Критерии проверки и оценка решений задания 18 ЕГЭ–2018
Задание №18 – это уравнение, неравенство или их системы с параметром.
Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:
– чисто алгебраический способ решения;
– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.
Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.
Задача 18 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задача 1
Найдите все значения 
, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение.
Исходное уравнение равносильно уравнению 
при условии 
.
Решим уравнение :
;
; 
,
откуда 
, 
или 
.
Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны
и для каждого из них выполнено условие 
.
Рассмотрим условия совпадения корней. При 
имеем 
.
При 
имеем 
. При остальных значениях числа 0,
, 
различны.
При получаем: 
при всех значениях .
При получаем:
.
Это выражение неотрицательно при 
.
При получаем:
.
Это выражение неотрицательно при 
.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при
|
|
|
; 
; 
.
Ответ: ; 
; .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек  и/или 
| 3 |
С помощью верного рассуждения получен промежуток  множества значений a, возможно, с включением граничных точек
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
| 2 |
Получены корни уравнения : , , ; и задача верно сведена к исследованию полученных корней при условии  ( )
| 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Задача 2.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение.
|
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если 
, то получаем уравнение
;
;
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом 
.
2) Если 
, то получаем уравнение
; 
; 
.
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке 
и радиусом .
Полученные окружности пересекаются в двух точках 
и 
, лежащих на прямой 
, поэтому в первом случае получаем дугу 
с концами в точках 
и 
, во втором — дугу 
с концами в тех же точках (см. рис.).
|
|
|
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую 
, которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен 
.
При 
прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги 
в точке и пересекает дугу 
в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая перпендикулярна прямой 
, угловой коэффициент которой равен 
, значит, прямая касается дуги в точке
и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая пересекает каждую из дуг и в точке
и ещё в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ) и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.
|
|
|
Значит, исходная система имеет ровно два решения при 
.
Ответ: .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и/или 
| 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 402; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!