Методы учета фактора времени в финансовых операциях

Тема 3. Фактор времени в финансовых операциях  

Концепция временной стоимости денег

В условиях рыночной экономики при проведении финансовых операций важнейшую роль играет фактор времени. «Золотое» пра­вило бизнеса гласит: рубль, полученный сегодня, больше рубля, по­лученного завтра. Проиллюстрируем это правило на примере.

Пример 1.Некто X обладает суммой в 10 000 ден. ед. в момент времени t = 0 (например, сегодня) и с достоверностью получит еще столько же в момент времени t= 1 (например, завтра или через год). Кроме того, существует беспрепятственная возможность положить деньги в банк на этот период либо получить кредит на такой же срок. Бан­ковская ставка по обеим операциям равна 10%.

Определить максимально возможный объем потребления X в текущем и будущем периоде.

Решение. Пусть St — сумма, которой обладает X в соответ­ствующем периоде t;  Ct — сумма, направленная на потребление в периоде t; r — процентная ставка по банковским операциям.

Наиболее простой случай, если X предпочитает полностью тра­тить свои деньги в соответствующем периоде. Определим макси­мально возможное потребление для периодов t = 0 и t = 1 при таких условиях:

                                      max С₀ = S₀ = 10 000;   

                                      max С₁ = S₁ = 10 000

Суммарное потребление за рассматриваемый период в этом слу­чае будет равно:

                     max С_0,1 = С₀ + С₁ = S₁ + S₀ = 20 000.

Если же часть полученной в периоде t = 0 суммы S₀ будет по­мещена в банк под 10%, доступные для потребления средства в пе­риоде t = 1 составят:

                              С₁ = S₁ + (S₀ - С₀)(1 + r).

Предположим, что X решил поместить в банк всю сумму S₀, полученную в текущем периоде t = 0. Тогда общая сумма, доступная для потребления в период t = 1, составит:                                                                                           

      С₁ = 10 000 + (10 000 - 0)(1 + 0,1) = 10 000 + 11 000 = 21 000.      

 

Отметим, что полученный результат соответствует максимально возможному в данном примере общему объему потребления.

При полной гарантии получения 10 000 в периоде t = 1 X может увеличить потребление и в текущем периоде, воспользовавшись возможностью получения кредита в счет будущих доходов. Опреде­лим предел объема потребления в текущем периоде. Он будет равен полученному доходу S₀ плюс максимальная сумма кредита, которая может быть погашена за счет будущего дохода S₁.

Обозначим искомую сумму через у. С учетом платы за кредит в 10% уравнение примет следующий вид:

                                   у + 0,1у = у (1+ 0,1) = 10000.

Тогда предельная сумма кредита для X будет равна:

                        у = 10 000 / (1 + 0,1) = 9090,91 ≈ 9091.

Соответственно максимальный объем потребления для периода t= 0 составит:

                        max С₀ = S₀ + S₁ / (1 + г) = 10 000 + 9091 = 19 091.

Любые допустимые решения этой задачи будут лежать на пря­мой, заданной уравнением:

                 С₁ = S₁ + (S₀ - С₀)(1 + r), или с учетом заданных значений

             С₁ = 10 000 + (10 000 - С₀)(1 + 0,1) = 21 000 - 1,1 С₀.

Как следует из полученных соотношений, коэффициент накло­на данной прямой равен —(1 + r) или —1,1. Однако для нас значи­тельно больший интерес представляет экономическая интерпрета­ция этого показателя, который в данном случае определяет коэф­фициент обмена текущих денег на будущие и обратно. Другими словами, величина (1 + r)позволяет оценить стоимость денежной единицы в зависимости от времени получения. Нетрудно заметить, что она прямо зависит от значения процентной ставки r.

Так как каждая денежная единица, инвестированная в текущем периоде, дает возможность заработать сумму (1 + r), обладание сум­мой S сегодня эквивалентно обладанию суммой S (1 + r) в будущем.

Соответственно каждая денежная единица будущих поступлений обладает меньшей ценностью по сравнению с текущей, поскольку отсрочка ее получения лишает возможность заработать в перспек­тиве дополнительный доход (1 + r). Следовательно, она должна стоить меньше текущей на (1 + r).

Действительно, в нашем примере обладание суммой S = 10 000 в будущем эквивалентно обладанию суммой S/(1 + r) = 9091 в на­стоящем, т.е. стоимость будущего рубля при ставке 10% составит 0,9091 копеек.

Продемонстрированная неравноценность двух одинаковых по ве­личине (S₀ = S₁), но разных по времени получения денежных сумм (t₀ ≠ t₁) — явление, широко известное и осознанное в финансовом мире. Его существование обусловлено рядом причин, например:

• в общем случае индивидуумы предпочитают немедленное по­требление отложенному;

• имеющаяся в наличии денежная сумма может быть инвести­рована и спустя некоторое время принести доход;

• в реальном мире будущее всегда связано с неопределенно­стью, поэтому будущие поступления всегда более рискован­ные, чем текущие;

• даже при небольшой инфляции покупательная способность денег со временем снижается и др.

Исследования этого явления нашли свое воплощение в форму­лировке принципа временной стоимости денег(time value of money), краеугольного камня современного управления финансами. Со­гласно этому принципу сегодняшние денежные поступления ценнее будущих. Соответственно будущие денежные поступления обладают меньшей ценностью, чем текущие.

Из принципа временной ценности денег вытекает по крайней мере два важных следствия:

• необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;

• некорректность (с точки зрения финансового менеджмента) суммирования денежных величин, относящихся к разным пе­риодам времени.

Необходимость учета фактора времени в финансовом менедж­менте требует применения специальных методов его оценки.

Методы учета фактора времени в финансовых операциях

В финансовом менеджменте учет фактора времени осуществля­ется с помощью специальных методов наращения и дисконтирова­ния, в основу которых положена техника процентных вычислений.

Сущностью этих методов является приведение денежных сумм, относящихся к различным временным периодам, к требуемому мо­менту времени в настоящем или будущем. В качестве нормы приве­дения используется процентная ставка r.

В узком смысле процентная ставка представляет собой цену, уплачиваемую за использование заемных денежных средств. Однако в финансовом менеджменте она трактуется более широко. Про­центная ставка здесь также выступает:

• в качестве измерителя уровня (нормы) доходности осуществ­ляемых операций, исчисляемого как отношение полученной прибыли к объему вложенных средств и выражаемого в долях единицы либо в процентах;

• в качестве альтернативной стоимости (издержек) капитала.

Под наращениемпонимают увеличение первоначальной суммы в результате начисления процентов. Экономический смысл метода наращения состоит в определении суммы, которая будет или может быть получена из некоторой первоначальной (текущей) суммы в ре­зультате проведения операции. Другими словами, метод наращения позволяет определить будущий размер (future value (FV))текущей суммы (present value (PV))через некоторый промежуток времени п исходя из заданной процентной ставки r. Используемую при этом ставку rиногда называют ставкой роста.

Дисконтированиепредставляет собой нахождение современного (на текущий момент времени) размера некоторой суммы по ее из­вестному или предполагаемому значению в будущем.

В экономическом смысле величина РV, найденная в процессе дисконтирования, показывает современную или текущую стоимость будущей суммы FV.

Дисконтирование по сути есть зеркальное отражение нараще­ния. Используемую при этом процентную ставку rназывают нор­мой дисконта.

В зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

1. Как правило, простые процентыиспользуются в краткосрочных фи­нансовых операциях, срок проведения которых меньше или равен году.

Базой для исчисления процентов за каждый период в этом слу­чае является первоначальная (исходная) сумма сделки.

Наращение по простым процентам.В общем случае нараще­ние по годовой ставке простых процентов осуществляют по сле­дующей формуле:

FV = РV(1 +rп),                                                      (1)

где FV — будущая стоимость;

РV— современная стоимость;

п — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

На практике продолжительность краткосрочной операции часто бывает меньше года. В этом случае срок проведения операции пв (1) определяется следующим образом:

                                                    n = _t_  ,                                          (2)

    B

где t — число дней проведения операции;

В — временная база (число дней в году: 360, 365 или 366).

С учетом (2) формула расчета будущей стоимости примет сле­дующий вид:

                                         (3)

           

Обычно при определении продолжительности операции даты ее начала и окончания считаются за 1 день.

В процессе проведения анализа в качестве временной базы Вчасто удобно использовать условный или финансовый год, состоя­щий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими.

Точные проценты получают при базе, равной фактическому чис­лу дней в году, т.е. при В = 365 или 366.

Пример 2.Покупателю предоставлен кредит под гарантию оплаты про­дукции на сумму 10 000 ден. ед. через 30 дней. Ставка по кредиту опреде­лена в размере 30% годовых. Какова будет сумма оплаты по контракту?

Решение: а) С использованием обыкновенных процентов  

                           FV= 10 000(1 + 0,30 • 30 : 360) = 10 250.
                    б) С использованием точных процентов                                         

                         FV= 10 000 (1 + 0,30 • 30 : 365) = 10246,57.

В свою очередь срок продолжительности операции t также может быть приблизительным (когда любой месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каж­дом месяце).

Тогда в зависимости от параметров r и В возможны следующие варианты начислений процентов:

• 365/365 — точное число дней проведения операции и факти­ческое количество дней в году;

• 365/360 — точное число дней проведения операции и финан­совый год (12 месяцев по 30 дней);

• 360/360 — приближенное число дней проведения операций (месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев по 30 дней).

Обыкновенные проценты (360/360) более удобно использовать в аналитических расчетах. Этим объясняется популярность их приме­нения на практике в большинстве развитых стран, включая США и государства континентальной Европы.

В России в основном применяются точные проценты (365/365). В частности, они используются в официальных методиках ЦБР и МФ РФ для расчета доходности по краткосрочным государственным обязательствам.

Начисление по формуле точных процентов требует определения фактического числа дней проведения операции по специальным справочным таблицам либо с помощью компьютерных программ, например М5 Ехсеl.

Формула (1) представляет собой уравнение прямой; таким об­разом, рост исходной суммы при начислении простых процентов осуществляется линейно. График роста суммы в 10 000 при годовой ставке 10% приведен на рис. 1.

Рис. 1. Наращение по простым процентам

Дисконтирование по простым процентам. В зависимости от вида процентной ставки в коэффициенте приведения при анализе краткосрочных финансовых операций применяют два метода дис­контирования — математическое и коммерческое (так называемый банковский учет).

В первом случае в качестве нормы приведения используют став­ку r, применяемую при наращении (1). Во втором случае в роли нормы приведения выступает учетная ставка, для обозначения ко­торой в дальнейшем будет использоваться символ d.

Математическое дисконтированиепредставляет собой задачу, обратную наращению и сводится к определению РV по известным значениям FV, r, п. С учетом принятых обозначений формула дис­контирования по ставке r будет иметь следующий вид:

                                                                                   (4)

Разность (FV — РV) называют дисконтом,или скидкой, а ис­пользуемую норму приведения r— декурсивной ставкой процентов.

Пример 3.Какую цену заплатит инвестор за бескупонную обли­гацию с номиналом в 100 ед. и погашением через 90 дней, если требуемая норма доходности равна 12%?

Решение: а) С использованием обыкновенных процентов

      РV= 100 / (1 + 0,12 • 90 : 360) = 97,087.

б) С использованием точных процентов

                                 РV= 100 / (1 + 0,12 • 90 : 365) = 97,12.

Банковский или коммерческий учетприменяется в основном при учете векселей. Суть метода заключается в том, что проценты сразу начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока опера­ции. При этом применяется учетная ставка d. Формула дисконти­рования по учетной ставке имеет следующий вид:

(5)

При дисконтировании по учетной ставке чаще всего используют временную базу 360/360 или 360/365. Используемую при этом нор­му приведения dназывают антисипативнойставкой процентов.

Пример 4.Простой вексель на сумму 100 000 ден. ед. с оплатой через 90 дней учитывается в банке немедленно после получения. Учетная став­ка банка равна 15%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.

РV = 100 000 (1 - 0,15 • 90 : 360) = 96 250.

Соответственно банк удержал в свою пользу 100 000 — 96 250 = 3750.

Как следует из формулы (5), при неизменном значении ставки d, чем раньше проводится учет векселя, тем больше бу­дет размер дисконта в пользу банка и тем меньшую сумму по­лучит владелец.

Применение двух рассмотренных методов дисконтирования к одной и той же сумме приводит к разным результатам, даже при r = d(рис. 2). Как следует из рис. 2, учетная ставка d дает более быстрое снижение исходной суммы, чем обычная ставка r.

 

Рис. 2. Дисконтирование по простым процентам (r = d = 10%)

 

Учетная ставка d может применяться и для наращения. Необхо­димость в таком наращении возникает при определении будущей суммы контракта, например общей суммы векселя. Формула опре­деления будущей суммы в этом случае имеет следующий вид:

                        (6)

 

 

Изменим условие примера 4 следующим образом.

Пример 4а.На какую сумму должен быть выписан вексель, что­бы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров в полном объеме, если банковская учетная ставка равна 15%?

Очевидно, что здесь мы имеем дело с обратной задачей — на­ращением по учетной ставке d. При этом будущая сумма РV (номи­нал векселя) определяется по формуле (6):

FV = 100 000 : (1 - 90 • 0,15 : 360) = 103 896,10.

 

Определение процентной ставки и срока проведения операции.Процентная ставка rили учетная ставка dмогут быть определены из соотношений (1) и (5). Решив соответствующие уравнения относительно r или d, получим:

 

 

 (7)                                                                                      (8)                                                                       

 

      Пример 5. Краткосрочное обязательство со сроком погашения 90 дней было приобретено по цене 98,22% номинала. Определить доходность операции для инвестора.

Решение: а) с использованием обыкновенных процентов:    

 

    

 

б) с использованием точных процентов:

 

     Определим срок операции, дней:

(9)                                        (10)

 

 

Для предыдущего примера определить срок владения обязатель­ством стоимостью 98,22, погашаемого по номиналу, если требуемая норма доходности равна 7,22%.           

Решение.

Эквивалентность процентных ставок r и d.Принцип эквива­лентности процентных ставок широко применяется в финансовом и инвестиционном анализе. Его используют при сравнении условий сделок, замене одного вида ставок на другой, определении эффек­тивности операций и т.д.

В общем случае две различные процентные ставки считаются эквивалентными, если их использование при одинаковых условиях сделки приводит к одному и тому же финансовому результату.

Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соот­ветствующих множителей наращения:

             1 + nr = (1 - nd) - 1.                                     (11)

С учетом (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут следующий вид:

а) временная база ставок одинакова и равна В (360 или 365 дней)

                                                       r = __B d_                                               (12)

     B – td

 

                                                       d = __B r_                                              (13)                     

     B + tr

 

б) временная база ставки r равна 365 дням, а d — 360 дням.        

 

                                                       r = __365d_                                              (14)

     360 – td

 

                                                       d = __360r_                                             (15)

      365 + tr

 

В практике финансового управления более важную роль играют сложные проценты, которым в дальнейшем и будет уделено основ­ное внимание.

2. Сложные процентышироко применяются в финансовых опе­рациях, срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объектив­ной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

Рассмотрим наращение по сложным процентамна следующем примере.

Пример 6. Сумма в 100 ден. ед. помещена в банк на депозит сроком на 3 года. Ставка по депозиту — 8% годовых. Проценты по депозиту на­числяются раз в год. Какова будет сумма депозита в конце срока?

По условиям операции известными величинами являются: пер­воначальная сумма вклада РV = 100,00, процентная ставка r = 8% и срок п = 3 года.

Решение. Определим будущую сумму вклада на конец перво­го периода:

       FV₁ = РV + РV• r = РV(1 + r) = 100,00 (1 + 0,08) = 108,00.

Соответственно для второго периода сумма FV будет равна:

FV₂= FV₁+FV₁ • r = РV(1+ r)+РV(1+r) r=РV(1+r) ² = 100,00 (1+0,08)²=116,64.

Для последнего периода (п = 3):

              FV₃ = FV₂ + FV₂• r = РV(1 + r) ³ = 100,00 (1 + 0,08)³ = 125,97.

Схема наращения по методу сложных процентов для данного примера показана на рис. 3.

Рис. 3. Схема наращения по сложным процентам

Как следует из рис. 3, наращение по сложным процентам под­разумевает реинвестированиеполученных доходов. Процесс реинве­стирования полученных доходов получил название капитализации.

Общее соотношение для определения будущей суммы имеет следующий вид:

FV_n= РV(1 + r)ⁿ.                                                    (16)

Сумма FV существенно зависит от r и п. Например, будущая сумма всего 1,00 ед. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1 174313,45!

На рис. 4 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 ед. при различных ставках сложных процентов.

Рис. 4. Рост суммы в 1,00 ед. при разных ставках сложных процентов

 

На практике в зависимости от условий финансовой сделки проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение (5.16) для исчисления будущей стоимости будет иметь следую­щий вид:                                                                    

 

                     (17)

 где т — число периодов начисления в году.

 

Допустим, что в предыдущем примере проценты выплачиваютсяежеквар-тально (т= 4). Определим FV₃:

FV₃ = 100,00 (1 + 0,08/4)¹² = 126,82.

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствую­щих процентных ставок к их годовому эквиваленту по формуле:

(18)

 

       где r — номинальная ставка; т — число периодов начисления.

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (EPR),или ставкой сравнения[1].

Пример 7. На годовой депозит в 10000,00 ед. ежеквартально на­числяются сложные проценты по ставке 2,5% (т.е. из расчета 10% го­довых). Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10000,00 ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых раз в году?

Решение. Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций:

ЕРR = (1 + 0,1/4)⁴ -1 =(1+ 0,025)⁴ - 1 = 0,103813;

ЕРR = (1 + 0,1/1)¹ - 1 = 0,10.

Таким образом, условия помещения суммы в 10000,00 ед. на депозит сроком на 1 год под 10% годовых, начисляемых ежеквар­тально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

В свою очередь, если известна суммаЕРR, номинальная ставка процентовr может быть определена так:

                                                     (19)                        

Дисконтирование по сложным процентам.Формулу для опреде­ления современной суммы по сложным процентам можно легко вы­вести из соотношения (16) делением его обеих частей на (1 + r)ⁿ. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:

 

 

                                                          (20)

Пример 8.Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила 100 ден. ед. Определить первоначальную сумму вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых.

На рис. 5 приведена схема процесса дисконтирования по сложным процентам для рассматриваемого примера.

 

Рис. 5. Схема дисконтирования по сложным процентам

 

Решение.     РV = 100,00 / (1 + 0,08)³ = 79,38.

На рис. 6 приведена диаграмма, отражающая процесс дис­контирования суммы в 1,00 ед. при различных ставках сложных процентов.

Рис. 6. Дисконтирование суммы в 1,00 ед. при различных процентных ставках

 

Как и следовало ожидать, сумма РVтакже зависит от продолжи­тельности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная — чем больше rи п, тем меньше текущая (совре­менная) сумма.

Если начисление процентов осуществляется т раз в году, соот­ношение (20) будет иметь следующий вид:

                                                               (21)

 

                                             

Исчисление процентной ставки и продолжительности операции.Формулы для определения величин rи пмогут быть получены из (16) и (20).

При известных величинах FV, РV и п процентную ставку можно определить по формуле:

 

(22)

Пример 9.Сумма в 10000,00 ед. помещенная в банк на 4 года, соста­вила 14 641,00. Определить процентную ставку (доходность операции).

Решение.   r = (14 641,00/10000,00)1/4- 1=0,10 (10%).

Длительность операции определяется логарифмированием:         

                                                                  (23)

Пример 10. Сумма в 10 000,00 ед., помещенная в банк под 10% годовых, составила 14 641,00. Определить срок проведения операции.

Решение.     r = 1оg(14641,00/10 000,00)/1оg(1 + 0,1) = 4 года.

3. Непрерывные процентыиспользуются в случаях, когда вы­числения необходимо проводить за бесконечно малые промежут­ки времени. Они играют ключевую роль в ряде финансовых мо­делей, например в известной модели оценки опционов Блэка-Шоулза.

Проведем анализ роста коэффициента наращения в формуле (17) исходя из допущения о возможности ежедневного, ежечасно­го, ежеминутного и даже ежесекундного начисления процентов, на­пример по ставке 10%.

Обозначим множитель наращения через g, тогда v = [1 + (1 /m)]· m.Результаты соответствующих расчетов приведены в табл. 1.

Таблица 1. Расчет зависимости множителя v от роста m

т	4	6	12	365	8760	525600	31536000
g	2,44141	2,52163	2,61304	2,71457	2,71813	2,71828	2,71828
v=gn/gn-1	-	1,03286	1,03625	1,03886	1,00131	1,00006	1,000001

 

С переходом от ежедневного к ежечасному начислению про­центов (т.е. при увеличении тв 24 раза) значение vувеличилось всего в 1,00131, или на 0,13%; с переходом от ежечасного к еже­минутному начислению (при увеличении m в 60 раз) рост v со­ставил около 1,00006, или 0,006%. Разницу между ежеминутным и ежесекундным начислением можно заметить только в шестом знаке после запятой.

Таким образом, при бесконечном росте твеличина g стремится к константе 2,7182818..., известной в математике как число е.

Тогда будущая стоимость денег при непрерывном начислении будет равна:

                         FV=PV·e^rn                                                                                                                             (24)

где е — экспоненциальная константа (2,71828...).

Соответственно современная стоимость денег при непрерывном начислении процентов составит:

(25)

PV=FV·e^-rn                                        

 Эквивалентность сложных и непрерывных ставок.Ставка не­прерывных процентов r_сможет быть приведена к ставке сложных процентов r_dи обратно. Соотношения эквивалентности имеют сле­дующий вид:

 

(26)        (27)

 

В дальнейшем по ходу изложения материала данной главы будут использоваться сложные проценты, техника исчисления которых служит базой для количественного анализа долгосроч­ных операций. Рассмотренные методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инст­рументарием для оценки потоков платежей.

---

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 694; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!