Математика и действительность
Страна Тор'Блед-Нам
Представим себе, что мы совершаем большое путешествие в некий далекий мир. Назовем его Тор'Блед-Нам. Наша телеметрическая система зарегистрировала сигнал, вывела его на монитор и, отфокусировав изображение, мы увидели следующую картину (рис. 3.1):
рис. 3.1. Первый взгляд на новый мир
Что бы это могло быть? Странного вида насекомое? А может быть, темное озеро с многочисленными втекающими в него ручьями? Или огромный причудливой формы внеземной город, с исходящими в разных направлениях дорогами, которые ведут в расположенные поблизости городки и деревушки? Возможно, это остров — и если это так, то давайте поищем поблизости континент, с которым он связан. Для этого «отойдем назад», т. е. уменьшим увеличение наших приборов раз в 15. И вот — посмотрите-ка — этот новый мир предстал перед нашим взором во всей своей полноте (рис. 3.2):
Рис. 3.2. Общий вид Тор'Блед-Нам. Стрелками
отмечены области, увеличенные изображения которых
даны на рис. 3.1, 3.3 и 3.4
На рис. 3.2 наш «островок» выглядит как маленькая точка под стрелкой «рис. 3.1». Все волокна (ручьи, дороги, мосты?), исходящие из первоначального островка, обрываются, за исключением одного — того, что выходит из внутренней части расположенной справа расщелины, и который, в свою очередь, соединен с объектом гораздо большего размера (он изображен на рис. 3.2). Последний, как нетрудно заметить, подобен первоначальному островку, хотя их формы несколько отличаются. При более подробном рассмотрении «береговой линии» выявляются бесчисленные округлые выступы, края которых, в свою очередь, густо усеяны выступами такой же формы. Каждый маленький выступ соединен в каком-нибудь месте с более крупным, и все вместе они образуют бородавчатую структуру, где более крупные выступы покрыты наростами помельче, те — еще более мелкими и т. д. По мере того, как картина становится все более отчетливой, мы видим мириады мельчайших волокон, исходящих из рассматриваемой структуры. Сами волоконца ветвятся в разных местах, беспорядочно извиваясь. В некоторых частях волокон просматриваются узлы более сложной структуры, неразрешимые при данном увеличении приборов. Ясно, что наш объект — это никакой не остров или континент, и даже не пейзаж. Не исключено, что перед нашим взором чудовищный жук, а то, что мы увидели вначале, — это его детеныш, все еще соединенный с родителем своеобразной волокнистой пуповиной.
|
|
|
Давайте исследуем один из наростов у нашего насекомого, для чего увеличим разрешение примерно в десять раз (см. рис. 3.3 — соответствующая область на рис. 3.2. отмечена как «рис. 3.3»).
|
|
|
Рис. 3.3. Бородавка
с «пятеричностью» своих волоконцев
Своим видом нарост сильно напоминает все существо целиком, за исключением места соединения. Обратите внимание, что на рис. 3.3 имеется множество точек, в которых сходятся пять волокон. По-видимому, этому конкретному наросту свойственна некая «пятеричность» (точно также как для самой верхней «бородавки» на рис. 3.2 характерна определенная «троичность»). На самом деле, если исследовать (на рис. 3.2) расположенный чуть ниже и левее следующий разумного размера нарост, то мы обнаружим у него «семеричность», а у следующего — характерную «девятеричность» и т. д. При углублении во впадину между двумя самыми крупными областями на рис. 3.2, справа будут встречаться наросты с постоянно нарастающим нечетным числом лучей. Давайте всмотримся внимательно вниз вглубь заостренной впадины, повысив увеличение еще в десять раз по сравнению с рис. 3.2 (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Главная впадина. «Долина морских
коньков» едва различима справа внизу
Мы обнаружим множество других мельчайших наростиков на фоне общего беспорядочного завихрения. Справа видны едва различимые спиралевидные структуры, напоминающие «хвосты морских коньков», расположенные в области, которую мы так и назовем — «долина морских коньков». Здесь нам встретятся — если смотреть на это место при достаточно большом увеличении — разнообразные «морские анемоны» или области с богатой флорой. В конце концов, перед нами действительно может быть какой-то экзотический берег — возможно, коралловый риф, изобилующий всевозможными формами жизни. Объект, принятый нами за цветок, при более сильном увеличении может оказаться состоящим из мириада мельчайших и при этом невероятно сложных структур, с многочисленными волокнами и вихреобразными спиралевидными хвостами. Давайте рассмотрим подробнее один из более крупных хвостов морских коньков, а именно — едва различимое образование, обозначенное на рис. 3.4 как «рис. 3.5» (и соединенное с 29-ричным наростом!). Повысив увеличение в 250 раз, мы увидим изображенную на рис. 3.5 спираль.
|
|
|
Рис. 3.5. Хвост «морского конька» крупным планом
При этом окажется, что это не обычный хвост: и он тоже состоит из сложнейших вихреобразных структур с многочисленными мельчайшими спиралями и областями в форме осьминогов и морских коньков!
Рис. 3.6. Дальнейшее увеличение места соединения
|
|
|
спиралей. В центре едва различим маленький детеныш
Во многих местах видно, что исследуемые нами структуры расположены точно в том месте, где сходятся две спирали. Рассмотрим одно такое место (обозначенное как «рис. 3.6» на рис. 3.5) с дополнительным 30-кратным увеличением. Посмотрите-ка: в самой середине теперь виднеется странный объект, в котором, однако, есть что-то знакомое. Увеличим изображение еще в шесть раз (рис. 3.7) — появляется крохотный дочерний объект, практически идентичный всей структуре!
Рис. 3.7. При увеличении детеныш обнаруживает
сходство с целым миром
При более внимательном рассмотрении обнаруживаются некоторые отличия присоединенных к этой субструктуре волокон от тех, что выходят из основной структуры, — новые волокна, закручиваясь, уходят на значительно большие относительные расстояния. И при этом маленькое существо выглядит почти неотличимым от своего родителя, — у него даже есть аналогично расположенные собственные детеныши. Можно было бы исследовать и их, если вновь повысить увеличение приборов. «Внуки» тоже будут напоминать своего общего предка — и нетрудно увидеть, что так может продолжаться до бесконечности. Этот странный мир Тор'Блед-Нам можно исследовать как угодно долго, постоянно увеличивая разрешающую способность нашей системы наблюдения. И тогда перед нами предстанет бесконечное разнообразие: никакие две области не являются в точности одинаковыми, но всем им свойственны общие черты, которые очень быстро становятся узнаваемыми. Знакомые нам уже жукообразные существа появляются на все меньших и меньших масштабах. Каждый раз при этом расположенные рядом волокнистые структуры отличаются от предыдущих, демонстрируя новые фантастические сцены невероятной сложности.
В какой же странной и удивительно замысловатой по своей структуре стране мы оказались? Не сомневаюсь, что многие читатели уже знакомы с ней, но не все. Это не что иное, как фрагмент абстрактной математики — множество, известное под названием множества Мандельброта [56]. При всей его несомненной сложности оно получается на редкость простым образом! Чтобы как следует объяснить правила построения этого множества, необходимо сначала рассказать о том, что такое комплексные числа . Именно этим я сейчас займусь. Комплексные числа нам понадобятся и в дальнейшем. Они являются неотъемлемой частью структуры квантовой механики и вследствие этого лежат в основе поведения самого мира, в котором мы живем. Кроме того, комплексные числа являют собой одно из великих чудес математики. Чтобы объяснить, что такое комплексные числа, мне сначала потребуется напомнить вам, что подразумевается под термином «действительные числа». Не лишним будет также отметить связь этого понятия с действительностью «реального мира»!
Действительные числа
Напомним, что натуральные числа являются целыми величинами:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
Это самый элементарный и фундаментальный вид чисел. Ими можно количественно измерить любую дискретную сущность: можно говорить о двадцати семи овцах в поле, двух вспышках молнии, двенадцати ночах, тысяче слов, четырех беседах, нуле новых идей, одной ошибке, шести отсутствующих, двукратной смене направления и т. д. Натуральные числа можно складывать или перемножать, получая при этом новые натуральные числа. Мы использовали эти числа при обсуждении алгоритмов в предыдущей главе.
На самом деле при счете дат имеет место некоторое отступление от этого правила, поскольку нулевой год пропускается.
Тем не менее некоторые важные математические операции могут все же вывести нас за пределы мира натуральных чисел. Простейшая из них — вычитание. Для систематического определения вычитания нам понадобятся отрицательные числа. Теперь мы можем выстроить всю систему целых чисел :
… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…
Некоторые вещи — такие, как электрический заряд, банковские балансы или даты[57], измеряются количественно этими числами. Однако сфера применения целых чисел все же слишком ограничена, поскольку деление одного числа на другое может оказаться неразрешимой задачей в рамках целых чисел. Соответственно, нам понадобятся дроби , или, как их называют, рациональные числа :
0, 1, -1, 1/2, -1, 2, -2, 3/2, -3/2, 1/3…
Этих чисел достаточно для операций конечной арифметики, но для очень многих задач нам потребуется пойти еще дальше, с тем чтобы охватить бесконечные операции или операции перехода к пределу. Например, хорошо известная — и играющая огромную роль в математике — величина ж возникает как результат многих бесконечных выражений. В частности, мы имеем:
а также
Это знаменитые выражения. Первое из них было найдено английским математиком, филологом и криптографом Джоном Уоллисом в 1655 году, а второе — шотландским математиком и астрономом (а также изобретателем первого телескопа-рефлектора) Джеймсом Грегори в 1671 году. Как и π , определенные подобным образом числа не обязаны быть рациональными (то есть представляться в виде m/n , где m и n — целые числа, причем n не равно нулю). Систему чисел необходимо расширить , обеспечив возможность включения в нее таких величин.
Расширенная таким образом система чисел называется системой действительных чисел — тех самых хорошо знакомых нам чисел, что представляются в виде бесконечных десятичных дробей, таких как:
―583,70264439121009538…
В этом представлении мы получаем следующее известное выражение для числа π :
π = 3,14159265358979323846….
Другими примерами чисел, представимых таким образом, являются квадратные корни (или кубические корни, или корни четвертой степени) из положительных рациональных чисел, такие как:
√2= 1,41421356237309504…
или же квадратные корни (или кубические корни и т. д.) любого положительного числа, как, например, выражение для числа π , найденное великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером:
π = √6 (1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 + 1/36 +…).
Действительные числа нам в сущности хорошо знакомы — мы с ними сталкиваемся в повседневной жизни. Правда обычно нас интересуют всего лишь приближения к этим числам и мы предпочитаем ограничиваться разложениями, состоящими из небольшого числа десятичных знаков. Тем не менее, в математических утверждениях может потребоваться точное задание действительных чисел и, как следствие, необходимость в некотором бесконечном способе описания наподобие бесконечной десятичной дроби, или какого-нибудь иного бесконечного математического выражения вроде приведенных выше формул для числа π , предложенных Уоллисом, Грегори и Эйлером. (В дальнейшем я буду обычно использовать десятичные дроби, но лишь потому, что они нам наиболее привычны. У математиков есть множество разных и более удовлетворительных способов представления действительных чисел, но нас это здесь не интересует.)
Может создаться впечатление, что представить себе все бесконечное десятичное разложение целиком невозможно, но это не так. Вот простой пример, когда вся последовательность знаков оказывается явным образом обозримой:
1/3 = 0,333333333333333…
Многоточие указывает на то, что последовательность троек продолжается бесконечно. Для получения полного представления об этом разложении достаточно знать, что оно действительно состоит из неограниченной последовательности одних лишь троек. У каждого рационального числа есть повторяющееся (или конечное) десятичное представление вроде:
93/74 = 1,2567567567567567…,
где последовательность 567 повторяется неограниченное число раз. Это число тоже оказывается полностью обозримым. Также обозримым является выражение
0,220002222000002222220000000222222220…
которое определяет иррациональное число (оно просто состоит из последовательностей нулей и двоек, длины которых каждый раз увеличиваются на единицу), и еще много похожих выражений. В каждом таком случае нам достаточно знать правило, по которому составлено разложение. Знание алгоритма порождения очередной цифры в разложении числа — при условии, что такой алгоритм существует — дает нам способ «увидеть» целиком все бесконечное десятичное разложение. Действительные числа с алгоритмически порождаемыми десятичными разложениями называются вычислимыми числами (см. также гл.2 «Числа, отличные от натуральных»). (При этом не важно, десятичное это разложение или двоичное. Вычислимыми в этом смысле оказываются одни и те же числа, независимо от использованного основания разложения.) Только что рассмотренные числа π и √2 представляют собой примеры вычислимых чисел. В обоих случаях подробное описание соответствующего правила — задача довольно-таки кропотливая, но, в принципе, нетрудная.
Есть, однако, действительные числа, которые не являются вычислимыми в упомянутом выше смысле. Как мы убедились в главе 2, существуют невычислимые и при этом совершенно четко определенные последовательности. В качестве примера можно рассмотреть десятичное разложение, в котором n -я цифра равна 0 или 1 в зависимости от того, останавливается или нет n -я машина Тьюринга, производящая действия над числом n . В общем случае мы потребуем лишь, чтобы для действительного числа существовало какое-нибудь бесконечное десятичное разложение. Мы не только не требуем существования алгоритма порождения n -й цифры, но нам даже не обязательно знать о существовании какого бы то ни было правила, в принципе определяющего n -ю цифру[58]. Заметим, что вычислимые числа неудобны в работе. Невозможно обойтись одними лишь вычислимыми операциями, даже оперируя вычислимыми числами. Например, в общем случае вычислимым образом невозможно даже решить, равны ли два вычислимых числа друг другу! По этой причине мы будем работать со всеми действительными числами, когда десятичная последовательность может быть любой, а не только, скажем, вычислимой.
В заключение отметим также тождественность действительных чисел, чьи десятичные разложения заканчиваются бесконечной последовательностью девяток, и чисел, чьи разложения заканчиваются бесконечной последовательностью нулей. Например:
— 27,1860999999… = -27,1861000000…
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 348; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!