Теорема про структуру лін. стаціонарної системи.
(1) Sn=(B,AB,A2B,..,An-1B) rankSn= r < n (2) k1,..,kr
Теорема: Якщо rankSn= r<n , тобто справджується умова (2), то систему (1) за допомогою лінійного перетворення X(t)=T(y) (3) можна звести до системи (4). При чому Т матриця має вигляд: Т=(k1,k2,..,kr,l1,..,ln-r) (5) де першими r стовпчиками є лінійно-незалежні стовпчики Sn, а решта n-rстовпців вибирають щоб виконувалася умова detT 0 (6).
Матриця (7). (8).
У співвідношеннях (7) і (8) P1-матриця розміру - rxr; P2 – rx(n-r); P3 – (n-r)x(n-r) Q1 – rxm. Крім цього rank (Q1,P1,Q1,..,P1r-1Q1)=r (9)
Доведення: Очевидно, що P=T-1AT; Q=T-1B. Покажемо, що лінійний підпростір породжений векторами K=(k1,k2,..,kr) збігається з гіперплощиною yr+1=0, yr+2=0,..,yn=0. (10). Запишемо перетворення
Наша гіперплощина (10) збігається з лінійним півпростором K, тоді система (4) має бути такою як описана в теоремі. Тобто, якщомивиберемопочаткову |
умову з гіперплощини (10), то ми там же і залишимося на
цій гіперплощині. Якщо ми виберемо вектор то розв’язок системи (4) початковою умовою (11) має бути: yr+1|t|=0,..,yn|t|=0 для будь-якого t, t t0. Тоді структура матриць повинна бути, як описано в (7) і (8). Вектор y подамо у вигляді | (11), |
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 191; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!