Формула Колосова-Мусхелишвили для перемещений

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

(171)

где для случая ПДС – плоское деформированное состояние

(172)

А для случая ПНС – плоское напряженное состояние, когда вместо , мы подставляем и константа принимает вид

(173)

Рассмотрим теперь граничные условия

Надо учесть, что

(174)

Мы получаем

(175)

В комплексной форме

(176)

Обозначим через главный вектор сил, действующих на кривую АВ

(177)

Определим главный момент сил относительно начала координат

(178)

Учтем, что

(179)

И получим

(180)

Лекция 12. Многосвязные области в плоской задаче теории упругости.

Рассмотрим многосвязную область , с границей

Согласно первой из формул Колосова-Мусхелишвили действительная часть определена однозначно, а вот комплексная может давать приращение значения при обходе по замкнутому контуру.

Пусть при обходе контура функция прирастает на величину , где

Тогда компенсировать эти приращения и приравнять все однозначной голоморфной функции можно, введя для удобства еще одну постоянную ,

(181)

при обходе контура как раз прирастает на . Следовательно

(182)

Интегрируя, получаем

(183)

может иметь при обходе контура приращение вида , где множитель в силу произвольности приращения введен для удобства дальнейших выкладок.

Тогда с помощью еще одной однозначной голоморфной функции получим

(184)

Следовательно, внося (184) в (183) и собирая вместе часть слагаемых, получим

(185)

где

Теперь, согласно второй формуле Колосова-Мусхелишвили

- однозначная голоморфная функция, тогда

(186)

Аналогично предыдущим рассуждениям получаем

(187)

Теперь рассмотрим условие однозначности смещений на основе третьей формулы Колосова-Мусхелишвили

(188)

Откуда

(189)

Необходимые еще два уравнения для определения всех констант получим из вычислений значения главного вектора сил на контуре

(190)

На основании формул (183) и (186) мы получим

(191)

Откуда

(192)

Из соотношений (189) и (192) окончательно получаем

(193)

В итоге получаем

	(194)
	(195)

Если контур лежит в бесконечности, то мы всегда можем найти контур радиуса R, внутри которого лежат все m контуров . Вне этого общего контура разложим логарифм в ряд: