Примеры решения типовых задач
Пример 4.2.1. План испытаний [ n, Б, t0 ]. При испытании 
устройств в течении, t0 =500 час. зарегистрировано d=6 отказов устройств. Отказавшие устройства проработали до выхода из строя соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 450 часов. Необходимо определить оценку 
и двусторонний доверительный интервал для 
при 
Решение.
1 Определяем суммарную наработку по формуле из табл. 3.1 /2/
= 50+150 +200 +300 + 350 + 450 + (50 – 6)500 =
= 1500 + 22000 = 23500 час.
2. Определяем статистическую оценку формуле из табл. 3.1 /2/
= 
= 
3. Определяем верхнюю границу. Для определения 
воспользуемся формулой из табл. 3.1 /2/, значения квантилей 
взять из табл. П.В.1
.
4. Определяем нижнюю границу. Для определения 
воспользуемся формулой из табл. 3.1 /2/
.
Пример 4.2.2. Испытания 100 ламп накаливания, срок службы которых подчиняется нормальному закону, продолжались в течении 
За время испытаний отказало 5 ламп с наработкой до отказа в часах соответственно 
=50, 
= 150, 
= 250, 
= 300, 
= 450. Требуется определить среднюю наработку до отказа ламп и среднее квадратическое отклонение.
Решение.
1.Определяем квантили нормального распределения 
(см. табл. П.Б.1) для вероятностей 
, 
, 
соответственно, которые равны: 
; 
; 
, 
, 
.
2. Составляем систему уравнений:
Полученную систему уравнений решаем по методу наименьших квадратов, для чего умножаем левую и правую части каждого уравнения соответственно на 
, 
, 
, 
, 
и затем все уравнения сложим, в результате получим первое, так называемое нормальное уравнение, которое имеет следующий вид
|
|
|
Второе нормальное уравнение получают суммированием уравнений исходной системы, которое имеет следующий вид
Решая полученные нормальные уравнения, получим 
час., 
=566,2 час.
Для оценки точности полученных значений 
и 
определяем
.
Затем по табл. П.7.7 /4/ находим 
.
Тогда
Вычисляя, получим 
= 314,2 час., 
= 186,9 час.
Как следует из полученных значений, точность определения параметров распределения в условиях данного примера невысокая. Доверительные интервалы величиной 
, что соответствует вероятности 95%, в нашем случае составляют
час.
час.
Пример 4.2.3Партия изделий, надежность которой нужно проконтролировать, состоит из N=50 экземпляров. Партия считается хорошей, если в ней содержится не более 10% дефектных изделий, и плохой – при содержании 20% дефектных изделий. Риск поставщика и риск заказчика приняты равными и составляют α = β = 0,10. Определить приемное (А0) и браковочное (А1) числа дефектных изделий в выборке объемом n = 20 экземпляров.
Решение.Так как партия малая 
, а объем выборки относительно велик, то контроль необходимо осуществлять, исходя из гипергеометрического распределения.
|
|
|
1 Число дефектных изделий при 10% дефектных изделий в партии составляет D0 = Nq0 = 50×0,10 = 5; при 20% дефектных изделий D1 = Nq1 = 50×0,20 = 10.
2 Для определения приемочного числа дефектных изделий воспользуемся формулой 
, суммирование вероятностей гипергеометрического распределения производим до тех пор, пока накопленная вероятность не приблизиться к 1-α, т.е.
Таким образом,
Полученная величина близка к 1-α = 0,90, т.е. фактически риск поставщика близок к принятому : 
.
Поэтому приемочное число можно взять равным трем (A0=3). Если принять A0=2, то риск поставщика стал бы неприемлемо велик 
.
3 Аналогичным образом может быть рассчитано браковочное число A1. Для этого по формуле 
накапливаем вероятности R до тех пор, пока выполняется условие 
Следовательно, с риском 
, близким к первоначально установленному (β = 0,10), при d1= 2 дефектным изделиям в выборке партию можно принять, а при d1 = 3 дефектным изделиям нужно браковать.
Приемочное и браковочное A0 = A1 = 3. Это значит, что одиночный контроль не может производиться одновременно в интересах поставщика и заказчика.
Пример 4.2.4Контролю надежности подлежит партия из N = 200 устройств. Необходимо определить приемочное (А0) и браковочное (А1) числа дефектных изделий в выборке из n = 40 изделий. Партия считается хорошей, если в ней содержится 5%, и плохой – если 10% дефектных устройств. Риск поставщика принят равным 0,20, а риск заказчика – 0,10.
|
|
|
Решение.Учитывая относительно большой объем контролируемой партии и небольшие значения доли дефектных изделий, целесообразно производить решение, исходя из f-биноминального распределения, в соответствии с формулами 
, 
1. Рассчитываем величины f, D0 и D1:
D0=Nq0=10; 
.
2. Приемочное число А0 определяется суммированием вероятностей f-биноминального распределения до величины 
близкой к 
:
Далее вычисляем вероятности R(d) и суммируем их:
Следовательно, можно принять приемочное число равным A0 = 2 с риском поставщика 
или равным A0 = 3 с риском поставщика 
.
В том случае, если требуется фактический риск приблизить к заданному, то это можно сделать при постоянном объеме партии и доле дефектных устройств, варьируя объемами выборки и приемочными числами.
3. Браковочное число A1 определяется аналогично приемочному числу с той лишь разницей, что в данном случае нужно руководствоваться формулой для определения 
(приведена выше в задаче) и суммировать вероятности f –биноминального распределения до величины 
|
|
|
Определяем вероятности f –биноминального распределения
,
Так как
R( d ≤ 1 ) = 0,010 + 0,058 = 0,068
R( d ≤ 2 ) = 0,010 + 0,058 + 0,137 = 0,205,
то, очевидно, целесообразно считать браковочным числом A1 = 2, тогда риск заказчика будет более близким к установленному.
Пример 4.2.5.Последовательному контролю надежности подлежит партия, состоящая из N = 100 невосстанавливаемых изделий. Партия считается хорошей при доле дефектных изделий q0 = 0,05 и плохой – при q1 = 0,10. Риск поставщика равен риску заказчика и составляет 0,1. Требуется определить приемочные (mпр) и браковочные (mбр) числа испытаний при числе дефектных изделий dm = 0, 1, 2, 3, 4 и 5, а также построить график контроля по характеристическим точкам и принять решение в случае появления четырех отказов при 25 испытаниях.
Решение. Так как общий объем исследуемой совокупности мал, необходимо осуществлять контроль по f-биноминальному плану. Для того, чтобы определить приемочные и браковочные числа и построить график контроля необходимо произвести следующие вычисления.
1. Определяем число дефектных изделий в партии при нулевой и альтернативной гипотезах:
; 
2. Находим значения оценочных нормативов А и В:
3. Для определения характеристических точек графика плана подсчитываем значения c и r:
4. Определяются приемочные числа по выражению
, в которое подставляем постоянные величины N, B, c, r и вычисляем переменную для каждого числа дефектных изделий величину.
Следовательно,
; 
;
,
; 
;
и т. д.
Для подсчета браковочных чисел используется выражение
. Очевидно, что эта формула имеет смысл при
, что в соответствии с таблицей биноминальных коэффициентов имеет место при dm ≥ 3. Для d = 3 
;
и т. д.
После расчета всех приемочных и браковочных чисел результаты представлены в таблице 4.2.1
Таблица 4.2.1
| dm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| mпр не менее | 36 | 44 | 53 | 61 | 69 | 78 |
| mбр не более | - | - | - | 7 | 27 | 49 |
5. Определяются характеристические точки для построения графика плана:
а) dm = 0, 
;
б) dm = D0 = 5, 
;
в) dm = 
; m = N = 100
Для построения графика плана строим прямоугольные оси координат с ординатами dm = 0, 1, 2, …., 10 и абсциссами m = 1,2, 3, …, 100 и отмечаем
точки а ,б и в. Далее точку в соединяем с точками а и б.
Рисунок 4.1. График контроля
Заданная по условию примера рабочая точка d = 4, m = 25 попадает в область браковки (смотри график контроля рис.4.1). Следовательно, партию можно забраковать и испытания прекратить.
Правильность решения можно проверить по правилу браковки:
С этой целью посчитаем
Так как 14,9 > 9, то партия бракуется.
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 3327; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!