Построение множества Мандельброта
Теперь мы можем рассмотреть, как определяется множество Мандельброта. Пусть z — это некоторое произвольное комплексное число. Каковым бы ни было это число, оно представляется некоторой точкой на плоскости Аргана. Рассмотрим теперь отображение , при котором z превращается в новое комплексное число, равное
z → z2 + с ,
где с есть некое фиксированное (то есть заданное) комплексное число. Числу z2 + с будет сопоставляться некоторая другая точка на плоскости Аргана. Например, если с равно числу 1,63 — i4,2 , то z отображается согласно формуле
z → z2 + 1,63 — i4,2 ,
так что, в частности, число 3 превратится в
З2 +1,63 — i4,2 = 9 +1,63 — i4,2 = 10,63 — i4,2 ,
а число -2,7 +i0,3 в
(-2,7 + i0,3 )2 + 1,63 — i4,2 =
= (-2,7 )2 — (0,3 )2 + 1,63 +
+ i {(-2,7 )(0,3 ) — 4,2 } = 8,83 — i5,82 .
Когда числа становятся громоздкими, вычисления лучше выполнять на компьютере.
Теперь, каково бы ни было число c , число 0 превращается, согласно принятой схеме, в число с . А что же можно сказать о самом числе с ? Оно превращается в с2 + с . Давайте продолжим этот процесс, применив наше преобразование к с2 + с . Мы получим:
(с2 + с )2 + с = с + 2 с + с2 + с .
Снова повторим отображение, применив его к приведенному выше числу. Мы получим:
(с4 + 2 с3 + с2 + с )2 + с =
= с8 + 4с7 + 6 с6 + 6с5 + 5с4 + 2 с3 + с2 + с .
Потом еще раз применим процедуру, теперь уже к последнему числу, и т. д. В результате мы получаем последовательность комплексных чисел, которая начинается с числа 0 :
|
|
|
0, с, с2 + с, с4 + 2с3 + с2 + с …
Данная процедура, будучи реализована при некоторых определенных значениях комплексного числа с , дает последовательность чисел, которые все время остаются вблизи начала координат плоскости Аргана; точнее, для выбранных таким образом значений с получаемая последовательность оказывается ограниченной , то есть любой ее член находится в пределах некоторого фиксированного круга с центром в начале координат (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Последовательность точек на плоскости Аргана ограничена , если вся она целиком помещается в пределах некоторого фиксированного круга. (Итерация на рисунке начинаетсл с точки 0 и построена для с = — l/2 + (l/2 )i .)
Хорошим примером здесь может служить последовательность с = 0 , поскольку каждый ее член равен 0 . Другим примером ограниченного поведения является случай с = 1 , при котором получается последовательность 0, -1, 0, -1, 0, -1 ….; еще один пример — это с = i , когда получается последовательность 0, i, i — 1, -i, i — 1, -i, i — 1, -i….. Однако, для целого ряда других комплексных чисел с получаемая последовательность все дальше удаляется от начала координат, то есть является неограниченной и не может находиться целиком в пределах фиксированного круга. Именно так происходит при с = 1 , когда получается последовательность 0, 1, 2, 5, 26, 677,458 330 ….; аналогичное поведение имеет место в случае с = 3 — соответствующая последовательность имеет вид 0, -3, 6, 33,1086 ….; а также случай с = i — 1 , который приводит к последовательности 0, i — 1, -i — 1, -1 + 3i, — 9 — i5, 55 + i91, -5257 + i10011 ,
|
|
|
Множество Мандельброта — то есть зачерненная часть страны Тор'Блед-Нам[63] — как раз и есть та самая область на плоскости Аргана, что состоит из всех точек с , для которых получаемая последовательность является ограниченной. Белая же область состоит из тех точек с , для которых получается неограниченная последовательность. Приведенные выше подробные рисунки основаны на результатах компьютерных вычислений. На компьютере был проведен систематический перебор всевозможных комплексных чисел с , для каждого из них строилась последовательность 0 , с , с2 +с …, после чего согласно некоторому критерию определялось, ограничена или нет получаемая последовательность. Если последовательность оказывалась ограниченной , то соответствующая числу с точка экрана становилась черной. Таким образом, для каждой точки в рассматриваемой области компьютер решал, закрасить ее в белый или черный цвет.
|
|
|
Множество Мандельброта впечатляет своей сложностью, особенно учитывая, как это часто бывает в математике, удивительную простоту его определения. Кроме того, структура этого множества в целом не очень чувствительна к выбору алгебраической формы отображения — z → z2 + с . Многие другие итеративные отображения (например, z → z3 + iz2 + c ) приводят к поразительно похожим структурам (при условии выбора подходящего начального числа — возможно, это не 0 , а значение, четко задаваемое вполне определенным математическим правилом для каждого разумно выбранного отображения). Подобные «мандельбротовы» структуры характеризуются некоторыми универсальными или абсолютными свойствами по отношению к итеративным комплексным отображениям. Изучение таких структур является предметом отдельного раздела математики — так называемой теории комплексных динамических систем.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 246; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!