Алгебраїчні операції та їх властивості.
Кожна математична теорія вивчає множини, на яких введені певні відношення. Алгебра вивчає множини, на яких визначені відношення, що мають назву алгебраїчних операцій. З прикладами алгебраїчних операцій ми зустрічалися ще в шкільному курсі математики, а також вивчаючи інші розділи вищої математики. Прикладами алгебраїчних операцій є додавання і множення чисел, многочленів, алгебраїчних дробів, додавання векторів площини, додавання матриць, об’єднання і переріз множин, додавання і множення функцій (наприклад, синусів і косинусів), композиція відображень тощо. Ці операції виконуються над парами елементів однієї і тієї ж множини: над парами чисел, многочленів, векторів, функцій. Тому їх називають бінарними алгебраїчними операціями або просто бінарними операціями.
1. Означення. Операція 
на множині 
називається комутативною, якщо 
.
Приклад 1. Операція 
у множині 
з прикладу 1 є комутативною, оскільки її таблиця Келі симетрична відносно діагоналі.
2. Означення. Операція на множині називається асоціативною, якщо
: 
.
Властивість асоціативності дозволяє опускати дужки у виразі 
.
Приклад 2.
Додавання і множення чисел асоціативні. Це дозволяє не ставити дужки у виразах 
і 
.
3. Означення.Операція на множині називається дистрибутивною злівавідносно операції 
, якщо
і дистрибутивною справа відносно операції , якщо
|
|
|
.
Приклад 3.
1. Множення чисел дистрибутивне відносно додавання і зліва і справа:
і 
2. Додавання недистрибутивне і зліва і справа відносно множення:
та 
.
3. Операції перерізу і об’єднання множин є взаємно дистрибутивними одна відносно одної.
Поняття алгебраїчної структури.
На непорожній множині 
може бути задано, взагалі кажучи, багато різних алгебраїчних операцій. Бажаючи виділити одну з них, використовують дужки: 
, і говорять, що операція визначає на алгебраїчну структуру. Якщо операція асоціативна чи комутативна, то такі ж назви привласнюються і відповідній алгебраїчній структурі. Природа елементів основної множини нас не цікавить, справжніми об’єктами вивчення є алгебраїчні операції. Ясно, що виділити можна не одну операцію, а декілька.
Означення. Непорожня множина разом із заданою на ній сукупністю алгебраїчних операцій називається алгебраїчною структурою: 
.
Приклад.У множині 
цілих чисел, крім природних операцій +, •(додавання і множення), легко вказати "похідні" операції що виходять при допомозі + (або –) і 
: 
, 
і т.д. Ми приходимо до різних алгебраїчних структур 
, 
.
У зв’язку з вивченням алгебраїчних структур застосовуються дві системи термінів або дві форми запису: адитивну і мультиплікативну.
|
|
|
| Адитивна термінологія | Мультиплікативна термінологія | |
| Операція | + – додавання |  – множення
|
| Результат операції | сума | добуток |
| Нейтральний елемент | нуль 0 | одиниця 1або е |
| Симетричний елемент | протилежний –а | обернений  або 
|
| Обернена операція | віднімання | ділення |
| Результат оберненої операції | різниця | частка |
| Степінь елемента | кратне 
| степінь 
|
Крім операцій, на множині можуть бути визначені різні відношення.
Означення. Непорожня множина разом із заданою на ній сукупністю алгебраїчних операцій і сукупністю відношень називається алгебраїчною системою: 
. Якщо алгебраїчнасистема не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень – алгеброю.
Приклади.
1. 
є алгебраїчною системою.
2. 
не є алгебраїчною системою, оскільки результат операції – не завжди є натуральним числом.
3. 
є алгебраїчною системою. Ця алгебраїчна система носить назву «арифметика».
Кільця і поля.
Означення. Кільцем називається непорожня множина
, на якій визначені дві бінарні алгебраїчні операція + (додавання) і (множення) так, що виконуються наступні умови (аксіоми кільця): К1. 
– абелева група:
|
|
|
;2) в множині існує нульовий елемент 
: 
;3) для кожного елемента 
існує протилежний елемент 
: 
.4) операція + комутативна: 
. К2. 
– півгрупа:
асоціативна: 
;К3. Операція (множення) дистрибутивна зліва і справа відносно операції+(додавання):6) 
; 
; Кільце позначається 
або просто .
Означення.Полем називається комутативне кільце, елементи якого, відмінні від нульового елемента утворюють групу відносно операції .
Приклад.
1. 
– поле раціональних чисел.
2. 
– поле дійсних чисел.
3. 
– поле комплексних чисел.
Гратки.
Булеві змінні і функції.
Елементами булевої алгебри є булеві константи, булеві застосування і булеві операції. Існують дві булеві константи, які прийнято позначати 0 і I. Ці константи не розглядаються як числа і для їх позначення можна використовувати будь-які слова (наприклад, так і ні. Істина і брехня, true і false і т.д.). Булеві змінні можуть приймати лише значення булевих констант, тобто 0 або 1. Таким чином, змінна х l називається булевої змінною, якщо і тільки якщо 
.
|
|
|
Бу́лева фу́нкція (функція алгебри логіки, логічна функція) — в дискретній математиці відображення Bn → B, де B = {0,1} — булева множина.
Bn — множина всіх можливих послідовностей з 0 та 1 довжини n.
Булева функція задається у вигляді таблиці, або графіка зі стандартним (лексикографічним) розташуванням наборів аргументів.
В стандартному розташуванні набори можна розглядати як двійкові записи цілих чисел від 0 до 
. Функцію, задану зі стандартним розташуванням наборів, можна ототожнити з набором довжини 
.
Очевидно, що множина всіх можливих наборів довжини , тобто множина n-арних булевих функцій, складається з 
елементів. При n=0 це 2, при n=1 — 4, при n=2 — 16, при n=3 — 256 тощо.
Нуль-арними булевими функціями є сталі 0 і 1.
Функції 0 і 1 називаються тотожними нулем і одиницею, функція x — тотожною, 
— запереченням. Замість виразу вживається ще вираз 
. Ці вирази читаються як «не x».
Подамо також деякі з 16 бінарних функцій разом із їх позначеннями:
Функція, позначена виразом 
, називається кон'юнкцією і позначається ще як x&y, 
або xy. Усі ці вирази читаються як «x і y».
Зауважимо, що інфіксні позначення наведених функцій вигляду x f y, де f — відповідний знак, склалися історично. Їх так само можна позначати й у вигляді f(x, y), наприклад, 
.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 377; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!