Они симметричные относительно центра

42 Пирамида. Правильная пирамида. Тетраэдр

Пирами́да— многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Элементы пирамиды

апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины[3];

боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

боковые ребра — общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то:

около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.

также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

высоты боковых граней равны;

площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Формулы

Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где S— площадь основания и h — высота;

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

где α — апофема , P— периметр основания, n— число сторон основания, b— боковое ребро, α — плоский угол при вершине пирамиды.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

боковые ребра правильной пирамиды равны;

в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;

если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π , а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания;

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Тетра́эдр— простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Св-ва тетраэдра:

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части

Объём тетраэдра

Объём тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках

\\\ т е

(так же r 3 и 4) равен

43 Сечения куба, призмы и пирамиды

Куб - правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.

Призма - это многогранник, в основании которого лежат 2 равных многоугольника, а боковые грани —параллелограммы. Сечение призмы плоскостью, параллельной основанию – в сечении образуется многоугольник, равный многоугольнику, лежащему в основании. Сечение призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра - в сечении образуется параллелограмм. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. В некоторых случаях может получаться ромб, прямоугольник или квадрат.

Пирамида - многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию (перпендикулярной высоте) есть многоугольник, подобный основанию пирамиды, причем коэффициент подобия этих многоугольников равен отношению их расстояний от вершины пирамиды. Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

44 Формулы площадей поверхностей многогранников

Куб Sполн.=6

Призма Sполн. =2Sосн.+Sбок.

Прямоуг. параллелепипед Sполн. = 2(ab+ac+bc)

Пирамида Sполн.=Sосн.+Sбок. Тетрайдер Sполн.= Pl+Sосн.

Цилиндр Sполн.=2 (R+h)

Шар Sполн.=4

Конус Sполн.= , Усеч. Конус Sполн.= + + (R+l)

45 Цилиндр и конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

Шар и сфера

Цили́ндр — геометрическое тело, полученное вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии. Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

В частности, для прямого кругового цилиндра:

, и

Конус – тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг его оси, Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой)поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими. Развертка конуса полукруг и окружность.

Объем. усеч.конус

Шар – тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра, замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки (центра сферы). Сфера является поверхностью шара.

Площадь сферы

Объем шара, ограниченного сферой

Площадь сегмента сферы

, где H — высота сегмента, а — зенитный угол

Сегмент Сектор

46 Сечения цилиндра, конуса, шара

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник.
Осевым сечением называется сечение, которое проходит через ось цилиндра.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса.

Это сечение, которое проходит через ось. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.

Всякое сечение шара плоскостью это круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

47 Площади поверхностей цилиндра и конуса, площадь и её частей

цилиндр (площадь боковой поверхности) S=2 π rh

цилиндр (общая площадь) S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r)

конус (боковая площ. пов-ти круглого конуса) S=(1:2)Cl=π r l

конус(полная площ.пов-ти круглого конуса) S=π r l+π r2=π r (r+ l)

48 Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды

куб V=H3

прямоуг.параллелепипед V= SH= abc

пирамида V= Sh