Предпосылки МНК (условия Гаусса–Маркова)

Вопросы эконометрика

1. Назначение эконометрических моделей. Принципы их спецификации.

ЭКОНОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ [econometric model] — основное понятие эконометрии, экономико-математическая модель, параметры которой оцениваются с помощью методов математической статистики. Она выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов как на макро-, так и на микроэкономическом уровне на основе реальной статистической информации. Наиболее распространены Э. м., представляющие собой системы регрессионных уравнений, в которых отражается зависимость эндогенных величин (искомых) от внешних воздействий (текущих экзогенных величин) в условиях, описываемых параметрами модели, а также лаговыми переменными (см. Лаг). Кроме регрессионных (как линейных, так и нелинейных) уравнений, применяются и другие математико-статистические модели.

Э. м. может быть представлена в двух формах: структурной (см. также Структурные модели) и приведенной

В наиболее общем виде любую Э. м., построенную в виде системы линейных уравнений, можно записать так:

где y — вектор текущих значений эндогенных переменных модели; A — матрица коэффициентов взаимодействий между текущими значениями эндогенных переменных модели; Z — матрица коэффициентов влияния запаздывающих (лаговых) переменных модели на текущие значения эндогенных и моделируемых показателей; C — матрица коэффициентов внешних воздействий; x — вектор значений экзогенных показателей модели; t — индекс временного периода; I — индекс запаздывания (лага); p — продолжительность максимального лага.

В литературе подобные системы часто называют системами одновременных различение зависимых и независимых переменных. Вместо этого устанавливается различие между двумя видами переменных. Это, во-первых, совместно зависимые переменные (эндогенные), влияние которых друг на друга должно быть исследовано (матрица A в слагаемом Ay(t) приведенной выше системы уравнений). Во-вторых, предопределенные переменные, которые, как предполагается, оказывают влияние на первые, однако не испытывают их воздействия; это переменные с запаздыванием, т. е. лаговые (второе слагаемое) и определенные вне данной системы уравнений экзогенные переменные.

(Экзогенными, напр., всегда оказываются показатели климатических условий, если они включаются в модель. В то же время многие экономические переменные в зависимости от задач и структуры модели могут относиться и к эндогенным, и к экзогенным.)

Понятие одновременных эконометрических уравнений и методы их решения были впервые предложены норвежским экономистом Т. Хаавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных, а также на пробит-модели, логит-модели, тобит-модели и др.

Первый принцип спецификации эконометрической модели является универсальным принципом метода математического моделирования. Принцип заключается в том, что спецификация модели возникает в результате трансляции на математический язык взаимосвязей исходных данных экономической задачи (экзогенных переменных модели) и ее искомых неизвестных(эндогенных переменных модели). В процессе такой такой трансляции опираются на законы экономической теории, которые, по возможности, стараются описать линейными алгебраическими функциями.

Второй принцип требует, чтобы количество уравнений, составляющих спецификацию модели, в точности совпадало с количеством эндогенных переменных, включенных в модель.

Модель, возникающая на этапе спецификации, как правило, имеет структурную форму, отражающую заложенные в модель экономические утверждения. В такой форме эндогенные переменные модели, как правило, не выражены явно через ее экзогенные переменные. При помощи алгебраических преобразований модель от структурной формы может быть трансформирована к приведенной форме, где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных модели. Приведенная форма модели непосредственно предназначена для прогноза (объяснения) эндогенных переменных при помощи экзогенных переменных. В частном случае структурная форма модели может совпадать с приведенной формой.

2. Типы переменных в эконометрических моделях.

По отношению к спецификации все экономические переменные подразделяются на два типа: эндогенные и экзогенные.

Экзогенными (независимыми) называются экономические переменные, значения которых определяются вне данной модели. Эндогенными (зависимыми) называются экономические переменные, значения которых определяются (объясняются) внутри модели в результате одновременного взаимодействия соотношений, образующих модель

Переменные модели называются датированными, если обозначена их зависимость от времени. Экзо- и эндогенные переменные могут быть лаговыми или текущими.

Лаговыми называются экзогенные и эндогенные переменные экономической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Модели, включающие лаговые переменные, относятся к классу динамических.

Предопределенными называются лаговые и текущие экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные.

3. Структурная и приведенная форма спецификации эконометрических моделей.

Переход от структурной к приведенной форме возможен всегда и однозначно, а обратное неверно.

Приведенная форма.

Структурная форма.

4. Взаимосвязь структурной и приведённой форм спецификации эконометрической модели.

Для построения прогнозов эндогенных переменных необходимо выразить текущие эндогенные переменные модели в виде явных функций предопределённых переменных. Последняя спецификация, полученная путем включения случайных возмущений получена в результате математической формализации экономических закономерностей. Такая форма спецификации называется структурной.В общем случае в структурной спецификации эндогенные переменные не выражены в явном виде через предопределенные.

Модель, в которой эндогенные переменные выражены в явном виде через предопределенные переменные получила название приведенной.

В частном случае структурная и приведённая формы модели могут совпадать. При правильной спецификации модели переход от структурной к приведённой форме всегда возможен, обратный переход возможен не всегда.

Введем следующие обозначения:

· Y_t — вектор-столбец текущих значений эндогенных переменных;

· X_t — расширенный вектор-столбец предопределённых переменных, значения которых известны к моменту t;

· А и В — матрицы коэффициентов структурной формы модели (структурные коэффициенты);

· V_t — вектор-столбец текущих возмущений.

С учетом данных обозначений матричная запись структурной формы эконометрической модели принимает вид

A Y_t +B X_t=V_t.

Матричное представление приведённой формы спецификации следующее:

Y_t=M X_t+U_t,

где М— матрица приведенных коэффициентов, то есть

М = –А^-1В.

5. Этапы построения эконометрических моделей.

1. Постановочный — формулируются конечные цели моделирования.

2. Априорный — предварительный анализ сущности изучаемого явления.

3. Параметризация — выбор общего вида модели.

4. Информационный — формирование необходимой статистической информации.

5. Идентификация модели — оценка параметров модели.

6. Верификация модели — проверка адекватности и оценка точности модели. Если модель имеет приемлемое качество, то на ее основе проводится анализ моделируемой системы.

6. Порядок оценивания линейной регрессионной модели из изолированного уравнения в Excel.

Ещё больше информации даёт сервис Регрессия из Пакета анализа Excel. Для его запуска надо щелкнуть в Меню Excel 2003 Сервис – Анализ данных – Регрессия. (Если Анализ данных в меню Сервиса не появится, щелкните Надстройки и установите флажок Пакет анализа). В Excel 2007 и 2010 Пакет анализа вызывается в разделе Меню Данные. Если Анализ данных не виден, установить его: Файл – Параметры – Надстройки – Параметры Excel применить – Пакет анализа. Укажите диапазоны ячеек Yи X и на какой лист выводить результаты – на новый или на тот же. В этом случае надо указать достаточно большой диапазон ячеек для вывода. Поставьте флажок Метка, если выделили X и Y с заголовками.

Сервис Регрессия выводит все статистические характеристики модели с соответствующими надписями. Сервис Регрессия может применяться для линейных или линеаризованных моделей.

Стандартные надписи и дополнительные пояснения позволяют быстро разобраться в таблице результатов сервиса Регрессия.

Сервис Регрессия можно применять к линеаризованным моделям, а также считая х в разных степенях в полиноме как самостоятельные экзогенные переменные, то есть сводя полиномиальную модель к модели множественной регрессии.

7. Смысл выходной статистической информации функции ЛИНЕЙН.

Результаты вычислений функции ЛИНЕЙН расположены в следующем порядке:

Таблица.

Где

, — оценки параметров модели;

, — оценки ско оценок параметров;

— оценка ско возмущений;

— коэффициент детерминации, используемый для определения качества модели, чем лучше качество спецификации, тем значение ближе к 1, чем хуже — тем ближе к 0;

— значение статистики, имеющей распределение Фишера и используемой для проверки статистической значимости коэффициента детерминации;

— число степеней свободы ( , — объем выборки, — число параметров модели);

— сумма квадратов остатков;

— сумма квадратов центрированных по выборочным данным оценок значений эндогенной переменной.

8. Спецификация парной линейной регрессионной модели, предпосылки Гаусса-Маркова относительно случайного возмущения.

Парная регрессия представляет собой модель вида y=f(x). В каждом отдельном случае yi=y¯xi +Ei, где

yi – значение результативного признака; y¯xi – теоретическое значение результативного признака; Ei – СВ или возмущение.

Ei зависит:

от ошибок спецификации

неправильный выбор математической функции
недоучет в уравнении регрессии какого-либо существенного фактора

от ошибок выборки. Возникает в силу неоднородности данных и уравнение регрессии, построенное с учетом аномальных наблюдений, не имеет смысла.
от ошибок измерения. На ошибки измерения исследователь влиять не может

В эконометрическом исследовании используются следующие типы функций:

линейная
парабола 2 и 3 порядка
гипербола
степенная
показательная

Выбор вида математической функции осуществляется 3 методами:

графический
аналитический
экспериментальный

Регрессионный анализ позволяет определить оценки коэффициентов регрессии. Но оценки не позволяют сделать вывод, насколько точно эмпирическое уравнение регрессии соответствует уравнению для всей генеральной совокупности, насколько близки оценки b0 иb1-коэффициентовк своим теоретическим прототипамβ0 иβ1, как близко оцененное значениеˆyi к условному математическому ожида-

нию M (Y (X =xi ), насколько надежны найденные оценки. Для отве-

та наэтивопросынеобходимы дополнительные исследования. Значения yi зависят от значенийxi и случайных отклоненийεi.

Следовательно, переменная Y является СВ, напрямую связанной сεi. До тех пор, пока не будет определенности в вероятностном поведенииεi, мы не сможем быть уверенными в качестве оценок.

Известно, что для получения по МНК наилучших результатов необходимо, чтобы выполнялся ряд предпосылок относительно случайного отклонения.

Предпосылки МНК (условия Гаусса–Маркова)

1. Математическое ожидание случайного отклонения εiравно нулю: M(εi )=0 для всех наблюдений.

Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом конкретном наблюдении случайный член может быть либо положительным, либо отрицательным, но он не должен иметь системати-

ческого смещения. Выполнимость M (εi )=0 влечет выполнимость:

M (Y X=xi )= β0 +β1xi .

2. Дисперсия случайных отклонений εi постоянна: D(εi)=D(εj )=σ2ε =const для любых наблюдений i и j.

Условие независимости дисперсии ошибки от номера наблюде-

ния называется гомоскедастичностью (homoscedasticity).Невы-

полнимость данной предпосылки называется гетероскедастично-

стью (heteroscedasticity).

	2
Поскольку D(εi)=M (εj−M (εj ))		=M (εi2), то данную пред-

посылку можно переписать в форме: M (εi2)=σ2ε . Причины невы-

полнимости данной предпосылки и проблемы, связанные с этим, подробно рассматриваются ниже.

3. Случайные отклонения εi иεj являются независимыми друг от друга для i≠ j .

Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Величина и определенный знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения.

Выполнимость данной предпосылки влечет следующее соотношение:

0, приi ≠ j

σεi εj = σ2ε,при i= j.

Поэтому, если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции. С учетом выполнимостипредпосылки 1 данное соотношение может быть переписано в виде:

M (εi εj )=0 (i≠ j).

Причины невыполнимости данной предпосылки и проблемы, связанные с этим, рассматриваются ниже.

4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных.

Обычно это условие выполняется автоматически, если объясняющие переменные не являются случайными в данной модели.

Данное условие предполагает выполнимость следующего соотношения:

σεi xi =M(εi −M(εi)) (xi −M(xi)) =M(εi ,xj )=0 .

Следует отметить, что выполнимость данной предпосылки не столь критична для эконометрических моделей.

5. Модель является линейной относительно параметров.

Для случая множественной линейной регрессии существенными являются еще две предпосылки.

6. Отсутствие мультиколлинеарности.

Между объясняющими переменными отсутствует сильная линейная зависимость.

7. Случайные отклонения εi, i =1, 2, …, n, имеют нормальное распределение.

Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения интервальных оценок.

Наряду с выполнимостью указанных предпосылок при построении классических линейных регрессионных моделей делаются еще некоторые предположения. Например:

•объясняющие переменные не являются случайными величи-

нами;

•число наблюдений существенно больше числа объясняющих переменных (числа параметров уравнения);

•отсутствуют ошибки спецификации, т. е. правильно выбран вид уравнения и в него включены все необходимые переменные.

Часто полагают, что число наблюдений должно быть как минимум в 5-6раз больше числа параметров уравнения (числа объясняющих переменных).

9. Теорема Гаусса - Маркова.

Если предпосылки 1-5 выполнены, то оценки, полученные по МНК, обладают следующими свойствами:

1. Оценки параметров являются несмещенными, т. е. M (b1)= β1,M (b0)= β0 (математические ожидания оценок параметров равны их теоретическим значениям). Это вытекает из того, чтоM (εi )=0 ,

и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.

2. Оценки параметров состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при возрастании числа n наблюдений стремится к нулю

D(	b0	) →0, D(	b1	) →0 . Другими словами, при увеличении
	b0	n→∞	b1	n→∞

объема выборки надежность оценок увеличивается (b1 наверняка близко кβ1,b0 — близко кβ0).

3. Оценки параметров эффективны, т. е. они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин yi.

10. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов (МНК) в координатной форме.

Подставим вектор оценок параметров модели ( ) в выражение оценки эндогенной переменной ( , получим:

где

матрица линейного преобразования, матричный оператор, называемый проектором, в силу свойства идемпотентности (матрица N совпадает со своим квадратом: ):

Таким образом, элементы вектора оценок являются проекцией вектора наблюдений У на плоскость L, проходящую через векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы регрессоров: I =(l,...,l)^T

и X. Вектор остатков е = У - , в соответствии с методом наименьших квадратов, должен иметь наименьшую длину, так как критерий отбора (функционал качества) МНК, в матричной форме, есть не что иное, как квадрат нормы вектора остатков

длина элемента евклидова пространства.

Длина будет наименьшей, если вектор е ортогонален плоскости L, т. с. ортогонален каждому вектору, принадлежащему данной плоскости, в частности, векторам / и X, а это означает, что скалярные произведения соответствующих векторов должны быть равны нулю, т. е.

Таким образом, мы снова получили необходимые условия экстремума — систему нормальных уравнений, в результате решения которой получаются МНК-оценки параметров модели, обеспечивающие минимальное значение функционалу качества.

11. Доказательство несмещенности МНК-оценок параметров модели парной регрессии.

12. Несмещённая оценка дисперсии возмущений регрессионной модели.

МНК-оценка параметра при регрессоре несмещенная, так как математическое ожидание оценки этого параметра равно его истинному значению

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 1069; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!