Сколько же всего действительных чисел?

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 58Следующая ⇒

Давайте остановимся на минутку, чтобы оценить всю колоссальность обобщения при переходе от рациональных чисел к действительным.

Вначале может показаться, что целых чисел больше, чем натуральных, поскольку каждое натуральное число является целым, в то время как некоторые целые числа (а именно отрицательные) натуральными не являются. Аналогично может создаться впечатление, что дробей больше, чем целых чисел. Однако это не так. Согласно мощной и очень красивой теории бесконечных чисел, разработанной в конце XIX века Георгом Кантором — исключительно самобытным немецким математиком русского происхождения, — общее число дробных чисел, общее количество всех целых чисел и число всех натуральных чисел равны одному и тому же бесконечному числу, обозначаемому N₀ [59] «алеф-нуль»). (Удивительно, что похожая идея была частично предвосхищена еще за 250 лет до этого в начале XVII века великим итальянским физиком и астрономом Галилео Галилеем. Мы вспомним о некоторых других достижениях Галилея в главе 5.) Равенство количества целых чисел количеству натуральных чисел видно из следующего взаимно-однозначного соответствия:

Обратите внимание, что каждое целое число (в левом столбце) и каждое натуральное число (в правом столбце) встречаются один и только один раз в своем списке. В канторовской теории множеств именно существование такого рода взаимно-однозначного соответствия устанавливает факт равенства числа объектов в левом столбце числу объектов в правом столбце. Таким образом, число целых чисел действительно равно числу натуральных чисел. В данном случае это число бесконечно, но это не Имеет значения. (Единственное необычное свойство бесконечных чисел состоит в том, что даже если мы исключим некоторые элементы одного из списков, мы можем установить взаимно-одиозначное соответствие между элементами двух списков.) Аналогичным, хотя и несколько более сложным образом, устанавливается взаимно-однозначное соответствие между дробными и целыми числами. (Для этого можно использовать какой-либо из способов представления пар натуральных чисел — числителей и знаменателей — через отдельные натуральные числа; см. главу 2, «Двоичная запись цифровых данных») Множества, которые можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с рядом натуральных чисел, называются счетными ; таким образом, счетные бесконечные множества — это множества, состоящие из N₀ элементов. И, как мы только что убедились, множество целых чисел, равно как и множество дробных чисел, является счетным.

Существуют ли множества, не являющиеся счетными? Несмотря на расширение натуральной системы чисел сначала целыми, а затем и рациональными числами, общее число рассматриваемых объектов не увеличилось. Как мы убедились, число объектов во всех случаях осталось счетным. У читателя теперь может создаться впечатление, что все бесконечные множества счетны. Это не так, поскольку ситуация меняется коренным образом при переходе к действительным числам. Одним из замечательных достижений Кантора явилось доказательство того, что действительных чисел больше, чем натуральных. При этом Кантор применил так называемый диагональный процесс , который упоминался в главе 2 и который Тьюринг использовал в своем доказательстве неразрешимости проблемы остановки Для машин Тьюринга. Доказательство Кантора, как и более позднее доказательство Тьюринга, — это доказательство от противного . Предположим, что утверждение, справедливость которого мы хотим установить, на самом деле ложно, то есть множество действительных чисел счетно. Тогда множество действительных чисел в интервале от 0 до 1 должно быть заведомо счетным и должен существовать какой-нибудь список, устанавливающий взаимно-однозначное соответствие между рассматриваемым множеством действительных чисел и множеством натуральных чисел, наподобие вот этого:

Жирным шрифтом выделены диагональные десятичные знаки. В данном случае эти цифры равны:

1, 4, 1, 0, 0, 3, 1, 4, 8, 5, 1…..

Метод диагонального процесса состоит в построении действительного числа (в интервале от 0 до 1), чье десятичное разложение (после десятичной запятой) отличается в каждом разряде от соответствующего числа приведенной выше последовательности. Для определенности положим, что цифра данного разряда равна 1, если цифра соответствующего разряда на диагонали отлична от 1, и равна 2, если цифра на диагонали равна 1. Таким образом, в рассматриваемом случае получается такое действительное число:

0,21211121112…

Это действительное число не может быть в списке, поскольку оно отличается от первого числа в первом десятичном разряде (после десятичной запятой), от второго числа — во втором разряде, от третьего числа — в третьем разряде и т. д. Таким образом, мы приходим к противоречию, поскольку полагали, что рассматриваемый список содержит все действительные числа в интервале от 0 до 1. Из этого противоречия следует истинность утверждения, которое нам требовалось доказать, — а именно, что не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством действительных чисел и множеством натуральных чисел и, соответственно, что число действительных чисел больше числа рациональных чисел и не является счетным.

Число действительных чисел равно бесконечному числу, обозначаемому С . (Здесь С является сокращенным обозначением слова континуум — другого названия системы действительных чисел.) Может возникнуть вопрос, почему мы не обозначаем это число, например, N₁ . Символ N₁ на самом деле обозначает следующее за N₀ бесконечное число, а вопрос о том, верно ли утверждение С = N₁ — это так называемая континуум-гипотеза , — представляет собой знаменитую и пока что нерешенную проблему.

При этом следует отметить, что множество вычислимых чисел счетно. Пересчитать их можно просто перечислив по порядку машины Тьюринга, порождающие действительные числа (то есть машины, последовательно порождающие цифры каждого разряда действительных чисел). При этом можно исключить из списка любую машину Тьюринга, порождающую действительное число, которое уже встречалось ранее в списке. Поскольку множество машин Тьюринга счетно, то, следовательно, счетным также должно быть и множество вычислимых действительных чисел. Почему же нельзя применить диагональный процесс к этому списку с тем, чтобы породить новое не включенное в список вычислимое число? Ответ состоит в том, что в общем случае невозможно с помощью вычислений решить, следует ли ту или иную машину Тьюринга включать в список, поскольку для этого мы должны были бы иметь возможность решить проблему остановки. Некоторые машины Тьюринга, начав порождение цифр действительного числа, могут зависнуть и оказаться уже не в состоянии выдать очередную цифру (поскольку они «не остановятся»). Не существует вычислимого способа, который позволил бы решить, какие именно машины Тьюринга зависнут таким образом. Это, в сущности, и есть проблема остановки. Значит, хотя метод диагонального процесса и породит некоторое действительное число, последнее не будет вычислимым. На самом деле, это рассуждение может использоваться для доказательства существования невычислимых чисел. Именно в этом ключе выдержано описанное в предыдущей главе тьюринговское доказательство существования классов алгоритмически неразрешимых задач. Другие области применения диагонального процесса будут рассмотрены дальше.

«Действительность» действительных чисел

Если отвлечься от понятия вычислимости, то действительные числа называются «действительными», потому что они, как представляется, дают величины, необходимые для измерения расстояний, углов, времени, энергии, температуры и многих других геометрических и физических параметров. Однако связь абстрактно определенных «действительных» чисел с физическими величинами не так проста, как может показаться. Действительные числа следует рассматривать скорее как некоторую математическую идеализацию , чем как реальную меру физически объективных величин. Система действительных чисел обладает, например, таким свойством, что между любыми двумя действительными числами (вне зависимости от их близости) существует третье действительное число. При этом совершенно не ясно, можно ли обоснованно утверждать то же самое о физических расстояниях или промежутках времени. Если мы продолжим дробить физическое расстояние между двумя точками, то мы в конце концов достигнем масштабов столь малых, что само понятие расстояния в обычном его смысле станет бессмысленным. Предполагается, что это действительно имеет место на масштабах, характерных для квантовой теории гравитации, которые в 10²⁰ раз[60] меньше размеров субатомных частиц. Но чтобы отобразить действительные числа нам потребуется дойти до сколь угодно более мелких масштабов, которые, например, в 10²⁰⁰, 10²⁰⁰⁰ или даже в

раз меньше размеров частиц. И совершенно не ясно, есть ли какой бы то ни было физический смысл у столь абсурдно малых масштабов. То же самое можно сказать и в отношении столь же малых интервалов времени.

Система действительных чисел выбрана в физике в силу ее математической полезности, простоты и изящества, а также поскольку она согласуется на очень широком интервале масштабов с физическими понятиями пространства и времени. Она выбрана не потому, что мы будто бы знаем, что она согласуется с упомянутыми физическими величинами на всех масштабах. Такое согласие вполне может не иметь места на очень малых пространственных и временны́х масштабах. Обычные расстояния измеряются при помощи линейки, но линейка оказывается «зернистой» при переходе к масштабам образующих ее атомов. Само по себе это не мешает нам продолжать использовать действительные числа подходящим образом, но измерение меньших расстояний требует уже гораздо большей изобретательности. По крайней мере, мы должны быть готовы предположить, что на очень-очень малых масштабах могут встречаться принципиальные трудности с расстояниями. Как оказывается, природа оказалась к нам на удивление благосклонна, сделав те самые действительные числа, которые мы привыкли повседневно применять для описания предметов на макромасштабах, пригодными для описания расстояний гораздо меньших атомных — по крайней мере, на масштабах, равных одной сотой «классического» диаметра элементарной частицы — такой, как электрон или протон, — и, по-видимому, вплоть до «масштабов квантовой теории гравитации», что на двадцать порядков меньше размеров таких частиц! Это пример исключительно сильной экстраполяции нашего опыта. Сфера применимости привычного понятия расстояния, измеряемого действительными числами, по-видимому, простирается до самых далеких квазаров и еще дальше. Общий диапазон измеримых расстояний составляет 10⁴², а может быть, 10⁶⁰ или даже больше. Кстати, сомнения в правомерности использования системы действительных чисел высказывались не так уж часто. Почему же мы так уверены в том, что эти числа дают точное описание физических явлений, хотя реально об их применимости мы знаем лишь в весьма ограниченном диапазоне масштабов? Должно быть, эта уверенность — возможно, неверная — основывается на (правда, не очень часто признаваемых) логическом изяществе, внутренней согласованности и математической мощи системы действительных чисел в сочетании с верой в глубинную математическую гармонию природы.

Комплексные числа

Оказывается, что действительные числа — это не единственная математически мощная и изящная система чисел. Система действительных чисел все же не лишена некоторых неудобств. Например, квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел (или нуля), но никак не из отрицательных чисел. С математической точки зрения — и отвлекаясь пока что от вопроса о непосредственной связи с физическом миром — было бы очень удобно иметь возможность извлекать квадратные корни как из положительных, так и из отрицательных чисел. Давайте постулируем существование, или попросту «изобретем» квадратный корень из числа -1 . Обозначим его буквой i . Тогда мы имеем:

i ² = -1 .

Величина i , конечно же, не может быть действительным числом, поскольку произведение действительного числа на самого себя всегда положительно (или равно нулю, если само число равно нулю). Поэтому числа, квадраты которых отрицательны, обычно называют мнимыми . Следует, однако, отметить, что эти «мнимые» числа не менее реальны, чем ставшие уже привычными «действительные» числа. Как я уже отмечал выше, связь таких «действительных» чисел с физической реальностью далеко не столь непосредственна и убедительна, как может показаться на первый взгляд, и основана на математической идеализации о допустимости бесконечного уточнения, которая не имеет ясного априорного обоснования в природе.

Имея квадратный корень из -1 , можно без особого труда получить квадратные корни для всех действительных чисел. Если а является положительным действительным числом, то величина i х √a есть квадратный корень из отрицательного действительного числа — а . (У этого числа есть еще другой квадратный корень, а именно — i х √а .) Ну, а что же можно сказать о самом числе i ? Есть ли у него квадратный корень? Разумеется есть, поскольку, как легко проверить, величина

1 +i /√2

(равно как и та же величина, взятая с отрицательным знаком), будучи возведена в квадрат, равна i . А у этой величины, в свою очередь, есть квадратный корень? Ответ опять положительный: квадрат числа

или того же числа, взятого с отрицательным знаком, действительно равен (1 + i)/√2.

Обратите внимание, что при образовании такого рода величин мы позволили себе складывать действительные и мнимые числа, а также умножать наши числа на произвольные действительные числа (или делить их на произвольные ненулевые действительные числа, а это то же самое, что умножать их на обратные величины). Получаемые таким образом объекты называются комплексными числами . Комплексное число это число вида: а + ib , где а и b — это действительные числа, называемые, соответственно, действительной и мнимой частью комплексного числа. Правила сложения и умножения двух таких чисел вытекают из обычных правил (школьной) алгебры с одним дополнительным правилом i ² = — 1 :

(а + ib) + (с + id) = (а + с) + i(b + d),

(а + ib) х (с + id) = (ас — bd) + i(ad + bc).

Удивительное дело: к созданию этой системы чисел нас подтолкнуло желание иметь возможность извлечения квадратных корней из любых чисел. Эта цель достигнута, хотя само по себе это еще не очевидно. Но новая система чисел позволяет делать гораздо больше: безнаказанно извлекать кубические корни, корни пятой степени, корни девяносто девятой степени, корни π -й степени, корни степени 1 + i и т. д. (это смог доказать еще в XVIII веке великий математик Леонард Эйлер). В качестве другого примера волшебных свойств комплексных чисел рассмотрим довольно сложные на вид тригонометрические формулы, которые проходят в школе. Так, синус и косинус суммы двух углов

sin (А + В) = sin A cos В + cos A sin В,

cos (А + В) = cos A cos В — sin A sin В

представляют собой, соответственно, просто-напросто мнимую и действительную части гораздо более простого (и легче запоминаемого!) комплексного уравнения[61]:

e ^iA+iB = e ^iAe ^iB

Все, что нам нужно здесь знать, это «формула Эйлера» (по-видимому, полученная за много лет до Эйлера замечательным английским математиком XVI века Роджером Котсом):

e ^iA = cosA+i sinA ,

которую мы теперь подставим в приведенное выше уравнение. В результате имеем:

cos (А + B) + i sin (А + В) = (cosА + i sinA)(cosВ + i sinВ),

и, выполнив умножение в правой части, получим искомые тригонометрические соотношения.

Более того, любое алгебраическое уравнение

(где a₀, a₁, a ₂….,a_n являются комплексными числами и a_n ≠ 0) всегда имеет своим решением некоторое комплексное число z . Например, существует комплексное число, удовлетворяющее соотношению:

z¹⁰² + 999z³³ — πz² = — 417 +i , хотя это совершенно не очевидно!

Это общее свойство иногда называют «основной теоремой алгебры». Многие математики XVIII века старались доказать этот результат. Получить удовлетворительное доказательство в общем случае оказалось не под силу даже Эйлеру. И только в 1831 году великий математик и естествоиспытатель Карл Фридрих Гаусс предложил потрясающий по своей оригинальности ход рассуждений и представил первое общее доказательство. Ключевым компонентом этого доказательства было применение топологических[62] рассуждений к геометрическому представлению комплексных чисел.

На самом деле Гаусс не был первым, кто использовал геометрическое представление комплексных чисел. Уоллис сделал то же самое примерно за двести лет до Гаусса, хотя далеко не столь результативно. Геометрическое представление комплексных чисел обычно связывают с именем Жана Робера Аргана — швейцарского бухгалтера, описавшего это представление в 1806 году, хотя полное описание этого представление было на самом деле дано девятью годами раньше норвежским геодезистом Каспаром Весселем. Согласно этой традиционной (хотя и не совсем правильной с исторической точки зрения) терминологии, я буду называть стандартное геометрическое представление комплексных чисел плоскостью Аргана.

Плоскость Аргана представляет собой обычную евклидову плоскость со стандартными декартовыми координатами x и y , где x обозначает расстояние по горизонтали (положительное вправо и отрицательное влево), а у — расстояние по вертикали (положительное вверху и отрицательное внизу). В этом случае комплексное число z = х + iy представляется точкой на плоскости Аргана с координатами (x , y ) (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Изображение комплексного числа z = х + iy на плоскости Аргана

Обратите внимание, что число 0 (рассматриваемое как комплексное число) соответствует началу координат, а число 1 — одной из точек на оси х .

Плоскость Аргана есть просто способ геометрически наглядной организации семейства комплексных чисел. Такое представление не является для нас чем-то совершенно новым. Мы уже знакомы с геометрическим представлением действительных чисел — в виде прямой линии, простирающейся на неограниченное расстояние в обоих направлениях. Одна из точек обозначена как 0 , а еще одна — как 1 . Точка 2 смещена относительно точки 1 равно настолько, насколько точка 1 смещена относительно точки 0 ; точка 1/2 расположена в точности посередине между точками 0 и 1 ; точка -1 расположена так, что точка 0 находится в точности посередине между точками -1 и 1 , и т. д., и т. п. Отображенное таким образом множество действительных чисел называется действительной прямой . В случае комплексных чисел у нас есть уже целых два действительных числа — а и b — которые могут рассматриваться как координаты комплексного числа а + ib . Эти два числа дают нам две координаты точки на плоскости, в данном случае — на плоскости Аргана. Для примера я указал на рис. 3.9 приблизительные положения комплексных чисел

u = 1 + i 1,3, v = -2 + i, w = -1,5 — i 0,4.

Рис. 3.9. Расположение чисел u = 1 + i1,3 , v = -2 + i , ω = -1,5 — i0,4 на плоскости Аргана

Теперь основные алгебраические операции сложения и умножения комплексных чисел приобретают ясную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим сначала сложение. Предположим, что u и v это два комплексных числа, представленные на плоскости Аргана в соответствии с описанной выше схемой. Тогда сумма этих двух чисел u + v представляется «векторной суммой» двух точек, то есть точка u + v находится на месте недостающей вершины параллелограмма, образованного точками u , v и началом координат 0 . Нетрудно убедиться, что эта конструкция (рис. 3.10) действительно дает сумму двух чисел, но соответствующее доказательство я здесь опускаю.

Рис. 3.10. Сумма u + v двух комплексных чисел определяется по правилу параллелограмма

Произведение uv двух комплексных чисел тоже имеет простую, хотя и, быть может, несколько менее очевидную геометрическую интерпретацию (рис. 3.11). (Я опять опускаю доказательство.)

Рис. 3.11. Произведение uv двух комплексных чисел u и v — это такое число, что треугольник, образованный точками 0 , v и uv , подобен треугольнику, образованному точками 0 , 1 и u . То же самое можно сформулировать иначе: расстояние точки uv от 0 равно произведению расстояний от 0 до точек u и v , а угол между uv и действительной (горизонтальной) осью равен сумме углов между этой осью и отрезками к точкам и и v

Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u (все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v . Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0 , v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0 , 1 и u . (Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 282; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!