимально широкой номенклатуре изделий.
Вследствие этого между производственным отделом и отделом сбыта часто возникает конфликт по поводу номенклатуры выпускаемой продукции.
Финансовый же отдел, стремясь минимизировать объем капитала, необходимого для функционирования предприятия, пытается уменьшить количество "связанных" оборотных средств. Поэтому он заинтересован в уменьшении запасов продукции до минимума. Как видим, требования к размерам запасов и к номенклатуре выпускаемой продукции у разных подразделений предприятия оказываются различными, что создает типичную конфликтную ситуацию. Задача состоит в выработке рациональной стратегии и принятии оптимального решения, чтобы наилучшим образом удовлетворить требования сторон, участвующих в конфликте.
|
|
|
Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, конструктор обычно преследует многосторонние интересы, согласуя противоречивые технико-экономические требования, предъявляемые к конструкторскому изделию (минимизация габаритов и стоимости, максимизация надежности, обеспечение простоты в изготовлении и т.д.).
К конфликтным ситуациям относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом.
Наконец, прямо противоположные интересы различных сторон явно проявляются в непосредственной борьбе (военной, дипломатической, экономической, спортивной и т.п.).
Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнера, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать.
Таким образом, единственная общность, которая объединяет все конфликты независимо от их физической и социальной природы, состоит в столкновении интересов нескольких (двух и более) сторон. Основной аспект этого столкновения состоит в том, что стороны преследуют различные цели, имея для их достижения некоторые наборы альтернатив, каждая из которых приводит к одному исходу(или к одному из нескольких возможных исходов). При этом результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действия выберут другие стороны.
В таком представлении конфликты составляют содержание многих процессов из области экономики, военного дела, социологии, техники, дипломатии, спорта и других видов человеческой деятельности, а также встречаются в природе (например, в условиях межвидовой борьбы за существование).
Основные понятия теории игр
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем или платежом.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными.
Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.
Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако, теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Совокупность этих решений составляют его стратегию.
Стратегией игрока называется некоторый план или совокупность правил, по которым он совершает выбор решения при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры.
Игра может быть определена следующим образом [14/31]:
1) имеются n конфликтующих сторон (лиц), принимающих решение, интересы которых не совпадают;
2) заданы правила, определяющие выбор допустимых стратегий, известные игрокам;
3) существует точно определенный набор конечных состояний, которыми заканчивается игра (например, выигрыш, ничья, проигрыш);
4) заранее определены и известны всем игрокам платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию.
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей наилучшей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей наилучшей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
При выборе оптимальной стратегии основой рассуждений является предположение, что противник является, по меньшей мере, таким же разумным, как и мы сами, и делает все для того, чтобы помешать нам добиться своей цели. В теории игр все рекомендации вырабатывают, исходя именно из этих принципов; следовательно, в ней не учитываются элементы риска, неизбежно присутствующие в каждой реальной стратегии, а также возможные просчеты и ошибки каждого из игроков.
Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях. В этих случаях оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш [7/333].
Если игра содержит, кроме личных, случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий Аi,Вj есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является его среднее значение (математическое ожидание).
ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИЕЙ в этом случае называется такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же, минимально возможный средний проигрыш).
Классификация игр
Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе. В частности:
1) в зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более участниками. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух.
2) по количеству стратегий различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода: они могут выбрать "орел" или "решку"). Соответственно, в бесконечных играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий;
3) по свойствам функций выигрыша (платежных функций). Игры, в которых общая сумма выигрышей игроков равна нулю, т.е. выигрыш одного из игроков равен проигрышу (возможно и поражению) другого, т.е. налицо прямой конфликт между игроками, называются играми с нулевой суммой или антагонистическими играми(например, игры в орлянку или в очко). Антагонистические игры моделируют конфликты двух сторон, интересы которых прямо противоположны; поэтому в антагонистическом конфликте у сторон нет почвы для согласования действий. Исход антагонистической игры оценивается вещественным числом, которое одна из сторон старается максимизировать, другая - минимизировать.
Прямой противоположностью играм такого типа являются игры с ненулевой суммой или неантагонистические игры, которые описывают конфликты, в которых интересы игроков не являются диаметрально противоположными (в частности, эти интересы могут совпадать). В этих играх не исключаются и компромиссные решения.
В играх с ненулевой суммой имеют место, как правило, и конфликты, и согласованные действия игроков. Частным случаем неантагонистических игр являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща;
4) в зависимости от возможности предварительной договоренности между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр.
5) существуют еще многошаговые игры, моделирующие конфликты сторон, в которых поведение участников конфликта детализируются во времени.
Предпочтение и полезность. Бинарные соотношения
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 177; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!