Поняття відношення. Задання відношень.
Відношенням (n-місним відношенням) в теорії множин називається підмножина декартового степеня Mn деякої множини M. Кажуть також, що елементи a1,a2,...,an∈M знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (a1,a2,...,an)∈R.
До відношень можна застосовувати теоретико-множинні операції і алгебру множин.
Поняття відношення є певним теоретико-множинним узагальненням відомого з елементарної арифметики набору таких відношень, як "=" (дорівнює) або "<" (менше). Поняття відношення і операцій з ними в практичних застосуваннях грає ключову роль в побудові реляційних моделей систем управління базами даних.
В математичній літературі часто не розрізняють поняття відношення та відповідності між множинами (тобто, в такому випадку, відношення можуть мати місце між різними множинами). В цій енциклопедії поняття відношення на множині та відношення між множинами (відповідності між множинами) розрізняються, якщо інше не вказано окремо.
Операції над відношеннями.
1)Обернене відношення:
2) Композиція відношень:
3) Степінь відношення:
4) Переріз та фактор-множина:
Властивості бінарних відношень.
Нехай R — деяке відношення на множині M. Відношення R називається
· рефлексивним, якщо для всіх a∈M має місце aRa.
· антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для жодного a∈M не виконується aRa.
· симетричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb маємо bRa.
|
|
|
· асиметричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb не виконується bRa.
· антисиметричним, якщо для всіх a,b∈M таких, що aRb і bRa маємо a = b.
· транзитивним, якщо зі співвідношень aRb і bRc випливає aRc.
· повним, якщо для будь-яких a,b∈M випливає, що aRb або bRa.
Якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище властивостей, то обернене відношення R−1 також має ту саму властивість. Таким чином, операція обернення зберігає всі ці властивості відношень.
Відношення, яке є рефлексивним, симетричним та транзитивним, називається відношенням еквівалентності.
Відношення, яке є рефлексивним, антисиметричним та транзитивним, називається відношенням часткового порядку.
Відношення часткового порядку, яке є повним, називається відношенням лінійного порядку (чи лінійним порядком).
Відношення еквівалентності.
Відно́шення еквівале́нтності в математиці — бінарне відношення, яке є рефлексивне, симетричне та транзитивне.
Формально, для деякого бінарного відношення R⊆M:
1. aRa для всіх a∈M (рефлексивність)
2. Якщо aRb, то bRa для a,b∈M (симетричність)
3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c∈M (транзитивність)
Приклади
1. Відношення рівності на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності.
|
|
|
2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.
3. Відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або конгруентність за модулем k, яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k∈N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a ≡ b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ≡ 22(mod 5), 1221 ≡ 6 (mod 5), 42 ≡ 57 (mod 5).
Відношення порядку.
Відношення толерантності.
Функціональні відношення.
Реляційна модель даних.
Реляцíйна модéль дáних — розроблена Едгаром Коддом в 1970 логічна модель даних, що описує:
- структури даних у вигляді наборів відношень, що, можливо, змінюються в часі;
- теоретико-множинні операції над даними: об'єднання, перетин, різниця і декартів добуток;
- спеціальні реляційні операції: селекція, проекція, з'єднання і розподіл;
- а також спеціальні правила, що забезпечують цілісність даних.
Обробка даних в реляційній моделі ґрунтується на принципах реляційної алгебри.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 259; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!