Алгоритм оптимальной аналоговой фильтрации
При рассмотрении алгоритма фильтрации остановимся лишь на теории фильтрации одномерных марковских гауссовских процессов. Для этого частного случая уравнение наблюдения задается в виде (11.1), а уравнение сообщения - в виде (11.2).
Изменения во времени априорной плотности вероятности р(l,t) процесса l(t) определяются уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова:
. (11.17)
L(·) – оператор преобразования Фоккера-Планка-Колмогорова. Заметим, что в рассматриваемом случае имеет место однозначное соответствие между описаниями процесса l(t) в виде уравнения (11.2) либо (11.17).
Располагая этими априорными данными, нужно синтезировать устройство, которое бы с наименьшей погрешностью воспроизводило изменяющееся во времени случайное сообщение l(t).
Как было показано в параграфе 3 данной лекции, для вычисления оптимальной оценки l(t) и ее погрешности, необходимо знать апостериорную плотность вероятности p(l,t|x(t)), которая согласно формулы Байеса, определяется двумя сомножителями p(l,t) и p(x(t)|l). Плотность вероятности p(l,t) фильтруемого процесса l(t), удовлетворяющего уравнению сообщения (11.2), определяется из (11.17). Условная плотность вероятности p(x(t)|l) (функция правдоподобия) легко находится из уравнения наблюдения (11.1). Так как сигнал s(t,l(t)) является известной функцией аргументов t и l, а шум n(t) имеет гауссовское распределение, то и p(x(t)|l) также будет гауссовской.
В работах Р.Л.Стратоновича показано, что апостериорная плотность вероятности p(l,t|x(t)) параметра l(t) в конечный момент времени наблюдения определяется следующим дифференциальным уравнением
|
|
|
, (11.18)
где F(t,l) - производная по времени от логарифма функции правдоподобия:
, (11.19)
< F (t, l) > - усреднение F (t, l) по информационному параметру l:
. (11.20)
Начальные условия для уравнения Стратоновича (11.18) определяются априорной плотностью вероятности p(l,0) начальной координаты сообщения l(0) = l0.
Апостериорная плотность вероятности p(l,t|x(t)) содержит всю доступную информацию о параметре l(t), которую можно извлечь из наблюдения реализации x(t) процесса x(t) на интервале [0,t] и из априорных сведений о l(t). Определив апостериорную плотность p(l,t|x(t)), можно получить другие требуемые характеристики, например, математическое ожидание l(t), представляющее оптимальную оценку сообщения по критерию минимума среднего квадрата ошибки или оценку, оптимальную по критерию максимума апостериорной плотности вероятности.
Таким образом, уравнение Стратоновича (11.18) определяет полную процедуру фильтрации сообщения l(t) на фоне белого шума. В общем случае аналитическое решение этого уравнения оказывается трудной задачей, схемы оптимального фильтра при этом весьма сложны. Для получения более простых схем целесообразно использовать различные упрощающие предположения. Некоторые из них будут рассмотрены в лекции №12.
|
|
|
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!