Задачи с параметром, решаемые с помощью графического метода

Пример. Найти наименьшее значение функции

Решение. Выделим полные квадраты в подкоренных выражениях:

Получим . Как первое, так и второе слагаемое правой части этого равенства представляет собой расстояние от точки A(x;0) оси абсцисс до некоторой точки с фиксированными координатами, не зависящими от переменной x. Следовательно, решение задачи состоит в нахождении такой точки A оси абсцисс, сумма расстояний от которой до двух данных точек минимальна. Если данные точки B и C находятся по разные стороны от оси абсцисс, то искомая точка есть точка пересечения прямой BC с осью абсцисс, так как для любой другой точки оси абсцисс сумма расстояний от неё до точек B и C будет больше в силу неравенства треугольника: AB + AC = BC, (см. рис.4). Абсциссы точек B и C – это -3 и 5, а квадраты их ординат 16 и 4. Выберем знаки ординат точек B и C так, чтобы эти точки лежали по разные стороны от оси абсцисс: B(-3;-4) и C(5;2). Найдём уравнение прямой BC:

Тогда абсцисса точки A равна

А искомый минимум равен

Рис.4

Ответ: 10.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Рассмотрим на координатной плоскости Oxy точки A(0;15), B(8;0), C(0;12), D(16;0). Решить систему – означает найти все точки M(x;y), для каждой из которых MA+MB=17, MC+MD=20. Но AB= ,CD= (см. рис.5). Следовательно, MA+MB=AB (т.е. точка M принадлежит отрезку AB),MC+MD=CD(т.е. точка M принадлежит отрезку CD). Поэтому точку M можно найти как точку пересечения отрезков AB и CD, координаты двух точек каждой из которых известны, находятся без труда:

- уравнение прямой AB;

- уравнение прямой CD.

Для вычисления абсциссы точки M осталось решить уравнение

, откуда

Ордината точки M находится подстановкой полученной абсциссы в уравнение любой из прямых AB или CD:

Рис.5

Ответ: ).

Пример. Найти все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

Решение. Первое уравнение системы представляет собой уравнение окружности с центром C(0;6) и радиусом 6. Левая часть второго уравнения равна сумме расстояний от точки M(x;y) координатной плоскости Oxy до точек A(0;18) и B( ;0) этой плоскости. Длина отрезка AB равна .

MA+MB=AB, следовательно, точка M(x; y) принадлежит отрезку AB. Решение данной задачи заключается в нахождении всех значений параметра , при каждом из которых существует единственная точка M(x;y) координатной плоскости Oxy, принадлежащая как окружности с центром C(0;6) и радиусом 6, так и отрезку с концами A(0;18) и B( ;0). Отсюда следует, что необходимо найти такое положение точки B( ;0) на оси абсцисс, при котором прямая AB касается окружности в точке M(x;y). Отрезок CM является радиусом, проведённым в точку касания, т.е. Но , значит угол . Поэтому OB=OA tg = (где точка O – начало координат). Таким образом, .

Рис.6

Ответ: .

Пример. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система неравенств

имеет хоты бы одно решение на отрезке [3;4].

Решение. Выразим через :

а затем построим графики так, чтобы выполнялось:

Рис.7

Ответ: .

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых следующая система уравнений имеет хотя бы одно решение (x; y; z):

Решение. При любом действительном значении z первое уравнение данной системы является уравнением окружности плоскости Oxy с радиусом 3 и центром в точке ( ; ), где Поскольку , центр окружности лежит на окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

Следовательно, множеством всех точек (x; y) плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют первому уравнению данной системы, является кольцо, которое заключено между двумя концентрическими окружностями (включая сами эти окружности) с центром в начале координат и радиусами 2 и 8 (см. рис.8)

-8

-6

-4

-2

Рис.8

Если , данная система решений не имеет.

Если , множеством всех точек (x;y) плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют второму уравнению данной системы, является квадрат с диагональю и стороной , который ограничен прямыми:

Данная система имеет хотя бы одно решение только в тех случаях, когда квадрат или вписан в меньшую окружность, которая ограничивает кольцо, тогда , или описан около большей окружности, которая ограничивает кольцо, тогда , откуда

либо занимает промежуточное положение между двумя этими положениями, тогда .

Ответ: .

Пример. Найти все значения параметра , при каждом из которых хотя бы одно решение неравенства принадлежит отрезку [1;2].

Решение. Перепишем неравенство в виде и раскроем модуль , как систему .

Тогда получаем систему неравенств

Решим уравнение .

Отсюда получаем, что и .

Тогда и . Получаем, что множеством всех точек (x;a) плоскости Oxa, координаты которых удовлетворяют неравенству является полоса, заключённая между прямыми и , включая эти прямые.

Множеством всех точек (x;a) плоскости Oxa, координаты которых удовлетворяют неравенству , является парабола и часть плоскости, которая расположена выше этой параболы (см. рис.9).

-2

-1

Рис.9

Система неравенств

имеет хотя бы одно решение на отрезке [1;2] только тогда, когда

Ответ: .

Пример. Найдите все значения параметра , при которых неравенство

не имеет решений на отрезке [-3;0].

Решение. Раскроем модуль по формуле как совокупность

и выразим через :

Построим графики функций и .

Для графика , ,

для графика , .

Построим области, удовлетворяющие каждому неравенству системы.

Рис.10

Ответ: .

В заключение рассмотрим пример, который решим как аналитическим, так и графическим методом.

Пример. Решить неравенство .

Решение аналитическим методом. Будем решать неравенство по правилу:

Получаем:

Рассмотрим первую систему:

Рис.11

3) Найдём при каком

-1

4) Если

, то

Рис.12

решением системы является

5) Найдём при каком выполняется система неравенств:

Решением является .

Подведём итог, что:

если , то ;

если , то .

Рассмотрим вторую систему:

Поведём итог, что:

если , т.е. , то система не имеет решений;

если , т.е. , то .

Заметим, что равен .

Ответ: если , то ; если , то

Решение графическим методом. Построим прямую ,и рассмотрим три случая расположения графика относительно этой прямой.

1) Если график расположен ниже , то решений нет. (см. рис.13 положение 1)

2) Составим систему

которая должна иметь одно решение, что равносильно для уравнения

иметь один корень.

, тогда

и , а также

Отсюда получаем, что при решений нет. (см. рис.13 положение 2)

3) и имеют две общие точки.

Такое положение достигается при . (см. рис. 13 положение 3)

Теперь мы можем сделать вывод, что:

если , то – решение, где и - абсциссы точек пересечения графиков;

если ,то – решение, где - больший из корней и . (см. рис. 13 положение 4)

-1

Рис.13

Ответ: если , то ; если , то

Заключение

Цель данной работы состояла в изучении задач с параметрами в материалах государственной итоговой аттестации и методов их решения.

Изучив и проанализировав задачи с параметрами в материалах ЕГЭ по математике за последние пять лет, было выявлено, что в большинстве случаев встречаются задачи первого типа рассмотренной нами классификации. Для решения этих задач в основном используются аналитический и графический методы.

Данные методы были рассмотрены на разных типах задач. Аналитический метод – это решение задачи, позволяющее с помощью математических преобразований упростить выражение и найти ответ. Графический метод – нахождение решения и ответа задачи с параметром с помощью координатной плоскости.

Необходимо уметь решать данные задачи различными методами, чтобы выбрать наиболее эффективный для решения конкретной задачи.

Для закрепления навыков решения задач с параметром была подобрана серия задач с параметром, среди которой преобладают задачи первого типа, и решение которых выполняется аналитическим и графическим методами.

Список литературы

1. Беляева Э. С. Математика. Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч.1: учебное пособие/ Э.С. Беляева, А.С. Потапов, С.А. Титаренко. ̶ М.: Дрофа, 2009. ̶ 480 с.

2. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.: Научный мир, 2011. – 316с.: 262 ил.

3. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

4. Горнштейн П. И. Задачи с параметрами / П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. ̶ 3-е изд., доп. и перераб. ̶ М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005. ̶ 328 с.

5. Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт»: - 2016. - №8 (август). – 0,4 п.л. – URL: https://e-koncept.ru/2016/16176.htm

6. Крамор В. С. Задачи с параметром и методы их решения / В. С. Крамор. – М.: ООО Из-во Оникс: ООО Из-во Мир и Образование, 2007. – 416с.: ил.

7. Локоть В. В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы: Учебное пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: АРКТИ, 2005. – 96 с.

8. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Математика ЕГЭ 2011. Типовые задания С5. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений [Электронный ресурс]. ̶ Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/2011/c52011.pdf

9. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. , Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителя. – М.: Из-во Просвещение, 1965. – 542 с.

10. Мирошин В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В.В. Мирошин. ̶ М.: Издательство «Экзамен», 2009. ̶ 286 с.

11. Прокофьев А. А. Задачи с параметрами. ̶ М.: МИЭТ, 2004. ̶ 258 с.

12. Фалилеева М. В. Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром: Учебное пособие / М.В. Фалилеева. – Казань: Казан. ун-т, 2014. – 111 с.

13. Шестаков С. А. ЕГЭ 2016. Математика. Задачи с параметром. Задача 18 (профильный уровень) / Под ред. И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2016. – 240 с.

14. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. ̶ М.: Просвещение, 1986. ̶ 127 с.

15. http://alexlarin.net/

16. http://www.fipi.ru/

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 619; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 34

Мы поможем в написании ваших работ!