Дискретизация непрерывных сигналов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

При передаче непрерывных сообщений по системам связи c использованием импульсной модуляции или кодирования возникает необходимость дискретизации сообщений по времени (см. рис 2).

Рисунок 2 -

Сущность дискретизации заключается в том, что непрерывность во времени функции заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитуды которых (координаты) определяются с помощью дискретных весовых функций .

Воспроизведение непрерывной функции по ее дискретным координатам производится с помощью системы базисных функций

Иногда весовые и базисные функции принимают одинаковыми .

Более широкое распространение получили методы дискретизации, при которых сигнал заменяется совокупностью его мгновенных значений , называемых выборками, или отсчетами. Роль весовых функций в этом случае играют d-функции , Dt - шаг дискретизации (может быть неравномерным). . Шаг дискретизации должен быть таким, чтобы было возможно восстановление непрерывной функции по ее отсчетам с допустимой точностью.

Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

Правило выбора предельного шага при равномерной дискретизации с использованием модели сигнала с ограниченным спектром сформулировано академиком В.А. Котельниковым.

Теорема Котельникова

Любая непрерывная функция , спектр которой ограничен частотой , полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал ".

Теорема Котельникова дает способ точного восстановления сигнала по его отсчетам.

На практике из-за не идеальности элементов схем, используемых для дискретизации, в частности, фильтра нижних частот, берут запас по частоте дискретизации в 1,5÷2,5 раза.

Ряды Фурье

Для представления периодических сигналов с периодом T базисные функции также должны быть периодическими с периодом , ‑ целое число.

В радиотехнике в качестве базисных функций разложения Фурье используют тригонометрические функции. Это объясняется следующими причинами:

а) функции , являются простыми, определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;

б) гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут изменяться лишь амплитуда и фаза;

в) для гармонических функций и их комплексного анализа имеется мощный математический аппарат, найдены спектры множества форм сигналов;

г) гармоническое колебание легко осуществить на практике.

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие типы разложения: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, полиномам Чебышева, Ляггера, Лежандра и др.

Гармонический ряд Фурье может быть представлен в следующих видах:

; ;

; ; ;

где - амплитуда гармоник,

- частота гармоник,

jn - фаза гармоник,

- комплексная амплитуда гармоник.

Все виды разложения (2.3) тождественны и переходят один в другой.

При выбранном знаке перед jn фаза гармоник является аргументом комплексной амплитуды.

Интегрирование по частям

Из дифференциального исчисления известно, что если u и v - дифференцируемые функции от x, то

Отсюда

Интегрируя обе части этого равенства, имеем

или

Интегрированием по частям называется интегрирование с помощью полученной формулы.

Применяется данный способ интегрирования в следующих случаях:

1) подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x или произведение многочлена от x на или , или произведение многочлена от xна ;