Основные свойства неопределённого интеграла

1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

2. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

3. Неопределённый интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с некоторой произвольной постоянной.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.

5. Неопределённый интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых.

Таблица интегралов

1. .

2. .

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод интегрирования опирается на таблицу основных интегралов и простейшие правила интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Разделим почленно числитель подынтегральной функции на знаменатель. Применяя свойства интегралов и таблицу интегралов, получим:

Пример 2. Вычислить интеграл .

Возводим числитель в куб и делим почленно на знаменатель. Имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл .

Освободившись от иррациональности в знаменателе, получим:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Запишем единицу, стоящую в числителе, как тригонометрическую. Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям основан на формуле

(1)

которая называется формулой интегрирования по частям.

Применяя этот метод, мы должны вначале представить подынтегральное выражение в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. Пользуясь формулой (1), надо следить, чтобы подынтегральное выражение было не сложнее, чем подынтегральное выражение .

При вычислении можно пользоваться следующими практическими советами. Если подынтегральное выражение представляет собой произведение либо тригонометрической функции на многочлен, либо показательной на многочлен, то за следует принимать этот многочлен.

Если в подынтегральное выражение входит множителем либо одна из обратных тригонометрических функций, либо функция , то за следует выбрать одну из указанных функций.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Положим,

Используя формулу (1), получим

Пример 2. Вычислить интеграл .

Пусть

Имеем:

Полученный интеграл ещё раз интегрируем по частям:

Окончательно получим:

Пример 3. Вычислить интеграл

Интегрируем по частям:

Мы получили интеграл той же сложности, что и исходный. Проинтегрируем его ещё раз по частям:

Отсюда получим

Перенесём интеграл из правой части равенства в левую и найдём его как из уравнения:

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Выполним подстановку , тогда , откуда .

Заданный интеграл преобразуется теперь к табличному

Возвращаясь к первоначальной переменной , получим

Пример 2. Вычислите интеграл .

Сделаем подстановку , тогда .

Интеграл примет вид

При решении этой задачи можно рассуждать иначе. Введём множитель под знак дифференциала, тогда получим

Пример 3. Вычислить интеграл

Запишем интеграл в виде , тогда удобно сделать замену , .

Интеграл примет вид

Замечание 1.

Пусть , тогда

Будем использовать этот результат в дальнейших вычислениях

Например:

Замечание 2.

Если подынтегральное выражение содержит , то удобно применить подстановку или подстановку .

Пример 4. Вычислить интеграл .

Так как под интегралом есть радикал , то сделаем подстановку ; откуда .

Имеем:

Рассмотрим одно из определений определённого интеграла.

Пусть функция задана на отрезке и имеет на нём первообразную .

Определение. Разность называют определённым интегралом функции по отрезку и обозначают

. (1)

Здесь называют нижним пределом интегрирования, — верхним пределом.

Функция , стоящая под знаком интеграла, предполагается непрерывной на .

Формулу (1) можно записать в виде:

. (1¢)

Формула (1¢) называется формулой Ньютона — Лейбница. Она устанавливает связь между неопределённым и определённым интегралами.

Определённый интеграл есть число. Числовое значение определённого интеграла зависит от вида функции , стоящей под знаком интеграла, и от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Пример 1. Вычислить .

При вычислении определённого интеграла удобно пользоваться следующим правилом:

Сначала находят неопределённый интеграл данной функции.

Затем берётся функциональная часть неопределённого интеграла, то есть , и в неё вместо подставляется сначала верхний предел , потом нижний и из первого результата подстановки вычитается второй.

Пример 2. Вычислить .

Находим неопределённый интеграл

Далее по формуле (1) имеем:

Основными методами вычисления определённого интеграла являются метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям, известные по изучению неопределённого интеграла.

А) Метод подстановки

Сущность метода состоит в замене переменной интегрирования другой переменной, связанной с ней какими-либо функциональными соотношениями.

При использовании этого метода для вычисления неопределённых интегралов по окончании операции надо было возвращаться снова к первоначальной переменной, что вызывало иногда довольно большие трудности. Здесь такое возвращение не обязательно и заменяется изменением пределов интегрирования по новой переменной.

Пример 3. Вычислить интеграл .