Оцінка невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
Тема № 1 Методи побудови моделей парної лінійної регресії.
Зміст.
1. Загальне поняття про модель парної лінійної регресії.
2. Оцінка невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
3. Вираження невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії через числові характеристики показника та фактора.
4. Оцінка щільності взаємоз язку між показником та фактором. Коефіцієнт кореляції. Властивості.
5. Оцінка щільності взаємозв язку між показником та фактором та перевірка побудованої моделі парної лінійної регресії на адекватність реальній дійсності. Коефіцієнт детермінації та індекс кореляції. Властивості.
6. Перевірка побудованої моделі парної лінійної регресії на адекватність реальній дійсності за F- критерієм Фішера.
7. Вивчення відсоткового впливу фактора на показник. Коефіцієнт еластичності.
8. Оцінка статистичної важливості невідомих параметрів побудованої моделі парної лінійної регресії та побудова для них інтервалів довіри.
9. Моделі нелінійної парної регресії та методи їх зведення до лінійного вигляду.
Загальне поняття про модель парної лінійної регресії.
Економетрія – фундаментальна економіко-математична дисципліна, яка на основі статистичних даних про соціально-економічні явища та процеси вивчає методику побудови економетричних моделей. За допомогою цих моделей відображаються кількісні зв'язки, закономірності розвитку, динаміка розглядуваних процесів в економічному просторі. Побудова цих моделей здійснюється з метою прогнозування, аналізу взаємного впливу явищ та прийняття оптимальних управлінських рішень. Об'єктами при побудові економетричних моделей є економічні показники які характеризують досліджувані соціально-економічні явища та процеси та фактори що впливають на показник.
|
|
|
В задачах економетрії необхідно на основі статистичних даних побудувати математичну форму закону зміни одного явища під впливом іншого і провести відповідне її дослідження. Цю математичну форму і називають економетричною моделлю.
Найбільш простими і вживаними економетричними моделями є моделі парної лінійної регресії.
Моделлю парної лінійної регресії називають модель. Яка встановлює лінійну залежність між двома змінними. При цьому одну із змінних називають залежною 
(показник) і розглядають як лінійну функцію від іншої змінної 
, яку називають незалежною (фактор).У загальному модель парної лінійної регресії записують так:
(1),
тут - показник, вектор спостережень за залежною змінною 
- кількість спостережень, - фактор, вектор спостережень за незалежною змінною 
,
|
|
|
- невідомі параметри моделі,відшукання (оцінка) яких є основним завданням процесу побудови моделей парної лінійної регресії, 
- випадкова величина, вектор спостережень вигляду 
.
Модель (1) прийнято розглядати як суму двох складових:
1. 
- регресія – характеризує середнє (розрахункове) значення показника для заданого значення фактора, 
.
2. 
-з моделі (1), або 
- відхилення статистичних даних показника від його розрахункових значень.
Оскільки, основним завданням побудови моделей парної лінійної регресії є оцінка їх невідомих параметрів, то, для означення критерію а. отже, і методу знаходження розглянемо геометричну інтерпретацію кожної із складових моделі (1)(рис.1).
1. Кожна пара значень незалежної і залежної змінних задається в декартовій системі координат точкою 
.
2. Регресія задає сукупність прямих , що проходять через точки 
.
3. 
- ордината точки перетину прямої з віссю 
і називають даний параметр перетином регресії.
4. 
- тангенс кута нахилу 
прямої до осі 
і називають даний параметр нахилом регресії.
5. - відстань між точками та : 
.
|
|
|
Виходячи з цього для знаходження параметрів парної лінійної регресії в декартовій системі координат серед прямих необхідно знайти таку, яка б найкращим чином проходить через множину точок . Досягається це шляхом мінімізації суми квадратів відхилень статистичних даних показника від його розрахункових значень 
. Цей критерій і покладено в основу методу оцінки невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії – методу найменших квадратів.
|
|
Оцінка невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії методом найменших квадратів.
Для побудови моделі парної лінійної регресії необхідно оцінити невідомі параметри . Як було зазначено вище з цією метою в економетрії застосовується метод найменших квадратів. Суть даного методу полягає в тому, що невідомі параметри моделі парної лінійної регресії шукають так, щоб сума квадратів відхилень статистичних даних показника від його розрахункових значень була мінімальною, тобто .
Іншими словами, за методом найменших квадратів параметри моделі парної лінійної регресії шукають як точку мінімуму функції:
Знайдемо мінімум даної функції застосувавши необхідну і достатню умови існування мінімуму функції двох змінних.
|
|
|
Необхідною умовою існування мінімуму функції 
є рівність нулю частинних похідних першого порядку цієї функції по 
. Застосування передбачає:
- знайти частинні похідні першого порядку функції по :
,
;
- прирівняти до нуля і об'єднати в систему одержані похідні:
;
- розв'язати систему і одержати екстремальну точку (точку підозрілу на мінімум: а саме
- розкриємо дужки і одержимо,поділивши кожне з рівнянь на -2:
 |
Дана система рівнянь має єдиний розв'язок, тобто:
- з першого рівняння системи можна знайти
(2)
- підставляючи формулу (2) у друге рівняння системи одержуємо
(3).
Таким чином одержали єдину екстремальну точку. Доведемо, що вона є точкою мінімуму функції . Достатньою умовою існування точки мінімуму функції двох змінних в екстремальній точці є додатне значення визначника 
, причому, якщо 
, то в точці 
існує мінімум.
Для одержання визначника 
знайдемо частинні похідні другого порядку:
, 
.Тоді, 
.Оскільки 
, то точка є точкою мінімуму функції . Звідси випливає, що оцінки параметрів моделі (1) є такими оцінками, для яких виконується умова 
Таким чином, при побудові моделі парної лінійної регресії за методом найменших квадратів, достатньо застосувати формули (2), (3).
Приклад 1.
Бюро економічного аналізу фабрики «Світоч» оцінює ефективність роботи відділу маркетингу з продажу цукерок. Для такої оцінки досліджується досвід праці у 5 географічних зонах. Протягом однакового періоду часу у цих зонах зафіксовано обсяги продажу цукерок (млн.. коробок) та витрати фірми на рекламу для просування товару на ринку (млн.. грн..). Припускається, що між цими показниками існує лінійна залежність .На основі умовної статистичної інформації визначити який з показників є залежною, а який залежною змінною та знайти параметри залежності методом найменших квадратів.
| Зони | Обсяг продажу цукерок(млн. .коробок), 
| Витрати на рекламу
(млн.. грн.), 
| 
| 
|
| 1 | 25 | 5 | 125 | 25 |
| 2 | 30 | 6 | 180 | 36 |
| 3 | 35 | 9 | 315 | 81 |
| 4 | 45 | 12 | 540 | 144 |
| 5 | 65 | 18 | 1170 | 324 |
| 200 | 50 | 2330 | 610 |
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 406; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!