Массовые и поверхностные силы.

Nbsp;  

Лекции по Механике сплошной среды

Е полугодие.

 

 

черновик

 

 

2018

 

 

Оглавление

 

Лекция 1. Введение. 4

Краткая структура курса. 4

Лекция 2. Термодинамический подход в теории определяющих соотношений. 4

Мощность работы внешних сил. 4

Массовые и поверхностные силы. 4

Постулат Коши. 4

Фундаментальная лемма Коши. 4

Теорема живых сил. 5

Мощность работы внутренних поверхностных сил. 5

Энергетические пары. 5

Скорость притока тепла. 6

Постулат Фурье. 6

Лемма Фурье. 6

Первый закон термодинамики. 7

Скорость нетепловой энергии. 7

Уравнение энергии. 7

Внутренняя энергия. 7

Уравнение притока тепла. 7

Параметры состояния системы. 7

Пара - напряжения и деформации. 7

Пара – температура и энтропия. 8

Второе начало термодинамики. 8

Неравенство Клаузиуса-Дюгема. 8

Свободная энергия. 8

Лекция 3. Нелинейная теория упругости. 9

Энергетические пары. 9

Смысл тензора напряжений Пиолы.. 10

Симметричные тензоры деформации. 11

Лекция 4. Нелинейная теория упругости. 13

Теорема Гамильтона-Кэлли. 13

Лекция 5. Линейная теория упругости. 16

Лекция 6. Криволинейные системы координат. 22

Символы Кристоффеля. Дифференцирование вектора и тензора. 22

Цилиндрическая система координат. 24

Лекция 7. Одномерные задачи. 25

Физические компоненты тензора. 26

Одномерная задача о раздувании трубы.. 26

Одномерная задача о вращающемся диске. 27

Лекция 8. Антиплоская задача теории упругости. 28

Кручение цилиндрических стержней. 28

Решение для цилиндра круглого поперечного сечения. 29

Решение для цилиндра эллиптического сечения. 30

Мембранная аналогия. 31

Лекция 9. Изгиб балки. 33

Принцип Сен-Венана. 33

Лекция 10. Плоские задачи теории упругости. 38

Плоское деформированное состояние. 38

Где реализуется плоское деформированное состояние. 38

Плоское напряженное состояние. 38

Где реализуется плоское напряженное состояние. 38

Лекция 11. Формулы Гурса и Колосова-Мусхелишвили. 38

Формула Гурса. 38

Формулы Колосова-Мусхелишвили для напряжений. 39

Формула Колосова-Мусхелишвили для перемещений. 40

Лекция 12. Многосвязные области в плоской задаче теории упругости. 41

Лекция 13. Решение основных плоских задач теории упругости. 43

Задача о растяжении пластины с эллиптическим отверстием. 43

Задача о трещине. 43

Лекция 14. Решение задачи об упругой полуплоскости. 44

Лекция 15. Вариационные принципы. 50

Лекция 16. Выпуклость функционалов. 54

Лекция 17. Устойчивость упругих систем. 56

Лекция 18. Решение задачи теории упругости в форме Папковича-Нейбера. 61

Литература. 71

 

Лекция 1. Введение

Краткая структура курса.

Основной целью курса является демонстрация подходов к постановке краевой задачи на основе построения определяющих соотношений для рассматриваемой среды.

Важно показать, как строятся определяющие соотношения на основе термодинамического подхода.

В этом полугодии мы будем рассматривать модели твердых тел. Основным отличием твердого тела от жидкости или газа является наличие касательных напряжений не только в динамике, но и в статике. Именно твердое тело в состоянии равновесия будет нашим основным объектом исследования.

Мы рассмотрим как случаи обратимых, так и необратимых деформаций. Приведем примеры одномерных, двумерных и трехмерных упругих, пластических, реологических моделей твердого тела. Неоднозначность положений равновесия в рамках потери устойчивости упругого стержня и неустойчивость процесса ползучести реологической среды.

Лекция 2. Термодинамический подход в теории определяющих соотношений.

Мощность работы внешних сил

Введем пространственную систему координат.Рассмотрим движение либо равновесие некоего ограниченного (индивидуального) объема среды в пространстве, то есть тела, состоящего из неизменного количества частиц материи.

Рассмотрим такие виды внешних воздействий на среду как силовое, тепловое и повреждающее. То есть мы будем совершать над телом работу, передавать ему тепло и задавать процессы накопления повреждений. Каждый из этих процессов как причина приводит к некоторому набору следствий. Например, сила  и напряжения связаны с перемещениями и деформациями, приток тепла,изменяющий меру нагретости тела –температуру приводит к изменению энтропии, а росту меры поврежденности материала к росту структурной энтропии.

В целом все эти процессы взаимосвязаны и упорядочены основными термодинамическими законами.

Массовые и поверхностные силы.

Силы делятся на массовые и поверхностные

,

(1)

Плотность поверхностных сил зависит от координаты точки элемента поверхности и его нормали.

Постулат Коши – вектор напряжений идентичен в данной точке для разных поверхностей с одинаковой нормалью

(2)

Фундаментальная лемма Коши о нечетности вектора напряжений относительно нормали

(3)

Из (2) и (3) следует Фундаментальная теорема Коши:

Если - непрерывная функция по , то существует такое тензорное поле , что

(4)

Где - вектор усилий на площадке . В случае отсутствия собственного момента среды, массовых и поверхностных моментов тензор напряжений Коши симметричен.

Мощность работы внешних сил определяетсяв инерциальной системе отсчета следующим образом

,

(5)

Теорема живых сил.

, общий вид уравнения движения

(6)

Умножим уравнение (6) скалярно на и проинтегрируем по некому индивидуальному объему . Мы получим следующее равенство

(7)

Преобразуя (7) по формуле Гаусса-Остроградского и используя лемму о выносе производной по времени из-под интеграла, получаем скорость изменения кинетической энергии

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 397; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!