Б) Метод интегрирования по частям

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 6Следующая ⇒

При вычислении определённого интеграла будем пользоваться формулой интегрирования по частям в виде

Пример 5. Вычислить интеграл

Положим

Тогда

Рассмотрим одно из определений определённого интеграла.

Пусть функция задана на отрезке и имеет на нём первообразную .

Определение. Разность называют определённым интегралом функции по отрезку и обозначают

. (1)

Здесь называют нижним пределом интегрирования, — верхним пределом.

Функция , стоящая под знаком интеграла, предполагается непрерывной на .

Формулу (1) можно записать в виде:

. (1¢)

Формула (1¢) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она устанавливает связь между неопределённым и определённым интегралами.

Определённый интеграл есть число. Числовое значение определённого интеграла зависит от вида функции , стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1. Вычислить .

При вычислении определённого интеграла удобно пользоваться следующим правилом:

Сначала находят неопределённый интеграл данной функции.

Затем берётся функциональная часть неопределённого интеграла, то есть , и в неё вместо подставляется сначала верхний предел , потом нижний и из первого результата подстановки вычитается второй.

Пример 2. Вычислить .

Находим неопределённый интеграл

Далее по формуле (1) имеем:

Основными методами вычисления определённого интеграла являются метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям, известные по изучению неопределённого интеграла.

А) Метод подстановки

Сущность метода состоит в замене переменной интегрирования другой переменной, связанной с ней какими-либо функциональными соотношениями.

При использовании этого метода для вычисления неопределённых интегралов по окончании операции надо было возвращаться снова к первоначальной переменной, что вызывало иногда довольно большие трудности. Здесь такое возвращение не обязательно и заменяется изменением пределов интегрирования по новой переменной.

Пример 3. Вычислить интеграл .