ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 6 страница
Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией, какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало возможным совсем новое истолкование математической программы античности.
Иерархия математических наук
Мы выяснили, в чем Платон видел различие между числами и геометрическими фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" - пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к высшему познанию.
Большинство историков науки согласны между собой в том, что греческая математика отличается от средневековой и особенно от математики нового времени. К характерным ее чертам принадлежит, в частности, специфическое отношение к числу, носящее ярко выраженный аксиологический характер. Такое отношение к числу особенно характерно для математиков и философов, принадлежащих к пифагорейской школе и к платоновской Академии. Анализ платоновских произведений показывает, как складывалось и чем мотивировалось ценностное отношение к математике.
|
|
|
Само происхождение знаний о числе представляется Платону достойным всякого почитания. "Давайте рассмотрим, - говорит он, - как мы выучились считать. Скажите: откуда у нас появилось понятие единицы, двойки? Почему только мы одни из всех живых существ по своей природе можем иметь такое понятие?.. Нам впервые привил Бог понимание того, что нам показывают, а затем он показал нам число и показывает до сих пор. Происходит беспрестанная смена многих ночей и дней. Небо совершает это беспрестанно, научая людей понятию о единице и двойке, так что, наконец, и самый неспособный человек оказывается в состоянии усвоить счет. Созерцая это, каждый из нас может получить понятие о числах "три", "четыре" и о множественности".
|
|
|
Счет, таким образом, есть нечто священное уже потому, что ему нас научило Небо. То, что математика на Востоке с самых древних времен связана была с астрономией, в этом нет сомнения, и это, собственно, Платон и имеет в виду. Однако математика, как и астрономия, была связана и с практическими нуждами, но эту ее функцию Платон, как мы уже видели, считает производной и второстепенной.
Дарованная нам Небом наука о числе, согласно Платону, не может содержать в себе ничего дурного, отрицательного. Вот отрывок, где дается ценностная характеристика числа: "Что число не вызывает ничего дурного, это легко распознать, как это вскоре и будет сделано. Ведь чуть ли не любое нечеткое, беспорядочное, безобразное, неритмичное и нескладное движение и вообще все, что причастно чему-нибудь дурному, лишено какого бы то ни было числа. Именно так должен мыслить об этом тот, кто собирается блаженно окончить свои дни. Точно так же никто, не познав [числа], никогда не сможет обрести истинного мнения о справедливом, прекрасном, благом и других подобных вещах и расчислить это для самого себя и для того, чтобы убедить другого" (курсив мой. - П.Г.).
Таким образом, число внутренне связано с прекрасным, благим и священным, а потому отнюдь не есть нечто нейтральное по отношению к ценностям. Именно с понятием числа Платон связывает порядок, упорядоченность, ритм, склад (лад), гармонию, согласованность, меру, соразмерность, а все это - атрибуты не только прекрасного, но и доброго, благого, оно же и истинное. Поэтому в самом числе выделяется и подчеркивается прежде всего то, что несет эти атрибуты.
|
|
|
Первой среди математических наук Платон считает арифметику. Арифметика, "главная и первая из наук - это наука о самих числах, но не о тех, что имеют предметное выражение, а вообще о зарождении понятий "чет" и "нечет" и о том значении, которое они имеют по отношению к природе вещей. Кто это усвоил, тот может перейти к тому, что носит весьма смешное имя геометрии. На самом деле ясно, что это наука о том, как выразить на плоскости числа, по природе своей неподобные".
Два числа, ab и cd, называются подобными в том случае, если их множители - "стороны" (как говорят античные математики, тем самым указывая на то, что число мыслится ими геометрически) - пропорциональны, т.е. a:c = b:d. Если же числа оказываются неподобными, то их можно уподобить, представив как площади подобных прямоугольников; задача уподобления двух чисел ab и cd предстает тогда как задача нахождения средних пропорциональных m и l, так что площади ab и cd относятся как m2:l2. Таким образом, задача нахождения средних пропорциональных с целью "уподобления" чисел мыслится Платоном как центральная проблема геометрии. Установление пропорциональных отношений, как видим, оказывается не одной из задач математики наряду с прочими, а центральной ее темой.
|
|
|
"Вслед за этой наукой идет еще одна, ей подобная: люди, ею занимающиеся, также назвали ее геометрией. Наука эта изучает тела, имеющие три измерения и либо подобные друг другу по своей кубической природе, либо неподобные, приводимые к подобию с помощью искусства". Речь идет, как нетрудно заметить, о стереометрии, которой Платон отводил важное место среди математических наук. Главной ее задачей он тоже считал установление пропорциональных отношений.
В сочетаниях Платона рассматриваются три вида пропорций: арифметическая, геометрическая и гармоническая. Так, в "Тимее", объясняя принцип построения космоса демиургом, Платон приводит сложное числовое построение, в основе которого лежит система пропорциональных отношений: "...в каждом промежутке было по два средних члена, из которых один превышал меньший из кратных членов на такую же его часть, на какую часть превышал его больший, а другой превышал меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число". Здесь Платон дает определение гармонической и арифметической пропорции. Если средний член превышает меньший из крайних на такую его часть, на какую сам он превышается большим крайним членом, мы имеем гармоническую пропорцию. Так, для двух чисел - 6 и 12 - гармонической средней будет 8. Гармоническая пропорция - это 6, 8, 12, т.е. 1, 11/3, 2. Если же средний член превышает меньший из крайних на такое же число, на какое его самого превышает больший крайний, то пропорция будет арифметической: 6, 9, 12 или 1, 11/2, 2. Есть у Платона и третий вид пропорции, хотя он его не определяет в приведенном отрывке, - геометрическая пропорция: второй член должен так относиться к третьему, как первый - ко второму: 1, 2, 4.
Таким образом, именно теория пропорций была в центре математических исследований, проводившихся в Академии, и не случайно такие математики, как Теэтет и Евдокс Книдский, если доверять античным источникам, уделяли большое внимание этой теме. Так, О. Беккер полагает, что V и VI книги "Начал" Евклида, содержащие теорию пропорций, принадлежат Евдоксу, с чем согласен также и Ѕ.Ћ. ван дер Варден.
Последовательный ряд наук - арифметика, геометрия и стереометрия - продолжается еще одной наукой - астрономией. Астрономия - четвертая в ряду математических наук, но в то же время она как бы возвращает нас и к началу ряда, поскольку, как мы помним, по Платону, арифметика обязана своим возникновением созерцанию Неба и происходящих в нем перемен. Вот что пишет Платон о месте астрономии среди других наук и о ее предмете: " "Завершением их (наук. - П.Г.). должно служить рассмотрение божественного происхождения и прекраснейшей и божественной природы зримых вещей. Бог дал созерцать ее людям, но без только что разобранных наук никто этого не может, хотя бы кто и похвалялся тем, что он легко все схватывает... Нам надо познать точность времени, а именно, с какой точностью совершаются все небесные кругообращения... Всякая геометрическая фигура, любое сочетание чисел или гармоническое единство имеют сходство с кругообращением звезд; следовательно, единичное для того, кто надлежащим образом это усвоил, разъясняет и все остальные".
Отсюда можно видеть, что астрономия имеет своим предметом закономерность небесных движений, выраженную в точных числовых соотношениях. В этом смысле астрономия - тоже наука математическая, предполагающая знание арифметики и геометрии. Более того, как утверждает Платон, в движениях небесных тел находят свое как бы телесное воплощение математические отношения, изучаемые тремя первыми математическими науками. А потому изучение одной из этих наук, в сущности, уже есть и изучение остальных, ибо их предмет в конце концов один, только берется в разных аспектах. Видимо, так можно истолковать последнее предложение приведенного отрывка. Это опять-таки близко к пифагорейской традиции, согласно которой определенное сочетание чисел соответствует правильному движению небесных сфер и гармоническому сочетанию звуков. Гармония чисел, движений и тонов - одна и та же гармония, и ее чистое выражение - математическая пропорция.
Астрономия у Платона непосредственно следует за стереометрией: стереометрию он определяет в "Государстве" как "науку об измерении глубины", а астрономию - как науку о вращении тел, имеющих глубину. В отношении астрономии Платон рассуждает так же, как и в отношении геометрии, различая два возможных к ней подхода: практический и чисто философский. С практической точки зрения астрономия очень важна, ибо "внимательные наблюдения за сменой времен года, месяцев и лет пригодны не только для земледелия и мореплавания, но не меньше и для руководства военными действиями". Однако практическая польза от астрономии - это отнюдь не самое главное, ради чего необходимо ею заниматься. Как и другие науки - арифметика, геометрия, стереометрия, - астрономия, согласно Платону, подготовляет наш ум к постижению высшей истины, ценной не ради ее приложений, но сама по себе, и в этом главное ее назначение: "...в науках очищается и вновь оживает некое орудие души каждого человека, которое другие занятия губят и делают слепым, а между тем сохранить его в целости более ценно, чем иметь тысячу глаз, ведь только при его помощи можно увидеть истину". Платон, как видим, подчеркивает, что астрономия, как и математика в целом, служит средством перехода от предметов, данных непосредственному ощущению, к предметам, которые можно постигнуть лишь в мышлении, т.е. к "вещам невидимым". И в этом он усматривает главное назначение астрономии. Понятая таким образом астрономия, как и другие рассмотренные выше науки, является преддверием философии.
Напротив, в том случае если ее рассматривают не как путь к высшему роду знания, которое Платон называет диалектикой, а как высшее из возможных познаний само по себе, то впадают в грубое заблуждение. При этом, как характерно выражается Платон, "возводят астрономию до степени философии", т.е. превращают ее из средства в самоцель. "Если заниматься астрономией таким образом, как те, кто возводит ее до степени философии, - говорит Платон, - то она даже слишком обращает наши взоры вниз".
Каким образом изучение одного и того же предмета - законов движения небесных тел - может иметь столь различные, даже противоположные результаты? В чем здесь дело и против чего тут выступает Платон? "Пожалуй, ты еще скажешь, - обращается Сократ к своему собеседнику Главкону, - будто если кто-нибудь, запрокинув голову, разглядывает узоры на потолке и при этом кое-что распознает, то он видит это при помощи мышления, а не глазами... Глядит ли кто, разинув рот, вверх или же, прищурившись, вниз, когда пытается с помощью ощущений что-либо распознать, все равно, утверждаю я, он никогда этого не постигнет, потому что для подобного рода вещей не существует познания и человек при этом смотрит не вверх, а вниз, хотя бы он и лежал ничком на земле или умел плавать на спине в море".
Вполне понятно, что Платон считает невозможным познание с помощью ощущений, "глазами", ибо в действительности научное познание осуществляется с помощью мышления. Поэтому эмпирические явления не могут быть, согласно Платону, предметом научного исследования - таковыми являются только предметы идеальные или "промежуточные", а именно числа, фигуры и их соотношения. Постигаются же последние "разумом и рассудком, но не зрением". Что же касается эмпирически данных объектов астрономии, то ими, так же как и чертежами в геометрии, можно пользоваться только как подсобным материалом, ибо они никогда не тождественны тем идеализациям, которые составляют подлинный предмет изучения в математике: "...небесным узором надо пользоваться как пособием для изучения подлинного бытия, подобно тому как если бы нам подвернулись чертежи Дедала или какого-нибудь иного мастера либо художника, отлично и старательно вычерченные. Кто сведущ в геометрии, тот, взглянув на них, нашел бы прекрасным их выполнение, но было бы смешно их всерьез рассматривать как источник истинного познания равенства, удвоения или каких-либо иных отношений".
Итак, небесные тела и их видимое движение уподоблены Платоном чертежам в геометрии, а потому астроном должен видеть в них только вспомогательное средство для своей науки - не больше того. Отсюда парадоксальный вывод Платона, который привел в дальнейшем к жесткому разделению эмпирического и философско-теоретического познания, особенно в средневековой науке: "Значит, мы будем изучать астрономию так же, как геометрию, с применением общих положений, а то, что на небе, оставим в стороне, раз мы хотим действительно освоить астрономию и использовать еще неиспользованное, разумное по своей природе начало нашей души" (курсив мой. - П.Г.).
Это заявление Платона, в сущности, шло вразрез с практикой астрономической науки его времени, которая, естественно, не могла оставлять в стороне "то, что на небе"; но такой крайний антиэмпиризм не был простой случайностью: он логически вытекал из платоновского убеждения в том, что точная наука должна иметь дело с идеализациями, а не с теми эмпирическими предметами, которые даны нам в чувственном восприятии. Платон поэтому не только не допускал возможности точного научного знания применительно к земным явлениям, что впоследствии пересмотрел Аристотель, но, как видим, даже изучение небесных светил он считал всего лишь подсобным средством для истинной астрономии.
Перечислив математические науки - арифметику, геометрию, стереометрию, астрономию, Платон завершает этот ряд наук музыкой, которая тоже принадлежит к математическим наукам. "...Как глаза наши устремлены к астрономии, - пишет Платон, - так уши - к движению стройных созвучий: эти две науки - словно родные сестры; по крайней мере так утверждают пифагорейцы, и мы с тобой, Главкон, согласимся с ними". И математика, и астрономия изучают математические соотношения: астрономия - в движении небесных светил, а музыка - в гармонических созвучиях. Пифагорейцы, подчеркивает Платон, положили начало музыке как науке: "Ведь они поступают совершенно так же, как астрономы; они ищут числа в воспринимаемых на слух созвучиях, но не подымаются до общих вопросов и не выясняют, какие числа созвучны, а какие - нет и почему".
Характерно, что и по отношению к музыке Платон рассуждает так же, как он рассуждал о геометрии или астрономии: в качестве науки, по его мнению, может выступать только такое исследование, которое "в воспринимаемых на слух созвучиях ищет числа", т.е. математические соотношения, и в этом одном видит свою цель. Напротив, те, кто пытается устанавливать гармонические отношения звуков на слух и в этом смысле экспериментирует с музыкальными инструментами, те преследуют совсем иные цели, и такое занятие нельзя считать наукой. "...Что-то они называют "уплотнением" и настораживают уши, словно ловят звуки голоса из соседнего дома; одни говорят, что различают какой-то отзвук посреди, между двумя звуками, и что как раз тут находится наименьший промежуток, который надо взять за основу для измерений; другие спорят с ними, уверяя, что здесь нет разницы в звуках, но и те и другие ценят уши выше ума".
Как в астрономии Платон считает лишенным ценности такой подход, при котором глаза ценятся выше ума, так и в музыке он критикует музыкантов-практиков, потому что они пытаются с помощью слуха определить то, что можно определить только с помощью числа, а значит, с помощью мышления, а не чувственного восприятия. Эта критика вполне последовательно дополняется у Платона отрицательным отношением ко всякому чисто практическому использованию тех знаний, которые дает наука о числовых соотношениях, в том числе и музыка. Об отношении Платона к техническим применениям геометрии и астрономии мы уже писали; так же рассуждает он и применительно к музыке.
О том, что музыка в древности имела также и технико-практическое применение, свидетельствует, например, Витрувий. Согласно Витрувию, "от артиллерийского офицера, который должен следить за тем, чтобы катапульта равномерно натягивалась жилами, надо требовать музыкального образования, чтобы он мог по тону, который издают натянутые веревки с правой и с левой стороны при ударе по ним, установить равномерность натяжения".
В чем же состоит, по Платону, главная цель музыки как математической науки? Музыка здесь разделяет общую судьбу всех наук: ее предназначение - помогать душе восходить от низшего, чувственного бытия, ввысь, к созерцанию сверхчувственного, истинного бытия идей.
Рассмотрев иерархию математических наук у Платона, мы обратимся к вопросу, связанному с платоновским пониманием "неба" и его значения для становления философии математики.
Зрение чувственное и зрение "умное"
Этот вопрос нуждается в специальном рассмотрении уже хотя бы потому, что при анализе арифметики Платон указывает на то, что "небо научило нас числу", а при анализе астрономии советует "оставить в стороне то, что на небе". Но ведь одно противоречит другому.
Обратимся к аргументации Платона. Тот, кто "разглядывает узоры на потолке", пытается что-то распознать с помощью зрительного ощущения. Платон считает такое предприятие с точки зрения науки безнадежным. Истинные же вещи, "с их перемещениями друг относительно друга, происходящими с подлинной быстротой и медленностью, в истинном количестве и всевозможных истинных формах... постигаются разумом и рассудком, но не зрением". Таким образом, зрение, как вид ощущения, и разум противостоят друг другу; с помощью зрения мы воспринимаем внешнюю видимость, с помощью разума - внутреннюю сущность; первое дает нам мнение, второе - истинное знание.
Но в диалоге "Тимей" мы обнаруживаем иную оценку Платоном зрения и иное соотношение между двумя родами познания - с помощью глаз и с помощью ума: "...осталось ответить, какова же высшая польза от глаз, ради которой бог их нам даровал. Да, я говорю о зрении как об источнике величайшей для нас пользы; вот и в нынешнем нашем рассуждении мы не смогли бы сказать ни единого слова о природе вселенной, если бы никогда не видели ни звезд, ни Солнца, ни Неба. Поскольку же день и ночь, круговороты месяцев и годов, равноденствия и солнцестояния зримы, глаза открыли нам число, дали понятие о времени и побудили исследовать природу вселенной, а из этого возникло то, что называется философией и лучше чего не было и не будет подарка смертному роду от богов. Я утверждаю, что именно в этом высшая польза очей".
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 982; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!