Критерии проверки и оценка решений задания 16 ЕГЭ–2018
Задание №16 – это планиметрическая задача. В пункте а теперь нужно доказать геометрический факт, в пункте б – найти (вычислить) геометрическую величину.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Задача 16 (демонстрационный вариант 2018 г).
Задача 1.
В трапеции 
боковая сторона 
перпендикулярна основаниям.
Из точки 
на сторону 
опустили перпендикуляр 
. На стороне отмечена точка 
так, что прямые и 
перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение к , если 
.
Решение.
а) Поскольку
 ,
около четырёхугольников  и  можно описать окружности (рис. 1).
Значит,
 ,
то есть прямые и параллельны.
| 
|
б) Опустим из точки  перпендикуляр  на прямую (рис. 2). Стороны  и треугольников  и  лежат на одной прямой, а стороны и  , и попарно параллельны. Значит, треугольники и подобны.
Поскольку
| 
|
коэффициент подобия равен 
. Значит,
|
|
|
.
Ответ: б) 
.
Задача 2.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике 
на продолжение боковой стороны 
опущена высота 
. Из точки 
на сторону 
и основание 
опущены перпендикуляры 
и 
соответственно.
а) Докажите, что отрезки 
и 
равны.
б) Найдите , если 
, 
.
Решение.
а) Поскольку  , около четырёхугольника  можно описать окружность с диаметром . Получаем:
 ,
поэтому  как хорды, стягивающие равные дуги.
| 
|
б) В прямоугольных треугольниках 
и 
имеем:
.
Поскольку 
, получаем:
.
Ответ: б) 
.
Примеры оценивания решений задания 16
Пример 1.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение к , если .
Ответ: б) .
Комментарий.
Имеется попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи 5) – при вычислении угла 
: 
. Замена угла 
углом 
возможна только при условии параллельности прямых 
и 
, а как раз это и требовалось доказать.
|
|
|
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 2.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение к , если .
Ответ: б) .
Комментарий.
В данном решении есть попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи 
– это возможно только при параллельности прямых и , а как раз это и требовалось доказать. Верный ответ в пункте б получен обоснованно с использованием недоказанного утверждения пункта а.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 3.
В трапеции боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Из точки на сторону опустили перпендикуляр . На стороне отмечена точка так, что прямые и перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите отношение к , если .
Ответ: б) .
Комментарий.
Логическая ошибка: доказательство утверждения пункта а опирается на дополнительное условие из пункта б.
|
|
|
Оценка эксперта: 0 баллов.
Пример 4.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а) Докажите, что отрезки и равны.
б) Найдите , если , .
Ответ: б) .
Комментарий.
Доказательство утверждения пункта а верно. Правда, следует отметить, что в доказательстве получено много верных утверждений, которые не нужны для доказательства равенства отрезков и 
, кроме того некорректно формулируется признак подобия треугольников.
В решении пункта б допущена ошибка при вычислении длины отрезка 
– вместо 
должно быть 
.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а) Докажите, что отрезки и равны.
б) Найдите , если , .
Ответ: б) .
Комментарий.
Доказательство утверждения пункта а отсутствует. Решение пункта б выполнено верно с использованием недоказанного утверждения пункта а.
Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 6.
|
|
|
В равнобедренном тупоугольном треугольнике на продолжение боковой стороны опущена высота . Из точки на сторону и основание опущены перпендикуляры и соответственно.
а) Докажите, что отрезки и равны.
б) Найдите , если , .
Ответ: б) .
Комментарий.
В доказательстве утверждения пункта а есть некорректное утверждение – « 
– биссектриса», при этом тут же записаны утверждения, соответствующие медиане прямоугольного треугольника.
Решение пункта б выполнено верно.
Оценка эксперта: 3 балла.
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 510; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!