Перехідна та імпульсна перехідна функції лінійних систем керування.

Нехай математична модель керування задана рівнянням n – ого порядку

(1) .

– одновимірний сигнал (функція), яка має багато похідних. – подається на вхід системи. – реакція системи на .

Розглянемо таку одиничну функцію:

(2).

Озн.: Реакція системи (1) на вхідний сигнал (2) називається перехідною функцією системи, якщо до моменту подачі вхідного сигналу система знаходилась у стані спокою. Позначається .

Перехідна функція – це розв’язок такої задачі: (3)-(4): (3). (4).

Озн.: імпульсною перехідною функцією системи (1) називається реакція системи на вхідний сигнал типу одиничного імпульсу, якщо до моменту подачі вхідного сигналу система знаходилась в стані спокою. є розв’язком задачі (5)-(6): (5) (6)

–ф-ія Дірака , (7)

Властивості ф-ї. Дірака:

(8) (9) (10).

δможна подати у вигляді 2х вхідних сигналів, що мають протилежніінтенсивності,тоді

– рівняння Беллмана в диференціальній формі. – крайова умова (записується із вигляду ф-ції S(t,x): .

Зв’язок між вхідним і вихідним сигналами лінійної одновимірної системи керування

Розглянемо одновимірну лінійну систему зі змінними параметрами, яка описується рівнянням

. (2.1)

Нехай система до моменту подачі вхідного сигналу знаходиться в стані спокою. За початок відліку часу виберемо момент подачі вхідного сигналу і початкові умови запишемо у вигляді

. (2.2)

Знайдемо інтегральний зв’язок між вхідним і вихідним сигналами системи (2.1) за умови (2.2).

Нехай лінійно-незалежні розв’язки однорідного рівняння

. (2.3)

З теорії диференціальних рівнянь відомо, що розв’язок неоднорідного рівняння (2.1) за умови (2.2) можна подати у вигляді

, (2.4)

де

, (2.5)

Перетворення Лапласа. Передавальна функція лінійної стаціонарної одновимірної системи керування

Основний зміст інтегральних перетворень, в тому числі й перетворення Лапласа, – це взаємно-однозначний перехід від одного класу функцій (функцій – класу оригіналів) до іншого класу функцій (наприклад, до , який називається класом зображень). Уновому класі суттєво змінюється природа математичних операцій. А саме, інтегрування диференціального рівняння в класі оригіналів може звестися до відшукання коренів алгебраїчного рівняння в класі зображень. Такий перехід забезпечує спрощення відшукання розв’язку початкової задачі.

Означення 3.1Оригіналом (за Лапласом) називається функція (нас цікавитимуть тільки дійсні функції) дійсного аргументу , яка задовольняє умови:

1) – однозначна неперервна або кусково-неперервна функція разом зі своїми похідними до -го порядку на всій числовій осі ;

2) при ;

3) існують такі числа і , що для

(точна нижня межа чисел називається показником росту функції ).

Означення 3.2 (зображення за Лапласом). Зображенням функції-оригінала називається функція комплексної змінної , яка визначається за допомогою інтеграла Лапласа

. (3.1)

Наведемо без доведення наступні теореми.

Теорема 3.1 Якщо функція – оригінал з показником росту , то інтеграл збігається в півплощині , в цій півплощині інтеграл є аналітичною функцією і в цій області .

Теорема 3.2 Якщо функція аналітична в області , у цій області і інтеграл збігається, то функція є зображенням, а її оригінал можна знайти за формулою