Задание №2. Цепи однофазного синусоидального тока

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

Задачей расчёта электрической цепи является определение токов в её ветвях, напряжений на участках цепи или потенциалов узлов. При этом задаются: конфигурация цепи, параметры ее элементов и ЭДС, источников. Для расчёта токов в сложных электрических цепях применяются методы уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора.

Теоретические положения

Метод уравнений Кирхгофа

Расчёт линейных электрических цепей методом законов Кирхгофа сводится к решению систем алгебраических уравнений относительно неизвестных токов. Так как число неизвестных токов в заданной схеме равно числу ветвей n этой схемы, то система алгебраических уравнений должна иметь n-й порядок.

Пусть k – число узлов схемы. Из принципа непрерывности токов следует, что число линейно независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно (k-1).Недостающие уравнения, число которых [n-(k-1)], составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, не содержащих источников тока. Контуры являются независимыми, если в каждый из них входит ветвь, не входящая во все остальные.

Рассмотрим на примере расчёт токов в схеме (рисунок 24), которая содержит 6 ветвей, 4 узла и 3 независимых контура. Выберем произвольно направление токов в ветвях и направление обхода независимых контуров. Первые три уравнения (4 - 1 = 3) запишем по первому закону Кирхгофа, а оставшиеся три (6 - 3 = 3) – по второму закону Кирхгофа:

Рисунок 24

Решение полученной системы уравнений дает искомые токи. Если цепь содержит m ветвей с источниками тока, то число неизвестных токов уменьшается до (n-m). По первому закону Кирхгофа число уравнений остается без изменений (k-1), а по второму закону Кирхгофа она соответственно уменьшается на число ветвей с источниками тока [n-(k-1)-m].

Так, для схемы Рисунок 25, содержащей 6 ветвей и один источник тока, необходимо составить три уравнения по первому закону Кирхгофа и два – по второму.

Рисунок 25

Если в результате расчётов какой-либо ток получился отрицательным, это значит, что его действительное направление противоположно выбранному.

К недостатку рассмотренного метода следует отнести высокий порядок системы уравнений для расчёта сложных электрических цепей.

Метод контурных токов

Расчёт разветвлённой цепи может быть сведён к решению всего [n-(k-1)] уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Для этого цепь рассматривается как совокупность независимых соприкасающихся контуров и производится условная замена неизвестных токов в ветвях на токи, протекающие по замкнутым контурам. В уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, вводятся токи в независимых контурах – контурные токи.

Действительные токи в ветвях, принадлежащих только одному контуру, равны соответствующим контурным токам (но могут отличаться от них по направлению). Токи в общих для двух или нескольких контуров ветвях определяются как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. Первый закон Кирхгофа при этом будет выполняться автоматически. Направление контурных токов выбирается произвольно, а обход контуров условимся проводить в направлении контурных токов.

Для цепи с источниками ЭДС система уравнений, составленных для независимых контуров по второму закону Кирхгофа, содержит уравнения типа

где – контурные токи;

– сумма сопротивлений ветвей, образующих независимый m-й контур (контурное сопротивление), ;

– сумма ЭДС этого контура;

Z_mq – сопротивление ветви, общей для m-го и q-контура (сопротивление связи).

Если в общих (смежных) ветвях направления контурных токов совпадают, то сопротивление связи берётся положительным, если токи направлены встречно, то – отрицательным. Контурные сопротивления всегда принимаются положительными.

При записи правой части уравнений ЭДС, направления которых совпадают с принятым направлением контурного тока (обхода), принимаются положительными, а при направленных противоположно – отрицательными.

Запишем систему уравнений по методу контурных токов для схемы Рисунок 26:

Рисунок 26

где

После решения системы уравнений относительно контурных токов находим токи в ветвях:

При наличии ветви с источником тока выбирается дополнительный контур, включающий эту цепь. Уравнение для дополнительного контура не составляется, т.к. контурный ток равен току источника. Падения напряжения на сопротивлениях связи с другими от источника тока (контурного тока) учитываются. Так, для цепи (рисунок 27) система уравнений имеет вид

Рисунок 27

где.

Метод узловых потенциалов

Если в разветвлённой электрической цепи число узловбез единицы меньше, чем число независимых контуров (k-1)<[n-(k-1)], удобно воспользоваться методом узловых потенциалов. Он сводится к составлению и решению системы алгебраических уравнений (k-1)-го порядка относительно неизвестных потенциалов (узловых потенциалов). При этом потенциал одного из узлов схемы полагают равным нулю.

Уравнения с узловыми потенциалами вытекают из первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома.

Уравнения, входящие в систему, являются однотипными и для m-го узла имеют следующий вид:

где – сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в m-ом узле, ;

– проводимость ветви, соединяющей узел m c узлом q. Если между какими-либо узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна нулю;

– ЭДС источников, расположенных в ветви между узлами m или q.

При этом ЭДС, направленные к узлу m (относительно которого составляется уравнение), берутся положительными, а направленные от этого узла – отрицательными.

Составим систему уравнений для схемы Рисунок 28, полагая :

где

Рисунок 28

После определения потенциалов находим токи по закону Ома:

Если ветвь содержит источник тока, то её проводимость равна нулю, т.к. внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности. Если к m-му узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в правую часть уравнения со знаком «плюс», если утекает, то со знаком «минус». Так, для цепи (рисунок 29) система уравнений имеет вид при :

Рисунок 29

Баланс мощностей

В любой электрической цепи по закону сохранения энергии количество вырабатываемой за единицу времени энергии источников должно равняться мощности потребителей:

Р_ист=Р_потр, Q_ист=Q_потр.

Любое нарушение этих соотношений указывает на неточность проведённых вычислений.

Активную и реактивную мощности источников можно найти как действительную и мнимую части полной комплексной мощности источников:

где – сопряженный комплекс тока

Если направление тока совпадает с направлением источника ЭДС, то произведение входит в левую часть равенства со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».

Если электрическая цепь содержит источник тока j, то

где – напряжение на зажимах источника тока.

Активная мощность потребителей:

где I_q – действующее значение тока q-й ветви, содержащей активное сопротивление R_q_.

Реактивная мощность потребителей:

Для индуктивности произведение I²X_L входит в сумму со знаком «плюс», для емкости I²X_c – со знаком «минус».

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 481; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!