Связь между тригонометрическими функциями

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора

Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. То есть стороны a (ВС) и b (АС) – катеты. Сторона, которая лежит напротив прямого угла (то есть сторона c, или АВ) – гипотенуза. Теорема Пифагора:

(квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

Пример: Определить высоту дома, ширина фасада которого равна 8м, высота от фундамента до крыши 4м, длина ската крыши 5м.

Решение: Проведем линию от вершины крыши вниз, получим прямоугольный треугльник. У него гипотенуза 5м, один из катетов (нижний) 4м (половина ширины фасада). По теореме Пифагора найдем второй катет: , 5²=4²+х², получим х=3, значит, высота крыши 3м, а высота дома 4+3=7м

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом будет сторона ВС (сторона, которой не касается дужка угла), значит,

Можно писать

Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла А прилежащим катетом будет сторона АС (сторона, которой касается дужка угла), значит,

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему: .

Котангенс угла – это отношение прилежащего катета к противолежащему: .

Синус, косинус, тангенс и котангенс называются тригонометрическими функциями.

Пример:В треугольнике АВС угол С прямой, АВ=20см, АС=12 см и ВС=16 см. Найти синус угла В.

Решение: Для угла В противолежащим катетом будет АС,

Нахождение одной тригонометрической функции через другую

Как найти одну тригонометрическую функцию по другой (тангенс по синусу или косинусу и т.д.)

Найти

, если

1) Представляем заданную величину в виде простой дроби. 2) Рисуем прямоугольный треугольник, отмечаем дужкой любой острый угол и подписываем стороны, равные числителю и знаменателю дроби – по определению заданной тригонометрической функции

косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значит, 10 – гипотенуза, 8 – прилежащий катет

3) По теореме Пифагора находим третью сторону

, значит, х=6

4) По треугольнику находим нужную тригонометрическую функцию

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, значит,

4. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы для «хороших» углов:

Угол в градусах

Запоминать надо только значения синусов. Значения косинусов пишутся «наоборот» - справа налево. Значения тангенса можно получить, если синус разделить на косинус; котангенса – если косинус разделить на синус.

Если значения синусов никак не запомнить, можно поступить так: во всех клетках таблицы нарисовать дроби со знаменателем 2, а в числителе – корни из чисел 0,1,2,3,4: