Уравнения Максвелла в прямоугольном волноводе. Е–волны в прямоугольном волноводе

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Лекция № 12 - 13.

Направляемые электромагнитные волны в прямоугольном волноводе

Учебные вопросы лекции:

Общие свойства направляемых волн.

Уравнения Максвелла в прямоугольном волноводе. Е–волны в прямоугольном волноводе.

Н–волны в прямоугольном волноводе.

Основные характеристики волны Н10.

Введение

В радиотехнической практике особое значение приобретает задача направленной передачи энергии электромагнитных волн от генератора к потребителю. В качестве основных требований, которые при этом предъявляются, выступают минимум потерь при передаче и максимум передаваемой мощности. Поставленная задача решается с помощью специальных направляющих устройств, носящих название линий передачи. В данном разделе будет рассмотрено несколько типов линий передачи, используемых в диапазоне частот 30 МГц – 30 ГГц, и будут исследованы механизмы распространения в них электромагнитных волн. Основное внимание уделено линиям передачи в виде полых металлических труб, различного поперечного сечения (волноводам) и коаксиальным линиям передачи.

Цель данной лекции является изучение направляемых электромагнитных волн в прямоугольном волноводе.

Общие свойства направляемых волн

В первом вопросе лекции приводится классификация линий передачи и направляемых волн, рассматриваются основные особенности направляемых волн на основе простейшей направляющей системы в виде двух металлических поверхностей.

Направляемыми волнами называют электромагнитные волны, которые могут существовать только при наличии каких-либо направляющих элементов. В частности, как было установлено предыдущей лекции, полностью отражающая поверхность обладает способностью направлять движение электромагнитной энергии. Устройства, основанные на данном явлении называется направляющими системами. Направляющие системы, служащие для передачи электромагнитной энергии от источника (например, генератора) к потребителю (например, антенна), принято называть линиями передачи.

Среди линий передачи различают:

- двухпроводные линии,

- коаксиальный волновод,

- прямоугольный, круглый волноводы, полые волноводы с П-образным или Н-образным поперечным сечением,

- полосковые линии,

- диэлектрический волновод, световод или оптическое волокно (см. 1).

Перечисленные линии передачи разделяют на линии открытого и закрытого типа.

Рис. 1 – Линии передачи

Применение конкретной линии передачи обусловлено частотой и мощностью сигнала, который необходимо передать по линии передачи.

Двухпроводные линии передачи используют на низких частотах (1 Гц – 10 МГц), до тех пор, пока выполняется условие: d << l, где: d – расстояние между проводами. В случае нарушения этого условия часть электромагнитной энергии в двухпроводной линии начинает излучаться в окружающее пространство, что увеличивает потери в линии передачи.

Для предотвращения излучения электромагнитную энергию необходимо сосредоточить внутри линии передачи. С этой целью, переходят к коаксиальной линии передачи (см. рис. 2).

Рис. 2 – Переход от двухпроводной линии к коаксиальной линии

Для фиксации центрального проводника применяют либо сплошное, либо частичное заполнение диэлектриком пространства, между центральным и внешним проводами. В качестве линий передачи коаксиальные линии используются в диапазоне от 10МГц до 3 ГГц. На больших частотах использование коаксиальных линий становится нецелесообразным из-за недопустимо большого затухания электромагнитной волны в диэлектрическом заполнении.

На частотах более 3ГГц в качестве линий передачи используют полые металлические волноводы (прямоугольные, круглые или произвольного сечения). Потери сигнала в них существенно меньше, чем в коаксиальных линиях вследствие отсутствия центрального проводника и диэлектрического заполнения. На частотах более 10 – 15 ГГц волноводы мало пригодны из-за сложности технологии изготовления и роста потерь, связанного с поверхностным эффектом.

В оптическом диапазоне в качестве линий передачи используют диэлектрические волноводы или световоды, в которых применяют особо чистые от примесей материалы для уменьшения потерь.

Рассмотрим основные свойства направляемых электромагнитных волн. Выпишем уравнения для электрического поля в случае наклонного падения плоской волны на идеально проводящую среду:

Напомним: k×sinj = b – есть постоянная распространения волны вдоль оси y; k×cosj = g – есть волновое число стоячей волны вдоль оси z (поперечное волновое число).

Изобразим распределение амплитуды электрического поля Е₁ над проводящей поверхностью (см. рис. 3).

Рис. 3 – Распределение амплитуды электрического поля над проводящей поверхностью

Мысленно построим ряд идеально проводящих плоскостей, параллельных отражающей плоскости и находящихся от нее на расстояниях:

, n = 1,2,3,…

В каждой из таких плоскостей: Е₁ = 0, т.е. выполняются граничные условия. Следовательно, можно перейти, таким образом, к направляющей системе, образованной двумя параллельными идеально проводящими плоскостями (см. рис. 4).

Рис. 4 – Направляющая система в виде двух идеально проводящих поверхностей

Обозначим через а расстояние между плоскостями, тогда из условия определяем: . Найдем сумму .

Отсюда:

где: - постоянная распространения волны в неограниченном пространстве, b - постоянная распространения волны в направляющей системе, образованной параллельными проводящими плоскостями.

Проанализируем полученный результат:

- если k > g, то b имеет вещественное значение. Уравнение электрического поля в этом случае примет вид:

т.е. является уравнением бегущей волны вдоль оси y с постоянной распространения b.

- если к < g, то b получается мнимым. Уравнение электрического поля примет вид:

,

т.е. является уравнением экспоненциально затухающей вдоль оси y волны.

- граничный случай возникает когда k = g, или:

, отсюда: или .

Длина волны или частота, отвечающая этому условию, называется критической:

или ,

где: с – скорость света, n = 1,2,3,…

Если l_раб < l_кр (f_раб > f_кр) – то электромагнитный процесс распространяется в направляющей системе в виде бегущей волны. Если l_раб > l_раб (f_раб < f_кр), то электромагнитный процесс затухает, распространения волны в направляющей системе не происходит.

Рассмотрим связь между углом падения j и условием распространения направляемой параллельными плоскостями волны.

Так как , то отсюда: .

Из этого выражения видно, что с увеличением l, cosj приближается к 1 и становится равным ей при:

или ,

т.е. при критической длине волне. Это означает, что распространение направляемой волны прекращается, когда угол j = 0 (сosj = 1), т.е. когда исходная плоская волна Е⁰ падает на проводящую поверхность перпендикулярно. Проиллюстрируем сказанное рис. 5.

Рис. 5 - Распространение волны между проводящими плоскостями

В заключение излагаемого вопроса рассмотрим классификацию направляемых волн. Направляемые волны различают по наличию продольных составляющих (т.е. составляющих совпадающих с направлением распространения волны) напряженностей электрических и магнитных полей.

Поперечными (или ТЕМ волнами) называются волны, у которых в продольном направлении (т.е. в направлении распространения волны) отсутствуют составляющие векторов и . Существуют только поперечные составляющие векторов и .

Электрическими (или Е–волнами) называются волны, у которых в продольном направлении существует только составляющая вектора , а в поперечном направлении существуют составляющие как так и .

Магнитными (или Н–волнами) называются волны, у которых в продольном направлении существует только составляющая вектора , в поперечном направлении существуют обе составляющие электромагнитного поля.

Смешанными (или гибридными) называются волны, у которых векторы и имеют как продольные так и поперечные составляющие.

Если предположить, что направление распространения волны в направляющей системе совпадает с осью z в прямоугольной системе координат, то для рассмотренных выше типов волн справедливы следующие выражения:

Тип волны:
ТЕМ–волна	E_z = 0, H_z = 0, E_x ¹ 0, H_x ¹ 0, E_y ¹ 0, H_y ¹ 0
Е–волна	E_z ¹ 0, H_z = 0, E_x ¹ 0, H_x ¹ 0, E_y ¹ 0, H_y ¹ 0
H–волна	E_z = 0, H_z ¹ 0, E_x ¹ 0, H_x ¹ 0, E_y ¹ 0, H_y ¹ 0
Гибридные волны	E_z ¹ 0, H_z ¹ 0, E_x ¹ 0, H_x ¹ 0, E_y ¹ 0, H_y ¹ 0

Уравнения Максвелла в прямоугольном волноводе. Е–волны в прямоугольном волноводе

В этом вопросе на основе уравнений Максвелла определяются составляющие электромагнитного поля в прямоугольном волноводе для направляемых волн, изучаются основные свойства и структура Е–волн в прямоугольном волноводе.

Полая металлическая труба прямоугольного поперечного сечения называется прямоугольным волноводом. Теоретически задача о распространении электромагнитных волн в полых волноводах впервые рассмотрена еще в 1897 г. английским физиком Дж. Рэлеем. Обозначим размер широкой стенки через a, узкой стенки через b (см. рис.6).

Рис. 6 – Прямоугольный волновод

Пусть волновод заполнен однородным изотропным диэлектриком без потерь (s = 0). Сторонние токи отсутствуют, тогда 1-ое и 2-ое уравнение Максвелла примут вид:

Раскроем операцию rot в прямоугольной системе координат, тогда:

, . (1)

Выберем в качестве направления распространения волны ось z. Тогда все составляющие векторов и можно представить в следующем виде:

. (2)

где: b – постоянная распространения волны в прямоугольном волноводе.

Подставив (2) в (1) получим:

Анализ полученных уравнений показывает, что все поперечные составляющие (т.е. Е_х, Е_y, Н_х и Н_y) можно выразить через продольные (т.е. Е_z и Н_z). Для примера, представим поперечную составляющую Е_хm через продольные составляющие Е_z и Н_z, для этого уравнение 5 подставим в уравнение 1:

где: w²e_am_a – есть k², постоянная распространения электромагнитных волн в неограниченном пространстве.

Аналогичным образом, преобразуя оставшиеся уравнения, получим:

(3)

(4)

Полученные уравнения характеризуют составляющие электромагнитного поля в прямоугольном волноводе для направляемой волны. Несложно с помощью этих уравнений определить, какие типы направляемых волн могут существовать в прямоугольном волноводе. Так, направляемая волна ТЕМ – типа (поперечная волна) в прямоугольном волноводе существовать не может. Действительно, для такой волны по определению Е_z = Н_z = 0, тогда из (3) и (4) следует, что все остальные составляющие тоже будут равны нулю. Волны же Е– и Н–типа могут распространяться в прямоугольном волноводе, поскольку сохраняется существование составляющих электромагнитного поля в волноводе.

Рассмотрим более подробно распространение в прямоугольном волноводе волн Е–типа (электрических волн). Согласно определению для этих волн Н_z = 0, остальные составляющие не равны нулю. Тогда из (3) и (4) имеем:

(5)

Из системы уравнений (5) видно, что определив лишь Е_zm мы сможем определить и все остальные составляющие поля. Определим эту составляющую, для чего подставим ур.1 и ур.2 в ур.5 системы уравнений (5). В результате получим:

Введем обозначение:

. (6)

g - носит название поперечного волнового числа. Тогда окончательно:

, (7)

где: - поперечный оператор Лапласа.

Решение этого дифференциального уравнения производят методом разделения переменных (метод Фурье). В результате общее решение дифференциального уравнения (7) принимает вид:

где: А, В, С, D, g₁, g₂ – некие константы.

Определим значения этих констант, используя граничные условия: касательная составляющая электрического поля на стенках волновода (т.е. на границе с идеальным проводником) должна быть равна 0, т.е.

Е_ym = 0 при х = 0 и при х = а,

Е_xm = 0 при y = 0 и при y = b.

Из уравнений (5) следует, что выполнение указанных условий необходимо, чтобы Е_zm было равно нулю при х = 0 и х = а, и при y = 0 и у = b.

Рассматривая граничные условия при х = 0 и при х = а получаем:

при х = 0, ,

при х = а, .

Для выполнения этих равенств при любом значении координаты у необходимо потребовать, чтобы:

.

Отсюда непосредственно определяем:

g₁а = mp или , m = 0, 1, 2, 3…

Налагаем граничные условия при y = 0 и у = b:

при y = 0, ,

при y = b, .

Для выполнения этих равенств при любом значении координаты у необходимо потребовать чтобы:

Отсюда: g₂b = np или , n = 0, 1, 2…

Таким образом, амплитудное значение продольной составляющей электрической поля равно:

. (8)

где: Е₀ = ВD – амплитуда продольной составляющей электрического поля.

Определим теперь поперечное волновое число g, подставив (8) в (7):

Отсюда:

(9)

При известной амплитудной составляющей Е_zm с помощью уравнений (5) и (2) определяем все остальные действующие значения составляющих рассматриваемой электромагнитной волны.

(10)

Уравнения (10) определяют все составляющие электромагнитного поля для электрической волны (Е – волна) в прямоугольном волноводе.

Проведем анализ полученных уравнений с целью выяснения физической картины направляемых волн Е – типа.

1) Направляемая волна Е – типа распространяется по волноводу вдоль оси z с постоянной распространения b. Каждой паре чисел m и n соответствуют свои составляющие поля и следовательно своя, строго определенная структура электромагнитного поля, которая обозначается как Е_mn.

Задав значения m и n можно задать соответственно тип электрической волныЕ_mn. Из (10) видно, что m – равно числу полуволн, укладывающихся вдоль широкой стенки длиной а; n – равно числу полуволн, укладывающихся вдоль узкой стенки длиной b.

Обратим внимание на то, что, если m = 0 или n = 0, то составляющая Е_zобращается в ноль, а это приводит к тому, что и все остальные составляющие тоже будут равны нулю. Следовательно, волны типа Е_0n, Е_m0 существовать не могут. Простейшим типом волны Е будет является волна Е₁₁. На основании системы уравнений (10) изобразим структуру некоторых E_mn волн в прямоугольном волноводе (см. рис. 7).

Рис. 7 – Структура некоторых Е_mn волн в прямоугольном волноводе

Для того, чтобы научится правильно изображать структуру полей Е–волн, следует придерживаться следующих положений:

- волна обладает продольной составляющей E_z, линии векторов и взаимно перпендикулярны, магнитные силовые линии имеют вид замкнутых петель;

- должны соблюдаться граничные условия у стенок волновода (E_t = 0), поэтому линии вектора напряженности электрического поля перпендикулярны стенкам волновода, тогда как магнитные силовые линии касательны к стенкам волновода;

- что число m определяет число стоячих полуволн по ширине волновода (по оси х), а число n – число стоячих полуволн по длине волновода (по оси у).

2) Определим постоянную распространения b для волн Е _mn. Так как:

, то

Если k² > g², то b – будет вещественным числом, а это означает, что колебания данного типа Е_mn будут распространяться в виде бегущих волн вдоль оси z (поскольку фазовый множитель принимает значение е^j(^w^t^–^b^z)).

Если k²< g², то b – будет мнимым числом, фазовый множитель принимает значение е^j^[^w^t^{– (-}^j^b^)z] = e^-^b^ze^j^w^t, это означает, что все составляющие поля экспоненциально затухают. Волна в данном случае по волноводу не распространяется.

Граничный случай возникает когда k² = g², или:

. (11)

Длину волны, соответствующую этому случаю называют критической длиной волны колебания с индексом m и n в прямоугольном волноводе. Из (11) получим

. (12)

Несложно сформулировать выводы из полученного выражения:

a. l_кр определяется только геометрическими размерами прямоугольного волновода;

b. Если l_раб < l_{кр mn}, то волна Е_mn распространяется по прямоугольному волноводу. Если l_раб ³ l_крmn, то электромагнитный процесс экспоненциально затухает вдоль прямоугольного волновода;

c. При заданных геометрических размерах а и bпо прямоугольному волноводу в принципе могут одновременно распространяться волны типов Е₁₁, Е₁₂, Е₂₁, Е₂₂ … и т.д., лишь бы выполнялось условие l_раб < l_кр для того или иного типа волны Е_mn.

3) По аналогии с постоянной распространения в неограниченном пространстве k = 2p/l, представим постоянную распространения в прямоугольном волноводе b в виде:

где: l_в – длина волны в прямоугольном волноводе.

Тогда из (6) имеем:

Поскольку из уравнения (12) , то получаем:

Отсюда:

. (13)

На основании (13) сформулируем выводы:

a. Длина волны в прямоугольном волноводе каждого типа волны, определяемая индексами m и n, будет разной, поскольку различной будет l_кр_.

b. Длина волны в прямоугольном волноводе l_в всегда больше длины волны в свободном пространстве l. Это связано с тем, что фазовая скорость электромагнитной волны в прямоугольном волноводе больше чем фазовая скорость этой же волны в свободном пространстве, как будет показано ниже.

4). Определим фазовую и групповую скорость электромагнитной волны Е – типа в прямоугольном волноводе.

Фазовой скоростью V_ф называется скорость перемещения фазового фронта волны вдоль направления распространения волны.

Групповой скоростью V_гр называется скорость переноса энергии (мощности) волны вдоль направления распространения волны.

Для определения V_ф и V_гр воспользуемся рисунком 8.

Рис. 8 – К определению фазовой и групповой скорости волны в прямоугольном волноводе

Выделим на луче участок АВ равный l (т.е. длине волны в свободном пространстве). Если волновод заполнен воздухом, то волна пройдет участок АВ = l за некоторый промежуток времени t со скоростью, соответствующей перемещению фазового фронта, из т.А в т.В. Очевидно, что эта скорость равна с – скорости света:

отсюда: . За этот же промежуток времени t вдоль оси z (т.е. направления распространения волны в прямоугольном волноводе) фазовый фронт пройдет расстояние l₁. Отсюда, V_ф в прямоугольном волноводе есть: V_ф = . Из рис. 8 несложно определить l₁ = . Тогда:

. (14)

Поскольку угол падения j изменяется в пределах от 0 до 90⁰, то видно, что V_ф в прямоугольном волноводе всегда больше скорости света. Кажущийся парадокс, поскольку из теории относительности следует, что ничего не может двигаться больше скорости света, объясняется просто. Утверждение о пределе скорости относится лишь к движению материальных объектов или энергии. В противоположность этому, V_ф является скоростью перемещения в пространстве некоторой воображаемой поверхности – плоскости равных фаз.

Представим (14) в более общем виде. Фазовая скорость волны в свободном пространстве определялась как:

где: k – постоянная распространения волны в неограниченном пространстве.

По аналогии, определим V_фв прямоугольном волноводе как:

где: b - постоянная распространения волны в прямоугольном волноводе.

Или:

. (15)

Определим теперь групповую скорость волны Е–типа в прямоугольном волноводе. Вновь вернемся к рис. 8, мысленно поместив в точку А некоторое материальное тело, которое перемещается волной в точку В за время t. Путь пройденный этим телом вдоль оси z составит l₂ (см. рис. 8). Тогда групповая скорость:

, (16)

то есть V_гр оказывается всегда меньше скорости света, что, в общем-то, и следовало ожидать, поскольку групповая скорость электромагнитной волны характеризует скорость переноса энергии в волноводе (в качестве ее механической аналогии выступало некое воображаемое материальное тело).

Из (14) и (16) следует очень важное соотношение между V_ф и V_гр:

, (17)

отсюда: . (18)

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 3697; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!