О выводе формул численного дифференцирования

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Хотя простейшие формулы численного дифференцирования можно получить сравнительно элементарно, для вывода и анализа таких формул в более сложных случаях необходимо использовать значительно более серьезный математический аппарат. Основой для построения различных приближенных формул вычисления производных являются методы теории приближения функций /*элементы которой были изложены ранее*/.

Предположим, что в окрестности точки х функция аппроксимируется некоторой другой функцией g, причем производная g⁽^k⁾ в точке x легко вычисляется. Естественно в такой ситуации попытаться воспользоваться приближенной формулой (12)

Наиболее просто этот подход реализуется, когда приближение осуществляется с помощью интерполяции.

Формулы численного дифференцирования, основанные на

Интерполяции алгебраическими многочленами

Пусть P_n(x) – интерполяционный многочлен степени n с узлами интерполяции . В этом случае формула (12) принимает вид (13)

При этом справедлива оценка погрешности формулы (13) (14),

где С_n_,_k - положительные числа,

Замечание 1.

Порядок точности формулы (13) относительно h_max равен разности между числом узлов интерполяции и порядком вычисляемой производной.

Замечание 2.

Если формулы (13) применяется для вычисления производной в точке, относительно которой узлы таблицы расположены симметрично, и число n-k четно, то порядок точности формулы повышается на единицу по сравнению с порядком n+1-k, который гарантирует оценка (14). Таковы, например, формулы (6), (8), (9), (11).

Из формулы интерполяционного многочлена Ньютон следует, что .

Таким образом, справедлива приближенная формула , (15)

имеющая, по крайней мере, один первый порядок точности.

/*Формула (15) следует из свойства разделенных разностей, а именно: функция f имеет на отрезке [a,b] , содержащем точки x_i,x_i₊₁,...,x_i₊_k производную порядка k. Тогда справедливо равенство , где - некоторая точка, расположенная на (a, b)*/

Частным случаем формулы (15) является формулы:

При выборе в качестве узлов интерполяции значений x₀=x, x₁=x+h формула (16) превращается в формулу (1). При выборе x₀=x-h, x₁=x из (16) получается (2), а при x₀=x-h, x₁=x+h – формула (6). Аналогично из формулы (17) получается формула (9).

Использование таблиц с постоянным шагом

Наиболее простой вид принимают формулы численного дифференцирования при использовании таблиц y_i=f(x_i) с постоянным шагом. В тех случаях, когда значение производной необходимо вычислять в крайних для таблицы точках x₀и x_n, используются односторонние формулы численного дифференцирования и .

Например, при n=2, дифференцируя многочлен Ньютона, получим

имеющие второй порядок точности.

Другие подходы

Применение формулы (13) для вычисления производной f⁽^k⁾ фактически основано на кусочно-полиномиальной интерполяции. Полученная таким образом производная в точке «стыка» двух соседних многочленов может иметь разрыв. Поэтому, если требуется глобально на отрезке [a, b] аппроксимировать производную гладкой функцией, то целесообразно использовать сплайны.

Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [a, b], а на частичном отрезке [x_i, x_i₊₁] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом. При этом отрезок [a, b] разбит на N равных частичных отрезков [x_i, x_i₊₁], где x_i=a+ih, i=0,1,...,N-1, x_N=b, h=(b-a)/N.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a, b] производной – дефектом сплайна.

Производная сплайна при , где r- дефект сплайна, дает гладкую глобальную аппроксимацию для .

Когда значения функции сильно «зашумлены» случайными ошибками, полезным может оказаться использование метода наименьших квадратов.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 608; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!