Электрические цепи переменного тока

Однофазные цепи

В результате изучения данного раздела студенты должны:

1) знать содержание терминов: резистор, сопротивление, ин­дуктивная катушка, индуктивность, индуктивное сопротивление, кон­денсатор, емкость, емкостное сопротивление, фаза, начальная фаза, угол сдвига фазы, период, частота, угловая частота, мгновенное, действующее и среднее значения гармонических величин, полное, активное, реактивное, комплексное сопротивления и проводимости; полная, активная, реактивная, комплексная мощности; характеристики и параметры элементов схем замещения цепей однофазного тока; условия и способы получения резонансов напряжений и токов;

2)  понимать особенности электромагнитных процессов и энергетические соотношения в цепях синусоидального тока, экономическое значение коэффициента мощности, особенности анализа простейших электрических цепей с магнитосвязанными элементами;

3) уметь составлять дифференциальные и комплексные уравнения электрического состояния линейных цепей; представлять гармонически изменяющиеся величины тригонометрическими функциями, графиками, вращающимися векторами и комплексными числами; строить векторные диаграммы неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей; определять опытным путем параметры схем замещения пассивных двухполюсников; с помощью электроизмерительных приборов измерять токи, напряжения и мощности в электрических цепях; строить потенциальные (топографические) диаграммы для неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей.

Изучая явления резонанса, необходимо усвоить следующее. При резонансе напряжение и ток на зажимах цепи всегда совпадают пo фазе. Настройка же цепи на резонанс зависит от схемы соединения индуктивности и емкости. Для последовательной цепи условием резонанса является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений: X_L=X_C. Для цепи, содержащей параллельный контур, в одной из ветвей которого находится индуктивная катушка, а в другой — конденсатор,- условием резонанса является равенство реактивных проводимостей ветвей: В_L=В_C.

При построении векторных диаграмм один из векторов прини­мают за основной (опорный), располагая его обычно по положи­тельному направлению горизонтальной оси. В этом случае началь­ная фаза тока или напряжения в зависимости от того, что данный вектор изображает, равна нулю. Для последовательной цепи за ос­новной вектор принимают вектор тока, а для параллельной - век­тор напряжения.

На рис, 12 показаны последовательная цепь (рис. 12, а) и ее векторная
(рис. 12,б) и потенциальная (рис. 12, в) диаграммы. На рис. 13,а в той же последовательности, что и на рис. 12, показаны параллельная цепь и ее векторная и потенциальная диаграммы.

В том случае, когда сложение или вычитание вектора требуется производить не графически, а математически (например, при расчете электрической цепи), векторы раскладывают на две составляющие, одна из которых называется активной, а вторая — реактивной. Активная составляющая напряжения совпадает по фазе с током, а реактивная — опережает ток или отстает от нет по фазе на 90°. Активная составляющая тока совпадает по фазе напряжением, а реактивная — опережает напряжение или отстав от него по фазе на 90°. Зная сдвиг между, током и напряжением значения векторов тока и напряжения, легко определить соответствующие составляющие этих векторов. Например, если нам зада синусоидально изменяющийся ток уравнением вида i=I_M sin(ωt—φ) то его активная и реактивная составляющие для действующего значения соответственно равны: Ia=I cos φ; Ip=I sinφ, где I=Im/

Аналогично для напряжений: U_a = U cosφ; U_p = Usinφ.

На диаграмме, изображенной на рис. 13,б, показаны активны и реактивные составляющие токов.

В том случае, когда необходимо произвести сложение двух или более векторов, выражающих собой токи или напряжения, определяют их активные и реактивные составляющие и модуль результирующего вектора:

;

,

где индексы L и С указывают на характер реактивной составляющей (индуктивность или емкость). Начальная фаза результирующего вектора определяется через tg φ:

.

Для практических расчетов удобнее выражать векторы тока и напряжения, а также сопротивления и проводимость комплексными числами, в которых активные составляющие являются действительными значениями, а реактивные — мнимыми. Причем знак у мнимого значения зависит от характера реактивной составляющей. При расчете электрических цепей переменного тока с помощью комплексных чисел могут быть использованы методы расчета, применяемые для цепей постоянного тока. Уравнения Кирхгофa в этом случае записываются как соответствующие геометрические суммы.

При выполнении расчетов по методу комплексных чисел следует иметь в виду, что действительная и мнимая части комплексных сопротивлений, проводимости и мощности всегда представляют собой соответственно активную и реактивную составляющие этих значений; что же касается комплексного напряжения и комплексного тока, то такое положение имеет место лишь в частных случаях. Действительная и мнимая части комплексных напряжения и тока определяются начальными фазами значений, иначе говоря, зависят от расположения соответствующих векторов относительно осей комплексной плоскости, тогда как их активная и реактивная составляющие определяются углом сдвига по фазе φ между этими двумя векторами.

При анализе магнитосвязанных электрических цепей необходимо иметь в виду, что при составлении уравнения по второму закону

Рис. 12

 

Рис. 13

Кирхгофа, при учете напряжения от взаимоиндукции сравнивается напряжения обхода рассматриваемой катушки и направление, тока во влияющей на нее катушке относительно одноименных зажимов кату­шек. Если эти направления совпадают, то напряжение взаимоиндук­ции учитывается в уравнении с плюсом, в противном случае — с минусом.

 

Задача 1. Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников, схема которой изображена на рис. 13,в. Дано: U=120 В, R₁=10 Ом, R₂=24 Ом, R₃=15 Ом, L₁=19,l мГ, С₂=455 мкФ; L₃=63,5 мГ, f =50 Гц. Определить токи , , в ветвях цепи, напряжения на участках цепи , , ак­тивную, реактивную и полную мощности и построить векторную диа­грамму на комплексной плоскости.                                                                                                                                                                                                                                                                             

Решение. Выражаем сопротивления ветвей цепи в комплекс­ной форме:

 ;

 Ом.

Переходя от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной, получаем:

Ом,

где ;   tg φ₁=  ;

Выражаем заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения не задана, то ее можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения совпадающим с положительным направлением действительной оси. В этом случае мнимая составляющая комплексного числа отсутствует (рис. 14) = U—120 В. Полное комплексное сопротивление цепи

             +j                     

                                                               

 

                               

–                          +

 

              -j

.         Рис. 14

Определяем ток в неразветвленной части цепи

Токи  и  в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в неразветвленной части цепи:

Токи  и  можно найти иначе:

 

Найдем мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:

 

Для определения активной и реактивной мощностей полную мощность, выраженную комплексным числом в показательной форме, переводим в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплекса обозначаемая Re представляет собой активную мощность, а мнимая обозначаемая I_m— реактивную:

=540 cos 23⁰55’+j540 sin 23⁰55’=494+j218 B∙A,

откуда P=494 Вт; Q=218 вар.

Активную и реактивную мощности можно найти иначе:

P=Re[ ]=Re[120∙ ] =120∙4.5 cos 23⁰  = 494 Вт;

P₁=R₁I₁²=10∙4.5²=202 Вт; P₂=P₂I₂²=180 Вт;

P₃=R₃I₃²=112 Вт.

Q=I_m[ ]=I_m[120∙ ]=120∙4,5 sin 23⁰  = 218 вар;

 

Q₁=X₁I₁²=6∙4.5² = 122 вар;

Q₂=X₁I₂² = -52.5 вар;

Q₃=X₃I₃² = 150 вар;

Проверка показывает, что P=P₁+P₂+P₃ = 494 Вт

 

Учитывая, что Q₁ и Q₃ положительны (реактивная мощность индук­тивных катушек), a Q2 отрицательно (реактивная мощность конден­сатора), получим Q=Q₁—Q₂+Q₃=218 вар.

Рис. 15

На рис. 15 приведена векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по расчетным данным. Порядок ее построения следую­щий: по результатам расчетов отложены векторы токов и , затем по направлению  отложен вектор R₁  и перпендикулярно к нему в сторону опережения — вектор jX₁ . Их сумма дает вектор Z₁ . Далее в фазе с  построен "вектор R₂  и перпендикулярно к нему в сторону отставания вектор JX₂ , а их сумма дает вектор на­пряжения на параллельном участке . Тот же вектор можно полу­чить, если в фазе с  отложить R₃ и к нему прибавить вектор jX₃ , опережающий  на 90°. Сумма векторов Z₁  и  дает вектор при­ложенного напряжения .                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

Задача 2. Определить эквивалентное комплексное сопротивление цепи
(рис. 16, а), ток и напряжение между точками а и b, с и d, если U=130 В, R₁=2 Ом, R₂ =3 Ом, ωL₁= =3Ом, ωL₂=7 Ом, ωМ=1 Ом.

Решение. Из рис. 16,а следует, что при заданном направлении тока в каждой катушке потоки самоиндукции и взаимной индукции одинаково направлены. Следовательно, катушки включены со­гласно. Заданная цепь может быть представлена схемой замещения, показанной на рис. 16,б. Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа:  

=R₁ +jωL₁ +jωM +R₂ +jωL₂ +jωM .

Эквивалентное комплексное сопротивление цепи

=R₁+jωL₁+R₂+jωL₂+2jωM=5+j12=12 Ом.

Искомый ток

= / =130/(13 )=10  A.

 

 

       

 

 

Рис. 16

 

Комплексные напряжения между точками а и b, с и d равны:

_ab=(R₁+jωL₁+jωM) =(2+j4)10 =44.7 B;

_cd=(R₂+jωL₂+jωM) =(3+j8)10 =85.5 B.

На рис. 16, в представлена векторная диаграмма. По действительной оси отложен вектор напряжения, от него в сторону отставания на 67°20' направлен вектор тока, затем отложены векторы паде­ния напряжения в каждой из катушек.

 

Трехфазные цепи

При изучении этого раздела особое внимание необходимо обратить на преимущества, которые дает трехфазная система по сравнению с однофазной. Рассматривая схемы соединения обмоток генераторов, надо уяснить связь между фазными и линейными напряжениями в схеме соединения звездой, а также связь между фазными и линейными токами в схеме соединения треугольником.

Необходимо четко представить, что в трехфазной цепи могут быть два режима: симметричный и несимметричный. Расчет трехфазной цепи в симметричном режиме сводится к расчету для одной фазы и производится аналогично расчету однофазной цепи с одним источником. Трехфазная цепь может рассматриваться как разветвленная цепь с тремя источниками питания, и для ее расчета применяются методы, используемые при расчете электрических цепей с.несколькими источниками. Например, если несимметричный приемник соеди­нен без нейтрального провода, то для расчета трехфазной цепи можно применить метод узлового напряжения в комплексной форме.

После изучения настоящего раздела студенты должны:

1) знать основные элементы трехфазных цепей, способы соединения фаз обмотки генератора и включения в трехфазную цепь приемников; способы изображения трехфазной симметричной системы - э. д. с;

2) понимать роль нейтрального провода; принципы построения потенциальных диаграмм; влияние рода и схемы включения нагрузки на величину тока в нейтральном проводе, схемы электроснабжения предприятий;

3) уметь анализировать различные режимы симметричных и несимметричных цепей; читать схемы соединения трехфазных и однофазных приемников; предвидеть последствия коммутационных изменений в цепи на ее электрическое состояние.

Задача 1. В трехфазную сеть с линейным напряжением U_Л=220 В включен приемник, соединенный треугольником, сопротивле­ние каждой фазы которого =(10+j10) Ом (рис. 17). Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии и показания каждого ваттметра. Построить векторную диаграмму. Найти те же величины при обрыве цепи в точке d.

Решение. Расчет токов в трехфазных цепях производится комплексным методом. Примем, что вектор линейного напряжения  направлен по действительной оси, тогда

= =220 B; = =220 B;

= =220 B.

Представим комплекс сопротивления в показательной форме =(10+j10)=14,14

Определяем фазные токи:

_ab= / =220/14,14 =15,6 =11- j11 A;

_bc= / =220 /14,14 =15,6 = -15-j4,03 A;

_ca= / =220 /14,14 =15,6 =4.03+j15 A.

 

Рис. 17

Находим линейные токи:

_A= _ab- _ca=6.97-j26=26.9  A;

_B= _bc- _ab=-26+j6.97=26.9  A;

_C= _ca- _bc=19+j19=26.9  A.

Определяем показания ваттметров:

P₁=R_e[ _{AB A}]=R_e[220∙26,9 ]=220∙26,9 cos 75⁰=1530 Вт;

P₂=R_e[ _{CB C}]=Re[-220 ∙26,9 ]=R_e[220 ∙26,9 ]=

=22026,9 cos 15⁰ = 5730 Вт.

 

Активная мощность цепи равна алгебраической сумме показаний ваттметров

P=P₁+P₂=1530+5730=7260 Вт

Или по известному выражению:

P= U_ЛI_Л cosφ = ∙220∙26,9 cos 45⁰=3RI²_φ=7260 Вт.

 

На рис. 18 приводится векторная диаграмма напряжений и токов.

 

При обрыве в точке d токи в фазах нагрузки будут:

 

_bc= _bc/ = /14,14  = 15,56  = -15-j4,03 A;

_ab= _ca= _cb/2 = /28,28  = 7,78  = 7,5 + j2,02 A.

 

Вычислим линейные токи:

_A=0;    _C= - _B= _ca- _bc=22,5 +j6,05 =23,3 A,

где

 

Рис. 18

Находим показания ваттметров:

 

P₁=0; P₂=Re[ _{CB C}]=Re[220 ∙23,3 ]=

=220∙23,3cos45⁰=3630 Вт.

Рис. 19

Задача 2. В четырехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением U_л=220 В включен звездой приемник, активные и индуктивные сопротивления фаз которого соответственно равны: R_a =3 Ом, X_а = 4 Ом, R_b=3 Ом, Х_b=5,2 Ом, R_c=4 Ом, Х_с=3 Ом (рис. 19). Определить токи в линейных и нейтральном проводах и построить векторную диаграмму.

Решение. Считаем, что вектор фазного напряжения _а направлен по действительной оси, тогда:

_a=U_л=/ =127 B, _b =127 B, _c=127 B.

Находим линейные токи:

_a= _a/ _a=127/(3+j4)=127/(5 )=25.4 A;

_b= / _b=127 /(3+j5.2)=127 /(6 )=

=21.2 A;

 

Рис. 20                                    Рис. 21

_C= _C/ _C=127 /(4+j3)=127 =25.4 A.

Ток в нейтральном проводе определяется как геометрическая сумма линейных токов. Для определения перейдем к алгебраической форме записи комплексов токов:

_N= _a+ _b+ _c=(15,24-j20,3-21,2+3,05+j25,15)A=(2,91-j4,85)А=5,7 А.

Векторная диаграмма показана на рис. 20.

При несимметричной нагрузке для определения активной мощности находят мощность каждой фазы отдельно: P_Ф=U_ФI_Фcosφ, а мощность всей трехфазной системы получают как сумму мощностей всех фаз или используют схему включения двух ваттметров.

Задача 3. В трехфазную сеть с линейным напряжением U_л= =380 В включен звездой приемник, активное, индуктивное и емкост­ное сопротивления фаз которого равны: R_a=X_L=Xc=22Ом (рис. 21). Определить токи и построить векторную диаграмму,

Решение. Расчет токов производим комплексным методом. Находим фазные напряжения: U_Ф=U_a/ =280/1.73=220 B.

_a=220 B; _b=220 =(-110-j191) B;

_c=220 =(-110+j191) B.

 

Определяем напряжение между нейтральными точками приемника и источника питания:

 

Находим напряжения на зажимах фаз приемника:

_an=220-602=-382 B;

_bn=(-110-j191)-602=(-712-j191) B=737 ;

_cn=(-110+j191)-602=(-712+j191) B=737 4;

 

и фазные (линейные) токи:

_a= _an/R_a=-382/22=-17.3 A;

_b= _bn/(-jX_C)=(-712-j191)/(-j22)=(8.68-j32.4) ;

_c= _cn/(jX_L)=(-712+j191)/j22=(8.68+j32.4) A.

Векторная диаграмма изображена на рис. 22.

Для подсчета активной мощности в данной схеме можно воспользоваться уравнениями, записанными для схемы включения двух ваттметров. Из рассмотрения этой задачи следует, что напряжения на зажимах фаз приемника получаются неодинаковыми. Поэтому несимметричные приемники (бытовые и
т. д.) соединяют либо четырехпроводной звездой, либо треугольником.

Рис. 22

 

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 850; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!