Задание 9 № 927 (решено неверно или не решено)

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14 , а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра.
Решение.
высота цилиндра равна

Ответ: 7.

Задание 10 № 1006 (решено неверно или не решено)

Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.
Решение.
новости не идут по 45 – 9 = 36 каналам. Тогда вероятность того, что Маша попадет на канал где новости не идут, равна

Ответ: 0,8.

Задание 11 № 27053 (решено неверно или не решено)

Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
Решение.
Пусть объём первого цилиндра равен , объём второго — , где — радиусы оснований цилиндров, — их высоты. По условию , . Выразим объём второго цилиндра через объём первого:

Откуда

куб. м.

Ответ: 9.

Задание 12 № 28013 (решено неверно или не решено)

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где – масса груза (в кг), – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Решение.
Задача сводится к решению неравенства Дж при заданных значении массы груза кг и законе изменения скорости:

Таким образом, 0,5 c из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Это составляет 0,5 первой секунды.

Ответ: 0,5.

Задание 13 № 26610 (решено неверно или не решено)

Баржа в 10:00 вышла из пункта в пункт , расположенный в 15 км от . Пробыв в пункте 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.
Решение.
Пусть км/ч – скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна км/ч, а скорость баржи против течения равна км/ч. Баржа вернулась в пункт через 6 часов, но пробыла в пункте час 20 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением:

Ответ: 2.

Задание 14 № 77420 (решено неверно или не решено)

Найдите точку минимума функции .
Решение.Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума .

Ответ: 4.

Проверка части С

Задание С1 № 484554

Содержание критериев оценивания задачи С1	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный, но только из-за вычислительной ошибки или описки.	1
Все прочие случаи.	0

Решите уравнение .

Решение.

Уравнение равносильно системе

Уравнение системы приводится к виду , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что , получаем: .
Ответ: .

Задание С2 № 484558

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер , , . Найдите объем пирамиды если M — точка на ребре , причем .

Решение.

Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего в основании, равна половине произведения катетов: . Пусть , поскольку , то значит, .

Треугольник AME подобен треугольнику , значит,

Ответ: 50.

Задание С3 № 484579

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
	3
	2
	1
	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство
.

Решение.

Пусть тогда неравенство принимает вид:

Так как , то , а значит, .
Получаем:

Поясним: неравенство эквивалентно неравенству и выполнено для всех значений переменной. Итак,

Ответ: .

Задание С4 № 484622

Содержание критериев оценивания задачи С4	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ.	2
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ.	1
Все прочие случаи.	0

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Решение.

Пусть точки Р и А лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник BCP — равнобедренный , поэтому

значит, .
Пусть AH — высота треугольника ABP. Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

Пусть теперь точки Р и А лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник BCP — равнобедренный , поэтому

значит .
Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

Ответ: или .

Задание С5 № 484636

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
	4
	3
	2
	1
	0
Максимальный балл	4

При каких значениях а системы уравнении и равносильны?

Решение.

При ни одна из систем не имеет решений и, следовательно, они равносильны. При второе уравнение, общее для обеих систем, имеет единственное решение , , удовлетворяющее и первым уравнениям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при .При второе уравнение задается окружностью радиуса с центром в начале координат. Уравнение равносильно бесконечной совокупности уравнений , .
Системы равносильны тогда и только тогда, когда окружность, определяемая вторым уравнением, имеет общие точки только с прямой , соответствующей в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее радиус был меньше, чем расстояние от начала координат до прямой , т. е. чем число .
Итак, или . Добавляя полученные ранее значения , получаем ответ.
Ответ: .

Задание С6 № 484671

Содержание критериев оценивания задачи С6	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.	2
Расмсотрены и проверены отдельные части ответа.	1
Все прочие случаи.	0

На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 7, поэтому — количество целых чисел — делится на 7. По условию , поэтому . Таким образом, написано 49 чисел.
б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, положительных чисел больше, чем отрицательных.
в) (оценка). Подставим в правую часть равенства , откуда . Так как , получаем: , , , ; то есть отрицательных чисел не более 22.
в) (пример). Приведём пример, когда отрицательных чисел ровно 22. Пусть на доске 25 раз написано число 14, 22 раза написано число и два раза написан 0. Тогда , удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: а) 49; б) положительных; в) 22.