Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
На практике необходимо численно рассчитывать интегралы для преобразования Фурье. С АЦП поступает сигнал 
. Как часто надо считывать с него значения и что с ними делать?
Введем следующие определения:
1) параметры входного сигнала:
- полоса, частотный диапазон входного сигнала 
=[ 
, 
], Гц;
- мелкостьразбиения (шаг) полосы входного сигнала 
, Гц;
- число гармоник входного сигнала 
,
;
2) время преобразования 
, сек - необходимое временя для считывания из АЦП. Оно же период интегрирования 
, определяется из шага 
;
3) частота дискретизации 
, Гц - скорость считывания данных 
из АЦП;
4) период дискретизации 
, сек величина обратная 
;
5) число отсчетов за время преобразования 
, показывает сколько 
уложится за 
и определяется как
.
Необходимо отыскать подходящую 
для заданных условий. Опять рассмотрим сигнал вида (1).Если посмотреть на график sin, то будет видно, что выбирая значения через некоторый 
по времени, мы непрерывную линию заменяем набором точек. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти некоторое количество точек на оси времени, при которых интеграл в преобразовании Фурье, как предел сумм, может быть для наших целей безболезненно заменен на конечную сумму из значений 
в этих точках.
Во-первых, любая гармоническая функция из ряда 
должна при суммировании в этих точках дать ноль; во-вторых, сумма произведений этой функции на такую же единичной амплитуды должен дать не ноль; и в-третьих, сумма произведений этой функции на любую единичную не равную по частоте но из ряда (2) должна дать ноль.
|
|
|
Тогда можно будет заменить интегрирование на суммирование.
Пусть 
- набор отсчетов.
Для синусоидальной составляющей с фазой 0
, 
Для косинусоидальной составляющей с фазой 0
, 
Для постоянной составляющей
.
Для гармоники 
с фазой: амплитуда и фаза
, 
,
где 
, 
- коэффициенты Фурье, или амплитуды sin и cosсоставляющих с фазой ноль;
m - номер детектируемой гармоники.
Можно сгруппировать вместе оценочные утверждения для ДПФ:
- чем большая точность с точки зрения различимости соседних частот в спектре входного сигнала требуется, тем меньше шаг 
и тем больше время преобразования 
, на котором сигнал должен быть стационарным, подходящим для преобразования;
- подбор частоты дискретизации 
определяется в большей степени шириной полосы входного сигнала 
, чем абсолютным значением 
;
- число отсчетов 
определяется соотношением 
и 
.
Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал.
|
|
|
Преимущество разложения сигнала в спектр:
- сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причем для линейных цепей верен принцип суперпозиции, согласно которому действие на систему сложного сигнала, состоящего из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определенной частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 488; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!