ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 8 страница
Поскольку, однако, точка, линия, треугольник, пирамида и т.д. - это воплощенные идеальные образования, постольку они неделимы. Отсюда учение платоников не только о неделимых точках, но и о неделимых линиях, неделимых треугольниках или, что то же самое, неделимых поверхностях. "Разделить" точку, "первую" линию, "первый" треугольник - это все равно, что "разделить" понятие тождества, различия или "единства различных", ибо именно таковы "понятия" точки, линии и плоскости. О "делении" применительно к этим первым элементам можно, согласно платоникам и пифагорейцам, говорить только в одном смысле, а именно в смысле уменьшения числа измерений. Так, например, в результате "разделения" треугольника, т.е. плоскости, получим не плоскости, меньшие по своей величине, а линию; в результате деления линии - не все меньшие линейные отрезки, а точку. В этом состоит различие между платоновским и демокритовским пониманием неделимого. Согласно Демокриту, при делении тела мы получаем в конце концов далее неделимые элементы того же измерения, что и само тело.
И в самом деле, у Платона числовые (т.е. идеально-логические) элементы треугольника (тройки) - это двойка и единица. Как можно "поделить" тройку? Только разложив ее на эти "элементы" - в результате вместо треугольника будет линия (двойка). То же и с линией. Но разве мы не можем разделить линию не как двойку, а как "движущуюся" в воображении точку, ибо ведь линия порождается этой движущейся точкой? На этот вопрос платоники, как кажется, должны ответить так: эту проводимую в воображении линию мы можем разделить, но мы разделим при этом не линию, а только некое чувственно воспринимаемое протяженное тело, которое будет "телом линии" лишь при одном условии: если оно - двойка. А двойку мы не можем делить иначе чем на единицы, т.е. применительно к геометрии, точки.
|
|
|
Математические неделимые: споры вокруг них в античности
Однако такого рода объекты-кентавры - линии, треугольники и т.д. - могли вызывать затруднения в силу смешения двух аспектов: числового (идеального, логического) и пространственного - воззрительного, наглядного. Естественно, что при этом "неделимые линии" представлялись как "мельчайшие": ведь они - первые, из них - все остальное, и любой отрезок прямой тогда оказывается состоящим из этих неделимых (атомарных) линий, аналогично тому, как у Демокрита тело - из мельчайших частиц того же измерения.
Именно на этом смешении двух способов рассмотрения - числового и пространственного - основан трактат "О неделимых линиях", который приписывался Аристотелю, но принадлежит, возможно, Теофрасту. В нем дается критика учения платоников о неделимых линиях. Среди платоников это учение разрабатывал прежде всего Ксенократ, хотя, как сообщает Аристотель, оно уже было и у Платона.
|
|
|
Но автор трактата о неделимых линиях исходит из представления о том, что последние представляют собой "мельчайшие" в пространственном (а не логическом) смысле линии-атомы, из которых слагается (вспомним предостережение Фичино) "большая" линия. А при таком понимании неделимых линий действительно возникает целый ряд противоречий и неувязок, которые автор и перечисляет.
Если допустить эти "линии-атомы", то: "1... все линии (отрезки) были бы... соизмеримыми (sЏmmetroi). Ибо все они были бы измеримыми при помощи атомов (-линий), как те, которые соизмеримы просто по длине, так и те, которые соизмеримы (только) в квадрате... 2. Далее, раз из трех данных прямых образуется треугольник, то треугольник можно составить также из трех линий-атомов. Но в каждом равностороннем треугольнике высота (проведенная из вершины) проходит через середину (основания), а следовательно, и через середину атомов (-линий)... 3. Далее, присоединение одной линии к другой не могло бы увеличить всей линии. Ибо неделимые линии, взятые в совокупности, не образуют ничего большего..." Мы не будем перечислять остальные аргументы, так как характер критики уже понятен.
|
|
|
Приведенные два первых аргумента неизвестного автора почти полностью повторяют те, которые высказал Аристотель против допущения неделимых физических атомов Демокрита. Аристотель показал, что допущение такого рода "последних неделимых" противоречило бы самым очевидным положениям математики, ибо тогда, во-первых, все отрезки были бы соизмеримы (они имели бы атом в качестве наименьшей меры), а во-вторых, невозможно было бы поделить точно пополам отрезок, содержащий нечетное число атомов (ибо тогда надо было бы разделить атом). Что касается третьего аргумента, то он приводился уже у Зенона и неоднократно воспроизводился у Аристотеля: если атомы - это точки, лишенные всякой величины, то сумма их тоже не даст величины (этого аргумента Аристотель против Демокрита не выставлял, ибо его атомы - не математические точки, а минимальные величины - тела).
Однако при этом интересно отметить одно обстоятельство. Аристотель, неоднократно отмечавший, что допущение атомизма Демокрита не может согласоваться с математикой, ибо математика исходит из непрерывного континуума, в то же время нигде не приводит того же аргумента против Платона и его учеников. Хотя если бы он понимал математические "неделимые" так же, как автор цитированного трактата, то должен был обрушиться на них еще резче, чем на Демокрита. Тем более что по другим аспектам обоснования математики Аристотель постоянно полемизирует с платониками. Не потому ли он не указывал на несостоятельность учения о математических неделимых, что был лучше осведомлен о том, как трактовали их платоники?
|
|
|
Учение пифагорейско-платоновской школы о "неделимости" математических объектов - точки, линии, треугольника, пирамиды - оказало большое влияние на дальнейшее развитие математики как в эпоху эллинизма, так и в средние века и особенно в эпоху Возрождения.
В связи с проблемой математических неделимых встает еще один, может быть, наиболее трудный вопрос. Мы уже знаем, что "разделить" математический объект, например плоскость, - это значит получить математический объект другого измерения; плоскость двухмерна; будучи "разделенной", она превращается в линию, т.е. в одномерное образование. Но что же это за способ деления? Как видим, он совсем не похож на обычное представление о делении как расчленении тела на части: в результате деления мы здесь как бы совершаем прыжок в другой мир, ибо переход от измерения к измерению непонятен ни с точки зрения логики, ни с точки зрения "мнения", т.е. обычного представления о делении объекта.
Та же неясность возникает и при действии "умножения", т.е. при переходе от одномерного к двухмерному образованию, а от него - к трехмерному. Выше мы видели, что, с точки зрения платоника Прокла, "переход" от точки к линии и от линии к плоскости можно как бы созерцать в воображении: движение точки в интеллигибельной материи, пространстве, дает в результате линию; линия - это как бы след движущейся точки в пространстве, след, удерживаемый воображением. Но созерцание движения точки, линии или плоскости - это еще не логическое объяснение перехода от объекта одного измерения к объекту двух или трех измерений. Возможно ли логическое объяснение такого перехода, можно ли постигнуть его в понятии?
Для ответа на этот вопрос обратимся вновь к диалогу Платона "Парменид". При анализе этого диалога мы сознательно опустили одно из рассуждений, одну из "гипотез" Платона, которая как раз теперь, может быть, прольет некоторый свет на интересующий нас вопрос. В этом рассуждении Платон рассматривает проблему приобщения единого к бытию: каким образом может происходить такое приобщение? Такая проблема возникла для Платона после того, как он пришел к заключению, что если единое существует, то оно есть многое. Теперь же он ставит вопрос так: "Если единое таково, каким мы его проследили, то не должно ли оно, будучи, с одной стороны, одним и многим, и не будучи, с другой стороны, ни одним, ни многим, а кроме того, будучи причастным времени, быть какое-то время причастным бытию, поскольку оно существует, и какое-то время не быть ему причастным, поскольку оно не существует?"
Приобщение к бытию - это возникновение, а отрешение от бытия - гибель; но это только крайние из состояний, в какие может переходить система "единое - многое"; помимо них, существуют промежуточные состояния, такие, как увеличение и уменьшение, уподобление и становление неподобным, разъединение многих и соединение (многих) в единое, - одним словом, все виды переходов из одного состояния в другое - переходов, которые все заданы уже крайними переходами из бытия в небытие и обратно. К числу этих переходов Платон относит также переход от покоя к движению и обратно, замечая при этом, что, пока что-то движется или покоится, оно находится во времени, но когда оно переходит от покоя к движению, то в момент перехода оно и не движется, и не покоится (что, кстати, можно рассматривать и как "третье" - как характеристику "становления"). "Ведь не существует времени, в течение которого что-либо могло бы сразу и не двигаться, и не покоиться... Так когда же оно изменяется? Ведь и не покоясь, и не двигаясь, и не находясь во времени, оно не изменяется... В таком случае не странно ли то, в чем оно будет находиться в тот момент, когда оно изменяется?" Если, двигаясь или покоясь, нечто находится во времени, то в момент перехода от движения к покою оно не находится во времени. Чем же в таком случае является то, "в чем" оно находится в момент перехода? Оно является, по Платону, вневременным "вдруг". "Ибо это "вдруг", видимо, означает нечто такое, начиная с чего происходит изменение в ту или другую сторону. В самом деле, изменение не начинается с покоя, пока это - покой, ни с движения, пока продолжается движение; однако это странное по своей природе "вдруг" лежит между движением и покоем, находясь совершенно вне времени; но в направлении к нему и исходя от него изменяется движущееся, переходя к покою, и покоящееся, переходя к движению" (курсив мой. - П.Г.).
Это вневременное "вдруг" не подлежит никакому закону или правилу: ни логическому, ни тем правилам, которые мы извлекаем из опыта и которые, хотя они, по Платону, и имеют всего лишь статус "мнения", все-таки дают возможность определять, как ведет себя движущееся или покоящееся тело. "Переход" представляет собой "скачок". Этот переход, по Платону, осуществляется везде, где происходит изменение: всякое изменение у него - это превращение в противоположное. "Но разве не так обстоит дело и при прочих изменениях? Когда что-либо переходит от бытия к гибели или от небытия к возникновению, происходит его становление между некими движением и покоем, и оно не имеет в тот момент ни бытия, ни небытия, не возникает и не гибнет".
Введение этого "вдруг", которое лежит вне времени и которое есть чистое "между" - ни то, ни другое из двух противоположных состояний, весьма характерно для мышления Платона. Переход из одной противоположности в другую ничем не опосредован, вернее, опосредован этим странным по своей природе "вдруг", внезапным переходом, который выступает как провал в бездонную пропасть, и эта-то пропасть и образует границу между двумя противоположными состояниями.
Видимо, переход от одного измерения к двум, от двух - к трем представляет собой такой же скачок; одномерная линия, двухмерная плоскость и трехмерное тело - это как бы три разных "состояния", между которыми - скачок, внезапный переход, осуществляемый не во времени, а "вдруг". "Деление", благодаря которому происходит "скачок" от n-мерного к n + 1-мерному миру, предполагает всякий раз "переход в другой род". Может быть, трудности понимания платоновского перехода в диалоге "Тимей" от треугольников к правильным многогранникам, а от них - к "стихиям": огню, воде и т.д. - также связаны с такого же рода "скачком"? Во всяком случае, подобное допущение не противоречит методу Платона.
Космология и физика Платона. Понятие материи
Как относился Платон к возможности исследования природы? Считал ли он возможным создание науки о природе - физики, которая обладала бы такой же достоверностью, как и математика? Исходя из убеждения Платона о том, что чувственный мир не может быть предметом научного знания - не только высшего (эпистеме), но и промежуточного уровня (дианойя), можно заключить, что он должен был отрицательно относиться к возможности создания физики как науки о природном бытии. И действительно, в диалоге "Тимей", где Платон в конце жизни попытался изложить свою космогонию и физику, читаем: "О непреложном, устойчивом и мыслимом предмете и слово должно быть непреложным и устойчивым... Но о том, что лишь воспроизводит первообраз и являет собой лишь подобие настоящего образа, и говорить можно не более как правдоподобно. Ведь как бытие относится к рождению, так истина относится к вере. А потому не удивляйся, Сократ, если мы, рассматривая во многих отношениях много вещей, таких, как боги и рождение Вселенной, не достигнем в наших рассуждениях полной точности и непротиворечивости. Напротив, мы должны радоваться, если наше рассуждение окажется не менее правдоподобным, чем любое другое, и притом помнить, что и я, рассуждающий, и вы, мои судьи, всего лишь люди, а потому нам приходится довольствоваться в таких вопросах правдоподобным мифом, не требуя большего". Как видим, ни о возникновении космоса, ни о его строении невозможно получить точное и достоверное знание; приходится довольствоваться "правдоподобным мифом". Физика, по Платону, таким образом, не может и не должна претендовать на статус науки - таковой является лишь математика.
Такое отношение Платона к возможности создания физики как науки вполне понятно: убеждение в том, что физика не может быть строгой и достоверной, шло у него рука об руку с отсутствием естественнонаучного интереса; в этом смысле он был истинный ученик Сократа. Взор идеалиста Платона всегда устремлен в мир горний - к царству вечных и неизменных идей; из наук только математика приковывает к себе его внимание, ибо она - путь к миру вечного бытия. Этот специфический для Платона интерес к неизменному в многообразном и изменяющемся чувственном мире отметил В. Гейзенберг. Вот что говорит он в этой связи в своем докладе "К истории физического объяснения природы": "Наиболее важными ему (Платону. - П.Г.) кажутся, прежде всего, математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений. Никакая другая задача науки о природе не кажется ему столь существенной, как задача открытия неизменных законов в постоянно меняющихся явлениях... В одном месте, например, Платон говорит о пифагорейцах и их исследованиях гармоний и колебаний струн. Единственно существенным в их экспериментах является для него мысль о численных отношениях, лежащих в основе гармонических звучаний; явления же сами по себе остаются несущественным дополнением" (курсив мой. - П.Г.).
Не удивительно ли, однако, что диалог "Тимей", где изложен "правдоподобный миф" о становлении Вселенной и о законах, царящих в ней, привлекал тем не менее внимание математиков, оптиков, физиков, а не только философов и теологов на протяжении более чем двух тысяч лет? И, в самом деле, не только в эпоху эллинизма, но и в средние века, а особенно в эпоху Возрождения мы находим множество комментариев к "Тимею" - не меньше, чем к "Физике" Аристотеля. Видимо, этот "правдоподобный миф" содержит в себе какие-то указания на то, как подходить к исследованию природы, и эти указания имеют определенную эвристическую ценность, несмотря на столь невысокую оценку возможностей физики самим Платоном.
Итак, помня о том, что мы будем иметь дело лишь с правдоподобным, а не истинным рассуждением, рассмотрим космогонию и физику Платона.
"Тимей" построен как повествование о том, почему, как и с помощью каких средств демиург создал видимый и осязаемый нами мир - космос. Физика Платона, таким образом, излагается им в органической связи с космогонией. В этом отношении по форме платоновское учение о природе оказывается близким к мифологическим космогониям. По-видимому, это обстоятельство Платон тоже имел в виду, когда назвал рисуемую им картину возникновения Вселенной "правдоподобным мифом". Остановимся сначала именно на этой мифоподобной форме: случайно ли избрал ее Платон? Как известно, Аристотель в своем сочинении "О небе" подверг суровой критике платоновскую концепцию, согласно которой космос творится демиургом, а стало быть, существует не от века, но возникает.
Анализируя различные точки зрения относительно происхождения мира, Аристотель говорит о платониках: "...Имеются некоторые, по мнению которых и нечто невозникшее может уничтожиться, и нечто возникшее - оставаться не уничтожимым. (Как <это утверждается> в "Тимее", где <Платон> говорит, что Небо возникло и тем не менее впредь будет существовать вечно.)". Согласно же Аристотелю, то, что когда-то возникло, не может избегнуть разрушения; космос же - вечен, а это значит, что он никогда не возник и никогда не погибнет. То, что имело когда-то начало, должно, по Аристотелю, необходимо иметь и конец.
На это возражение Аристотеля ученики Платона Спевсипп и Ксенократ отвечали, по свидетельству Симпликия, что "возникновение" здесь понимается в том же смысле, как у математиков, которые тоже говорят о возникновении, если конструируют какую-нибудь геометрическую фигуру, но не имеют в виду, что эта фигура (треугольник или что-либо подобное) и в самом деле когда-то возникла, а говорят так из дидактических соображений: ибо человеку легче объяснять, если одновременно перед его глазами будет возникать геометрическая фигура.
Разъяснения Спевсиппа и Ксенократа мы не склонны рассматривать как некоторую уступку Аристотелю, как это представляется Э. Франку. Напротив, здесь Спевсипп и Ксенократ выявляют как раз внутреннее сходство между платоновским учением о воплощении идеального "образца" в чувственный мир - а это и есть "возникновение" космоса - и убеждением математиков в том, что акт начертания фигуры, т.е. ее "чувственного возникновения", - это не есть ее действительное возникновение, ибо уже раньше она "существовала", согласно своему понятию, "в уме", а теперь только явлена представлению. Эта аналогия, видимо, отнюдь не чужда самому Платону; но она совершенно чужда Аристотелю, которого вовсе не убедили возражения Спевсиппа и Ксенократа.
Что же касается Платона, то его учение об онтологическом приоритете мира идей над чувственным миром как раз и служит логической базой для утверждения, что космос некогда возник; ибо, будучи переведена в форму представления (а именно представление и есть стихия "правдоподобного мифа"), мысль о первичности идеального мира должна с необходимостью обернуться повествованием о рождении чувственного мира из идеального: ведь мир представления обязательно превращает первичность логическую в предшествование во времени.
Но интуиции, которыми Платон руководствуется при переходе от идеального образца к чувственному, остаются математическими в том смысле, что этот переход для него в известном смысле аналогичен переходу от "идеи треугольника" - числа три - к "возникновению" треугольника как пространственной фигуры. Именно это и разъясняли ученики Платона. Но по этой же причине Платон и не считал, что он создает науку о природе - физику; все, что есть в его "Тимее" "правдоподобного", обязано своим правдоподобием математике. А все, что в нем есть "мифологического" - от погружения в стихию "иного", от "материи".
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 243; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!