Упражнения (задачи с ответами)

Стр 1 из 5Следующая ⇒

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Оглавление

Дифференциальные уравнения с.1

Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными с.1

Примеры на ДУ с раздел. переменными (с решениями). с.2

Упражнения (задачи с ответами): с.4

Однородные уравнения первого порядка с.4

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с.7

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами с.10

Приложение. Функция, производная, интеграл, комплексные числа с. 21

I ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ1-го порядка

Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет вид: F(x,y,y')=0

Если его разрешить относительно производной, то оно примет вид: y'(x)=f(x,y(x)).

Например: y'(x)=x/y(x).

Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y=φ(x,C) которая зависит от одной произвольной постоянной интегрирования С и удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянной C.

Например, для уравнения y'(x)=x/y(x) общим решением будет совокупность двух функций: y(x)= + √(x²+C) и y(x)= - √(x²+C).

Или: y(x)= ±√(x²+C).

Отыскание частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию вида: у=у₀ при х=х₀(например, у(1)=2), называется задачей Коши.

Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

Подобное уравнение можно привести к виду: y'*f₁(y)=f₂(x). (1)

Таким образом, переменные у и х разделены — находятся по разные стороны знака равенства (у - слева, х - справа).

Следует подчеркнуть, что выражение y'(х)*f₁(y(x)) является производной функции F₁(y(x)), где F₁(y)- первообразная функции f₁(y). (Т.е., F₁ '(у)=f₁(у)) ).

На этом основано приведенное ниже решение уравнения (1).

Учтя, что y'(x)=dy/dx, уравнение (1) можно представить в виде: dy /dx*f₁(y) =f₂(x). Тогда, формально умножив обе части на dx, получим уравнение в форме:

f₁(y)dy=f₂(x)dx (2)

Алгоритм решения: Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием правой части равенства (2) по х: (∫f₂(x)dx= F₂(x)+С₂ ), и левой части — интегрированием по у (∫ f₁(y)dy =F₁(у)+С₁ ) и, затем, приравниванием результатов интегрирования:

F₁(у)+С₁= F₂(x)+С₂или F₁(у(х)) = F₂(x)+С

Данное уравнение уже не содержит производной y'(x). Остается только получить явную формулу для у(х): y =...

Суммируем алгоритм решения:

1) Если заданное уравнение записано с использованием у'(x) (например: y'*x=y+1), то:

- Оно приводится к виду: y'*f₁(y)=f₂(x).

- Затем составляется равенство: ∫f₁(y)dy = ∫f₂(x)dx + С.

- Находятся первообразные F₁(у) для f₁(y) и F₂(x) для f₂(x).

- Составляется уравнение: F₁(у)= F₂(x) +С.

- Последнее уравнение решается относительно у, т.е., находится формула у =...

2) Если заданное уравнение записано в виде φ₁(...)dy+φ₂()dx = 0 (например:

(х+1)³dy - (y-2)²dx=0), то:

- Приводим его к видуf₁(y)dy=f₂(x)dx.

- Составляем равенство: ∫f₁(y)dy = ∫f₂(x)dx + С и далее как в предыдущем пункте.

* * *

Ликбез по алгебре (действия, часто используемые при решении уравнений с разделяющимися переменными)

Перенос слагаемых и множителей из одной части уравнения в другую

1) Если a + b = c, то a = c - b (Вычитаем b из обеих частей исходного равенства: слева b сокращается, справа появляется со знаком минус).

(y'+1 = x --> y' = x -1 ).

Аналогично: если a = b + c, то a - b = c

2) Если a*b = c, то a = c / b (Делим обе части исходного равенства на b, слева b сокращается, справа появляется в знаменателе).

(y'*x =1 --> y' =1/ x ).

Если a / b = c, то a = c* b (Умножаем обе части на b, слева b сокращается, справа появляется в числителе).

Аналогично: если a = c/b, то a*b = c

Примеры на раздел. переменные (с решениями).

Примеры.

1) y'y=x+1 Уравнение уже имеет вид y'*f₁(y)=f₂(x). -->

Решение: ∫f₁(y)dy = ∫f₂(x)dx + С --> ∫ ydy = ∫ (x+1)dx --> ∫ydy = ∫ xdx +∫1dx --> y²/2+C₁=x²/2+x+C₂ --> y²/2=x²/2+x+C --> |y|=√(x²+2x+2C) -->

Ответ: y(x)=±√(x²+2x+C₃)

2) То же уравнение y'y=x+1 можно записать в виде: ydy - (x+1)dx=0 -->

--> ydy = (x+1)dx --> ∫ ydy = ∫ (x+1)dx и т.д.

3) y'y² = sin(2x) --> ∫ y²dy = ∫ sin(2x)dx --> y³/3 = - (1/2)cos(2x) + C -->

--> Ответ: y(x)= [- (3/2)cos(2x)+C]^1/3

4) y'/y = x² --> ∫ 1/ydy = ∫ x²dx --> ln|y| = x3/3+C --> |y|= e ^x3/3+C = e ^x3/3e^C = e ^x3/3C₁

--> y = ± C₁ e ^x3/3 = C₂ e ^x3/3 --> Ответ: y = C₂ e ^x3/3

3) --> Для приведения к виду y'*f₁(y)=f₂(x) делим на у: y' *(1/y) =1/x --> Умножаем на dx: (1/y)*dy =(1/x)*dx --> ∫(1/y)dy=∫(1/x)dx --> ln|y|=ln|x|+C₁ (*)