Задание 10 № 1015 (решено неверно или не решено)

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 3 белых, 11 синих и 6 серых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет белое такси.
Решение.Вероятность того, что к заказчице приедет белое такси равна .

Ответ: 0,15.

Задание 11 № 27211 (решено неверно или не решено)

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами 7, 4, 2 и 4, 3, 4:

Ответ: 104.

Задание 12 № 27987 (решено неверно или не решено)

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением км/ч², вычисляется по формуле . Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч². Ответ выразите в км/ч.
Решение.
Найдем, при какой скорости автомобиль приобретает ускорение 5000 км/ч². Задача сводится к решению уравнения при заданном значении расстояния км:

Если скорость будет превосходить найденную, то ускорение автомобиля более 5000 км/ч², поэтому минимальная необходимая скорость равна 100 км/ч.

Ответ: 100.

Задание 13 № 99578 (решено неверно или не решено)

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора кислоты – , а концентрация второго – . Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты: . Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты: . Решим полученную систему уравнений.

Ответ: 18.

Задание 14 № 77466 (решено неверно или не решено)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение.
Заметим, что и найдем производную этой функции:

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является

Ответ: 10.

Проверка части С

Пожалуйста, оцените решения задач части С самостоятельно, руководствуясь указанными критериями.

Начало формы

Задание С1 № 484541

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Уравнение решено верно	2
Корни числителя найдены верно, но уравнение решено неверно	1
Все прочие случаи	0
Максимальный балл	2

Решите уравнение .

Решение.

Найдем ОДЗ: .
Найдем корни числителя:

Отметим корни на тригонометрической окружности:

С учетом ОДЗ (см. рис.) получаем:
Ответ: .

Задание С2 № 484577

Содержание критериев оценивания задачи С2	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан геометрический объект, который нужно найти, но получен неверный ответ или решение не закончено.	1
Все прочие случаи.	0

В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .

Решение.

Так как прямая пересекается с прямой параллельной прямой и лежит в плоскости , параллельной , то расстояние между прямыми и равно расстоянию от прямой до плоскости .

Пусть АК — высота треугольника ABC. АК перпендикулярна , так как перпендикулярна плоскости ABC. Таким образом, искомое расстояние — длина отрезка АК. Из равностороннего треугольника ABC находим:

Ответ: .

Задание С3 № 484579

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
	3
	2
	1
	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство
.

Решение.

Пусть тогда неравенство принимает вид:

Так как , то , а значит, .
Получаем:

Поясним: неравенство эквивалентно неравенству и выполнено для всех значений переменной. Итак,

Ответ: .

Задание С4 № 484614

Содержание критериев оценивания задачи С4	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ.	2
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ.	1
Все прочие случаи.	0

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.

Решение.

Пусть AD — высота равнобедренного треугольника ABC , опущенная на его основание BC , O — центр вписанной окружности, O — точка ее касания с боковой стороной AB.
Тогда

Обозначим . Из прямоугольного треугольника находим, что .
Тогда .
Пусть окружность с центром и радиусом касается продолжения боковых сторон AB и AC в точках F и G соответственно, а также основания BC Тогда D — точка касания, поэтому

Следовательно, .

Пусть теперь окружность с центром радиуса касается боковой стороны AB, продолжения основания BC в точке Q и продолжения боковой стороны AC в точке K. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому и AD — биссектрисы смежных углов BAK и DAB значит, . Тогда — прямоугольник. Следовательно, . Радиус окружности, касающейся боковой стороны AC и продолжений основания BC и боковой стороны AB также равен 9.

Ответ: 9 или 36.

Задание С5 № 484647

Содержание критериев оценивания задачи С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно 4 решения.

Решение.

Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол:

(см. рисунок).

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром .
На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.
1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.
2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.
Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы . Получим: , откуда

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: , откуда

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.
Ответ: , , , .

Задание С6 № 484657

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
	4
	3
	2
	1
	0
Максимальный балл	4

Произведение всех делителей натурального числа N оканчивается на 399 нулей. На сколько нулей может оканчиваться число N?

Решение.

Разложим N на простые множители:

где p — наибольший простой множитель и Если запись числа N оканчивается n нулями, то или или, наоборот, .
Оценим количество делителей k числа N:

при этом k делится на .
1 случай. Если k — четное, то все делители разбиваются на пар вида так, что произведение делителей в каждой паре равно N. Поэтому произведение всех делителей равно .
2 случай. Если k — нечетное, то делителей разбиваются на пары указанного вида, и есть еще один делитель — . И в этом случае тоже произведение всех делителей: .
Значит, для любого N произведение всех делителей оканчивается нулями, следовательно, . При этом , откуда следует, что n — делитель числа 798, и .
Выпишем все такие n: 1,2,3,6,7. Из равенства также следует, что 798 делится на . Поэтому возможно только и . Для каждого из этих n подберем настоящее N. Ограничимся простыми множителями 2 и 5. Значит, нужно подобрать только и .
1. .
2. .
3. , ; ; .
Таким образом, для найдены ( и даже не все) N, оканчивающиеся n нулями, произведение делителей которых оканчивается 399 нулями.
Ответ: 1, 2, 6.