Содержание разделов учебной дисциплины «Кратные интегралы и ряды»

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Nbsp; Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУВПО «Мордовский государственный университет им. Н.П.Огарёва» Математический факультет Кафедра математического анализа «УТВЕРЖДАЮ» Декан математического факультета профессор Чучаев И.И. «______»__________201_ г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Математический анализ

Фундаментальная информатика и информационные технологии

Профили подготовки:

Информатика и компьютерные науки

Супервычисления

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная

г. Саранск

2011 г.

Цели и задачи учебной дисциплины:

Цели и задачи учебных дисциплин (модулей) «Математический анализ-I», «Математический анализ-II» и «Кратные интегралы и ряды»:

- познакомить студентов с основными понятиями и классическими методами математического анализа и их применению к решению прикладных задач;

- сформировать у студентов знания, умения и навыки владения аппаратом математического анализа;

- привить необходимую математическую культуру;

- подготовить студентов к изучению других математических дисциплин, в которых широко используется аппарат и методы математического анализа.

2. Место учебной дисциплины в структуре ООП:

Дисциплины «Математический анализ-I», «Математический анализ-II» и «Кратные интегралы и ряды» относятся к базовым (фундаментальным) курсам, на которые опираются в последующем другие математические дисциплины (дифференциальные уравнения, теория функции комплексной переменной, функциональный анализ, теория вероятностей). В них излагаются традиционные разделы математического анализа, язык и методы которого широко используются в дальнейшем профессиональном обучении студентов математического факультета, обучающихся по специальности «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

Требования к результатам освоения дисциплины

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля):

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

· способность применять на практике (в профессиональной деятельности) основные методы классического математического анализа;

· способность математически грамотно и рационально выполнять решение практических задач, опираясь на аппарат математического анализа;

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать:

· основные понятия математического анализа;

· вводные понятия (с учетом междисциплинарных связей) последующих дисциплин;

· основные приемы и методы математического анализа;

· типы прикладных задач, решаемых методами математического анализа.

Уметь:

· применять аппарат, методы, алгоритмы, способы рассуждений при решении конкретных математических (профессиональных) задач.

Владеть:

· основами теоретического материала курса математического анализа и методами доказательства основных результатов курса;

· основными способами анализа нового теоретического материала и уметь устанавливать связи между понятиями и результатами исследования;

· навыками исследования и решения основных типов практических задач дисциплин математического анализа: «Математический анализ-I», «Математический анализ-II» и «Кратные интегралы и ряды».

Содержание учебной дисциплины (модуля). Объем дисциплины и виды учебных занятий

Вид* учебной работы

Всего часов

Семестры

Аудиторные занятия (всего)

324

108

В том числе:

Лекции

162

Практические занятия (ПЗ)

162

Лабораторные работы (ЛР)

Самостоятельная работа (всего)

216

Другие виды самостоятельной работы

Контрольные работы (КР)

Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)

Зач Экз.

Зач. Экз.

Общая трудоемкость час

зач. ед.

540

180

5.1.1. Содержание разделов учебной дисциплины «Математический анализ-I»

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
1.	Отображение множеств, виды отображений. Вещественные функции вещественной переменной.	Виды отображений: сюръекция, инъекция, биекция. Определение функции вещественной переменной. График функции. Способы задания функции и элементы поведения. Основные элементарные функции и их свойства. Обратная функция.
2.	Предел числовой последовательности.	Определение окрестностей в и . Различные определения предела числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Границы и грани последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число . Теорема Кантора о вложенных отрезках. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последовательности. Критерий Коши для сходимости последовательности.
3.	Предел и непрерывность функции одной переменной.	Определения предела функции в точке (по Коши и по Гейне). Односторонние пределы функции в точке. Основные свойства предела функции: единственность, локальная ограниченность, монотонность. Свойства предела, связанные с арифметическими операциями. Критерий Коши существования предела функции. Замечательные пределы. Сравнение функций в окрестности точки. Символы «o» и «O», их свойства. Эквивалентные функции. Главная часть функции. Непрерывности функции в точке и на множестве. Одностороння непрерывность Основные свойства функции, непрерывной в точке. Непрерывность композиции функций. Непрерывность обратной функции. Непрерывность основных элементарных функций. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на компакте (теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши и следствия из них).
4.	Производная и дифференциал функции.	Приращение функции в точке и на промежутке. Определение производной функции в точке, ее геометрический смысл. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная композиции функций. Производная обратной функции. Производная неявной функции. Дифференцируемость функции в точке. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал функции и его свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков, правила вычисления. Основные теоремы о свойствах дифференцируемых функций: Ферма, Роля, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Локальная формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Многочлены Тейлора некоторых элементарных функций. Понятие локального экстремума функции. Исследование свойств функций с помощью производных (монотонность, экстремум, выпуклость).	Контрольная работа

5.1.2. Содержание разделов учебной дисциплины «Математический анализ-II»

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
1.	Неопределенный интеграл.	Первообразная функция. Простейшие свойства первообразной функции. Таблица первообразных основных элементарных функций. Правила интегрирования по частям и заменой переменной. Метод интегрирования «простейших» дробей и дробно-рациональных функций. Методы интегрирования некоторых иррациональных функций: квадратичных иррациональностей и дифференциальных биномов. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.	Контрольная работа
2.	Определенный интеграл (по Риману).	. Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости. Интегральные суммы Дарбу и их свойства. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману. Классы функций, интегрируемых по Риману. Свойства определенного интеграла. Аддитивность интеграла. Теоремы о среднем. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла с переменным верхним (нижним) пределами. Теорема Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, площадей поверхностей и объемов тел вращения.
3.	Несобственные интегралы Римана.	Определение несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Достаточные условия сходимости. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле. Абсолютная и условная сходимость.
4.	Дифференциальное исчисление функции многих переменных.	n-мерное евклидово пространство. Вещественные функции многих переменных. Предел функции в точке, повторные пределы. Непрерывность функции в точке. Частные производные. Дифференцируемые функции в точке. Полный и частные дифференциалы. Достаточное условие дифференцируемости. Теорема о дифференцировании сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных второго порядка. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Локальный экстремум функции многих переменных, необходимое и достаточное условия. Понятие об условном экстремуме. Неявные функции, заданные системой функциональных уравнений: теорема существования	Контрольная работа

Содержание разделов учебной дисциплины «Кратные интегралы и ряды»

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
1.	Числовые ряды.	Основные понятия. Простейшие свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости положительных рядов: сравнения, Даламбера, Коши (радикальный и интегральный). Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка остаточного члена. Абсолютная и условная сходимость. Действия с абсолютно сходящимися числовыми рядами.	Контрольная работа
2.	Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды.	Поточечная сходимость и предел функциональной последовательности. Область сходимости и сумма функционального ряда. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности и функциональные ряды. Отклонение от предельной функции, Sup-критерий равномерной сходимости функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: непрерывность суммы, почленное дифференцирование и интегрирование. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости ряда. Теорема Коши-Адамара. Основные свойства сумм степенных рядов. Представление функций степенными рядами. Ряд Тейлора.	Контрольная работа
3.	Двойные интегралы.	Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Необходимое условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла сведением к повторному (случай прямоугольной и криволинейной областей интегрирования). Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.	Контрольная работа
4.	Тройные интегралы.	Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Определение тройного интеграла. Необходимое условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Основные свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
5.	Криволинейные интегралы.	Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла 1-го рода. Определение криволинейного интеграла 1-го рода и его основные свойства. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сведением к определенному. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла 2-го рода. Определение криволинейного интеграла 2-го рода и его основные свойства. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования.
6.	Поверхностные интегралы.	О задании поверхности в пространстве. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация кусочно-гладких поверхностей. Выражение площади поверхности двойным интегралом. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, их основные свойства и способы вычисления. Формула Стокса. Формула Остроградского-Гаусса.
7.	Ряды Фурье	Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле.

5.2.1. Разделы дисциплины «Математический анализ-I» и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практ. зан.	Лаб. зан.	Семин	СРС	Все-го час.
1.	Отображение множеств, виды отображений. Вещественные функции вещественной переменной.	4	2			6	12
2.	Предел числовой последовательности.	10	10			10	30
3.	Предел и непрерывность функции одной переменной.	12	18			20	50
4.	Производная и дифференциал функции.	28	24			36	88
	Всего часов	54	54			72	180

5.2.2. Разделы дисциплины «Математический анализ-II» и виды занятий

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 184; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!