Вираження невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії через числові характеристики показника та фактора.
Оцінку невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії можна здійснювати використовуючи числові характеристики показника та фактора. Методика такої оцінки базується на перетворенні формул (2), (3) методу найменших квадратів оцінки невідомих параметрів 
моделі 
. А саме, розглянемо формулу (3):
.
Перетворимо її помноживши кожен доданок чисельника і знаменника цієї формули на величину 
. Одержимо
.
Величина в чисельнику одержаної формули є коефіцієнтом коваріації змінних 
-
, а в знаменнику - дисперсія змінної 
- 
. Отже, параметр 
дорівнює відношенню коефіцієнта коваріації змінних до дисперсії змінної
(4).
Перетворимо формулу (2) методу найменших квадратів поділивши поелементно чисельник на знаменник. Одержимо:
(5)
Отже, параметр 
визначається через середні арифметичні значення показника і фактора. Розглянутий метод оцінки невідомих параметрів моделі парної лінійної регресії називають методом числових характеристик показника і фактора.
Приклад 2.
На основі умовних статистичних даних про склад сімей та витрат їх на відпустку визначити яка із змінних є залежною, а яка незалежною; заповнити пропуски в таблиці; побудувати модель парної лінійної регресії .
Склад сімей (чол.), 
| Витрати на відпустку
(гр. од.), 
| 
| 
| 
| 
|
| 1 | 17 | -2 | 4 | -3 | 6 |
| 2 | 11 | -1 | 1 | -9 | 9 |
| 2 | 23 | -1 | 1 | 3 | -3 |
| 4 | 19 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| 6 | 30 | 3 | 9 | 10 | 30 |
| 100 | - | 16 | - | 41 |
|
|
|
, 
,
4. Оцінка щільності взаємозв язку між показником та фактором. Коефіцієнт кореляції. Властивості.
Після побудови моделі парної лінійної регресії необхідно провести її дослідження. Починають його з оцінки щільності взаємозв'язку між показником і фактором та його типу.. Дана перевірка проводиться з метою встановлення:
- взагалі існування такого взаємозв'язку;
- щільності такого взаємозв'язку, тобто на скільки тісним і важливим є взаємозв'язок, а, отже, і вплив обраного фактора на показник 
;
- типу такого взаємозв'язку, тобто яким буде напрямок зміни показника відносно відповідного напрямку зміни фактора .
Кількісним критерієм такої перевірки є коефіцієнт кореляції. На основі аналізу його значення та властивостей і роблять відповідний висновок про щільність взаємозв'язку між показником і фактором та його тип.
Коефіцієнтом кореляції, розрахованим для значень показника і фактора називають величину
(6)
Перші дві частини даної формули характеризують визначення коефіцієнта кореляції на основі числових характеристик показника і фактора, дві наступні частини – визначення даного коефіцієнта на основі статистичних даних показника і фактора.
|
|
|
Властивості коефіцієнта кореляції.
1. Коефіцієнт кореляції приймає значення в межах від мінус одиниці до одиниці включно: 
.
2. Якщо значення коефіцієнта кореляції по абсолютній величині прямує до одиниці або дорівнює одиниці, 
, то говорять, що між показником і фактором існує тісна кореляційна залежність, тобто, вплив фактора на показник є важливим.
3. Якщо значення коефіцієнта кореляції по абсолютній величині прямує до нуля, 
, то, говорять, що між показником і фактором існує слабка кореляційна залежність, тобто, вплив фактора на показник є мало важливим.
4. Якщо коефіцієнт кореляції приймає нульове значення, 
, то, говорять, що між показником і фактором не існує кореляційної залежності.
5. Коефіцієнт кореляції приймає додатне значення тоді і тільки тоді, коли і параметр приймає додатне значення, і тоді говорять, що між показником і фактором існує пряма кореляційна залежність, тобто, при збільшенні значення фактора збільшуватиметься і значення показника та навпаки.
6. Коефіцієнт кореляції приймає від'ємне значення тоді і тільки тоді, коли і параметр приймає від'ємне значення, і тоді говорять, що між показником і фактором існує обернена кореляційна залежність, тобто, при збільшенні значення фактора, значення показника зменшуватиметься, і навпаки.
|
|
|
Приклад 3 .
Перевірити тісноту взаємозв'язку між обсягом продаж цукерок фабрикою « Світоч» та витратами фірми на рекламу для просування товару на ринку ( див. приклад 1)
- витрати на рекламу та обсяг продаж відповідно.
|
|
|
|
|
| 
|
|
| 5 | 25 | -5 | 25 | -15 | 225 | 75 |
| 6 | 30 | -4 | 16 | -10 | 100 | 40 |
| 9 | 35 | -1 | 1 | -5 | 25 | 5 |
| 12 | 45 | 2 | 4 | 5 | 25 | 10 |
| 18 | 65 | 8 | 64 | 25 | 625 | 200 |
| 200 | - | 110 | - | 1000 | 330 |
.
Отже, між обсягом продаж і витратами фірми на рекламу існує тісна кореляційна залежність (значення коефіцієнта кореляції по модулю прямує до одиниці), тобто. вплив фактора на показник є важливим, причому така залежність пряма (даний коефіцієнт приймає додатнє значення).
5. Оцінка щільності взаємозв язку між показником та фактором та перевірка побудованої моделі парної лінійної регресії на адекватність реальній дійсності. Коефіцієнт детермінації та індекс кореляції. Властивості.
|
|
|
Наступним етапом дослідження моделі парної лінійної регресії є оцінка її на адекватність реальній дійсності. Така оцінка здійснюється з метою встановлення достовірності відображення побудованою моделлю досліджуваного явища та правильності вибору впливу саме даного фактора на показник, а не якогось іншого фактора.
Кількісними критеріями перевірки побудованої моделі парної лінійної регресії на адекватність реальній дійсності є коефіцієнт детермінації та їндекс кореляції. Саме на основі значення останнього критерію і його властивостей можна зробити висновок про те, наскільки побудована економетрична модель узгоджується з інформацією, на підставі якої її побудовано, тобто висновок щодо достовірності моделі.
Для розрахунку значень коефіцієнта детермінації та індексу кореляції попередньо на основі статистичних даних показника і фактора треба знайти:
- середнє арифметичне значення показника 
;
- значення невідомих параметрів моделі ;
- значення відхилень 
.
Тоді, коефіцієнтом детермінації моделі парної лінійної регресії називають величину
(12),
а індексом кореляції величину 
(13)
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 312; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!