Геометрический смысл производной.

Пусть задана функция y = f(x). Этой функции сопоставляется новая функция (обозначаемая y'(x),

f '(x) или df/dx) такая, что для любого значения х₀ значение новой функции y'(x₀) равно тангенсу угла φ наклона касательной к графику исходной функции y=f(x) в точке с координатами (x₀,f(x₀)). Такая функция y'(x) называется производной функцией по отношению к y = f(x).

Пример: f(x)=x³. Можно показать, что f '(x)=3x². Функции x³ сопоставляется функция 3x². Пусть х₀=2. Тогда 3*2² = 12 равно значению тангенса касательной к кривой y= x³,проведенной через точку с координатами (2,12).

Итак:

число f '(x) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке c координатами (x,f(x)).

Строгое определение производной:

(а) Значением производной f '(x_о) при х = x_оназывается предел отношения приращения функции Δу = f(x_о+Δx) - f(x_о) к приращению аргумента Δx, когда Δx стремится к нулю:

f'(x_о) = lim [f(x_о+Δx)-f(x_о)]/Δx

Δx--> 0

(б): Значением производной f '(x_о) при х = x_оназывается предел отношения приращения разности f(x) - f(x_о) к приращению аргумента x - х₀ , когда x стремится к х₀ :

f '(x_о) = lim [f(x)-f(x_о)]/(x-х₀)

x --> х₀

Следует отметить, что для какого-то х₀этот предел может не существовать. Тогда говорят, что в точке х₀ производная не существует.

Например, y=√x при х₀= 0 или y=|x| при х₀= 0 .

Для обозначения значения производной используются также символы df(x_о)/dx или df(x)/dx|при х= x_о.

Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка от функции f(x): f ''(x) = (f '(x))'

Аналогично определяются третья и четвертая производные и т.д. с обозначением f⁽³⁾(x).

Пример: f(x)=x³, f'(x)=3x², f''(x)= (f'(x))'= (3x²)'= 6x,

f'''(x))= (3x²)'= (6x)'=6 и т.д.

Основные правила нахождения производной

1. C'=0 - производная постоянной C равна нулю (например, если y(x)=3, то y(x)'=0);

2. (f(x)+g(x))'=f '(x)+g'(x) - производная суммы функций равна сумме производных;

3. (c*f(x))' = c*(f(x))' - постоянный множитель выносится за знак производной ((3*x)'=3*(x)'=3*1=3);

4. (f(x)*g(x))'=f '(x)*g(x) + f(x)*g'(x)-сомножители дифференцируются по очереди

(x*sin(x))'= x'*sin(x)+ x*sin'(x)= 1*sin(x)+ x*cos(x) =sin(x)+x*cos(x));

Правило дифференцирования функции от функции.

Имеются две функции f(u) и u(x). Образуется третья функция путем замены в f(u) простого аргумента u на функцию u(x). Например, f(u)=sin(u), u(x)=x², f(u(x)) = sin(x²).

Тогда: [f(u(x))]^'_{при х=х0} = f '(u_о)*u'(x_о) , где u_о=u(x_о) - "цепное" правило дифференцирования сложной функции f(u(x)). (f'(u_о) - значение производной функции f(u) (по аргументу u), вычисленное при u_о= u(x_о))

Примеры. 1 (sin(x²))'= (sin(u)) '*(x²)'=cos(u)*2x=cos(x²)*2x

В этом примере: f(u)=sin(u), u(x)= x².

2 ((sin(√x))'=cos(√x)*(√x)'= cos(√x)*(1/2√x)).

В частном случае линейной функции u (х)= ax+b : [f(аx+b))]^' = f '(u_о)*а, u₀=ax₀+b

(sin(2x+6))'= (sin(u)) '*(2x+6)'=cos(2x+6)*2

Производные некоторых функций:

(x^a)'=ax^a-1, a ≠ 0 Напомним, что 1/x=x^-1, √x=x^1/2, 1/√x=x^-1/2,

(e^x)'=e^x (ln(x))'=1/x

(sin(x))'=cos(x) (cos(x))'=-sin(x) (tg(x))'=1/cos²(x) (ctg(x))'=-1/sin²(x) (arcsin(x))'=1/√(1-x²) (arctg(x))'=1/(1+x²)

Примеры. x^-1=(-1)x^-1-1=-x^-2=1/x² (x^-1/2)'=(-1/2) x^-1/2-1= - 1/2 x^-3/2

Простой алгоритм взятия производной составной функции для частного случая, когда u(x)=a*x+b - линейная функция.

Если F'(x) = f(x)

то: F' (ax+b)=a* f(ax+b)

Примеры: 1) (е^2C+1)' = 2е^2C+1

2) (1/(1+3х))' =3(3х+1)^-2

3) ((5х+1)³)' = 5*3*(5х+1)²

4) (sin(3x))'=3cos(3x)

III Первообразная и неопределенный интеграл

Часто возникает задача нахождения неизвестной функции по заданной формуле ее производной. В связи с этим вводится понятие первообразной функции.

Определение первообразной функции: Если на числовом интервале (a,b) для двух функций f(x) и F(x) справедливо соотношение: F '(x)=f(x),

то F(x) называется первообразной функцией для функции f(x).

Операция нахождения формулы F(x) по заданной формуле f(x) называется операцией интегрирования. Эта операция является основной при аналитическом решении дифференциального уравнения.

Нетрудно видеть, что производная от первообразной функции для f(x)равна f(x).

Таким образом, нахождение первообразной - обратная операция по отношению к вычислению производной.

Пример: (x³)'=3x². Следовательно, x³ является первообразной для функции 3x². Очевидно: F(x)= x³/3 является первообразной для функции f(x)= x².

Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!