Розділ 1. Магнітне поле у вакуумі

Магнітне поле і його характеристики

1.1 Магнітне поле

У 1820 році Ерстед встановив, що рухомі заряди взаємодіють не так як ті, що перебувають в стані спокою. У 1901 році Ейхенвальд показав, що коли заряджене тіло перебуває в спокої відносно спостерігача навколо нього існує електричне поле, а якщо почне тіло рухатися, то виникає магнітне поле.. Щоб виявити його наявність потрібно розмістити біля рухомого тіла магнітну стрілку і вона буде відхилятися на певний кут.

Ампер встановив, що будь-який електричний струм здатен взаємодіяти з іншим струмом з силою, яку неможливо пояснити кулонівською взаємодією. Згідно з теорією близькодії нерухомі електричні заряди взаємодіють через електричне поле.

Провідники зі струмом є електрично нейтральними, але якщо пропустити струм по двох паралельних провідниках, то вони будуть притягуватися або відштовхуватись.

Рис.1.1                                    Рис.1.2

Взаємодію між провідниками зі струмом (між рухомими електричними зарядами) називають магнітною взаємодією, а сили, з якими вони діють один на одного – магнітними силами.

Причиною магнітних взаємодій є магнітне поле – особлива форма матерії, через яку взаємодіють рухомі заряджені частинки, або тіла, які мають магнітний момент. Експериментальним доведенням існування магнітного поля є існування електромагнітних хвиль. Магнітне поле є окремим проявом електромагнітного поля.

Нерухомі заряди не створюють магнітного поля, його утворюють лише електричний струм і постійні магніти. При вивченні взаємодії постійних магнітів було встановлено, що постійні магніти мають два полюси (північний і південний), однойменні полюси відштовхуються, а різнойменні притягуються. Це може привести до думки, що в природі можуть існувати магнітні заряди. Проте, якщо постійний магніт поділити на дві частини, то кожна частина все одно буде мати два полюси. Не може існувати магніт з одним полюсом.

Якщо окремі тіла можна зарядити позитивно або негативно, оскільки існує елементарний заряд, то ніколи не можна відокремити північний полюс магніту від південного. Отже, згідно з гіпотезою про елементарні магнітні струми Ампера, магнітні заряди в природі не існують. Всередині атомів і молекул циркулюють елементарні електричні струми. Якщо вони розміщені хаотично, то їх дія взаємно компенсується і магнітних властивостей тіло не має.

В намагніченому стані елементарні струми орієнтовані. Тоді магнітні властивості тіла пояснюються замкненими електричним струмами всередині нього. Таким чином, магнітна взаємодія – це взаємодія електричних струмів.

Щоб дослідити властивості магнітного поля використовують маленьку плоску рамку зі струмом, підвідні проводи до якої скручують так, щоб в них проходив той самий електричний струм, але в протилежних напрямах. Тому сили магнітного поля, які діють на проводи однакові, але протилежно направлені.

Рис.1.3

Розміри рамки і сила струму мають бути такими, щоб магнітне поле самої рамки не спотворювало досліджуване поле. Таку рамку називають пробним контуром.

Розмістимо провідник біля пробного контуру. Якщо струму в провіднику немає, рамка перебуває в стані байдужої рівноваги. Якщо струм є, то рамка повернеться так, щоб провідник опинився в площині рамки. Якщо змінити напрям струму в провіднику рамка повернеться на 180^о. Тобто магнітне поле чинить орієнтуючу дію на пробний контур.

Пробний контур в магнітному полі зазнає дії обертального моменту сили М. Для певної точки магнітного поля максимальне значення обертального моменту дорівнює добутку сили струму, який протікає в контурі, на площу контуру.

.

Величину р_с, що характеризує магнітні властивості контуру, називають магнітним моментом контуру. Він визначає поводження контуру в зовнішньому магнітному полі.

.

Рис.1.4

Магнітний момент контуру – векторна величина. Напрям вектора збігається з напрямом вектора позитивної нормалі n до площини контуру.

Додатній напрям нормалі збігається з напрямом переміщення правогвинтового свердлика, який обертається в напрямі протікання струму. Напрям вектора магнітного моменту показує північний полюс магнітної стрілки.

1.2. Індукція магнітного поля

Відношення максимального магнітного моменту, що діє на контур до магнітного моменту самого контуру не залежить від властивостей пробного контуру і може бути характеристикою магнітного поля:

,                                                 (1.1)

де В – магнітна індукція поля. Рівність (1.1) дозволяє визначити лише модуль магнітної індукції. Напрям вектора В збігається з напрямом зовнішнього магнітного поля.

Магнітна індукція – силова характеристика магнітного поля в даній точці простору. В загальному випадку В залежність магнітного моменту від орієнтації контуру в просторі визначається за правилом векторного добутку.

,

,                                      (1.2)

де α – кут між векторами магнітної індукції і магнітного моменту.

З формули (1.2) видно, що максимальне значення обертального моменту досягається при α=π/2 рад.

Рівновага контуру в магнітному полі можлива, коли В і р_с направлені по одній прямій.

В системі СІ одиниці вимірювання магнітної індукції – Тл („тесла”).

1 Тл – це індукція магнітного поля, при якій на контур площею 1 м² зі струмом 1 А діє обертальний момент 1 Н∙м.

 

Лінії магнітної індукції – лінії, дотичні до яких в даній точці збігаються за напрямом з вектором В в цій точці.

Лінії магнітної індукції завжди замкнені і завжди охоплюють провідники зі струмом. Такі магнітні поля називають вихровими. Напрям ліній магнітної індукції пов’язаний з напрямом протікання струму правилом правого гвинта.

Магнітне поле називається однорідним, якщо в усіх точках поля магнітна індукція однакова:

.

Лінії магнітної індукції однорідного поля паралельні, їх густина однакова в усіх точках поля. Густиною ліній магнітної індукції характеризують значення магнітної індукції. Через одиничну площину, перпендикулярну лініям магнітної індукції проводять таке число ліній, що дорівнює або пропорційне модулю магнітної індукції в цій області магнітного поля.

1.3. Закон Біо-Савара-Лапласа

Для магнітного поля справедливий принцип суперпозиції:

.                                              (1.3)

Розглянемо магнітні поля, створені постійними електричними струмами.

Заряд Q, який рухається з постійною швидкістю V створює магнітне поле індукцією В (рис.1.5):

,                                           (1.4)

де μ₀ – магнітна стала ( ), r – радіус-вектор від заряду до точки спостереження. Кінець радіус-вектора нерухомий в даній системі відліку, а початок рухається зі швидкість V. Тому магнітна індукція залежить не лише від положення точки спостереження, а і від часу: .

Рис. 1.5

За формулою (1.4) вектор магнітної індукції направлений перпендикулярно до площини, в якій розташовані вектори  і , причому обертання навколо  в напрямі  утворює з напрямом  правогвинтову систему.

Нехай заряд рівномірно розподілено по поверхні з поверхневою густиною , тоді

.

Врахуємо, що  і підставимо значення заряду в формулу (1.4), тоді вона набуде вигляду (1.5):

.                                 (1.5)

Якщо струм тече по тонкому провіднику, в якому площа поперечного перерізу , то

,

де dl – елемент довжини провідника.

Введемо вектор  в напрямі протікання струму І. Тоді

,                                          (1.6)

 – об’ємний елемент струму,  – лінійний елемент струму.

Замінимо в формулі (1.5) об’ємний елемент струму лінійним:

.                                   (1.7)

Формули (1.5) і (1.7) є математичними записами закону Біо-Савара-Лапласа. Для знаходження магнітної індукції поля в даній точці, за принципом суперпозиції про інтегруємо (1.5) або (1.7):

.                       (1.8)

Розрахунок спрощується, якщо розподіл струму має певну симетрію.

1.4. Магнітне поле прямого струму

Використаємо формулу (1.7). В точці А вектори dB всіх струмів мають однаковий напрям, тому складання векторів замінюємо складанням їх модулів.

;

;

;

.

Інтегруючи за всіма елементами струму (від – π/2 до +π/2), отримаємо:

.                       (1.9)

Рис.1.6

 

1.5. Магнітне поле на осі колового струму

Вектор  елемента струму  від всіх струмів буде утворювати „конус” і таким чином результуючий вектор  направлений по осі z.

,

.

В цій формулі вже враховано, що кут між dB і Idl становить π/2.

Проінтегруємо по всім ділянкам dl (2πR), врахувавши що , . Тоді отримаємо:

Рис.1.7                                   .    (1.10)

Звідси слідує, що в центрі витка з струмом (r=0) і на відстані  модуль вектора магнітної індукції визначається за формулами відповідно:

,

.

 

Лекція 13

Закон повного струму

2.1. Потік і циркуляція вектора магнітної індукції.

Магнітне поле володіє двома властивостями. Ці властивості пов’язані з потоком і циркуляцією векторного поля і виражають основні закони магнітного поля.

Потік вектора В через замкнену поверхню дорівнює нулю, тобто за теоремою Гауса:

.                                             (2.1)

Дана теорема виражає, що лінії вектора магнітної індукції не мають ні початку, ні кінця, тому число ліній, які виходять з будь-якого об’єму замкненої поверхні S завжди дорівнює числу ліній, що входять в об’єм. З цього витікає, що потік вектора В крізь поверхню S, яка обмежена деяким замкненим контуром не залежить від форми поверхні S.

Рівняння (2.1) виражає також той факт, що в природі не існує магнітних зарядів, на яких би починалися або закінчувалися лінії магнітної індукції. Тобто, на відміну від електричного поля, магнітне поле не має джерел.

Теорема про циркуляцію вектора В:

Циркуляція по деякому контуру Г чисельно дорівнює добутку магнітної сталої на алгебраїчну суму сил струмів, що пронизують контур.

,                                     (2.2)

.

І_і – величина алгебраїчна. Вважають, що І_і>0, якщо напрям струму зв’язаний з напрямом обходу контуру правило правого гвинта. Струм протилежного напрямку негативний.

Якщо струм рівномірно розподілений по об’єму, в якому знаходиться контур Г, то

.                                                (2.3)

Густина струму j відповідає точці, де знаходиться елемент dS, причому вектор  утворює з напрямом обходу контуру правогвинтову систему.

В загальному вигляді рівняння (2.2):

.                           (2.4)

Так як циркуляція вектора В пропорційна силі струму, який обмежений контуром, то магнітному полю в загальному випадку не можна приписувати скалярний потенціал, який був би зв’язаний з індукцією магнітного поля, аналогічно до електричного поля ( ). Даний потенціал був би неоднозначним. При кожному обході по контуру і поверненні в початкову точку він отримував б приріст , проте в тій області простору, де струмів немає магнітний потенціал  вводиться і використовується.

Теорема про циркуляцію вектора В відіграє значну роль при обчисленні індукції магнітного поля. Дана теорема аналогічна до теореми Гауса для напруженості та електричного зміщення в електричному полі.

Поле вектора магнітної індукції визначається всіма струмами, а циркуляція – лише тими струмами, які пронизують контур. Але в деяких випадках, при існуванні певної симетрії, теорема про циркуляцію В є ефективною і дає змогу знаходити значення магнітної індукції (у випадках коли обчислення циркуляції можна звести до множення В на довжину контуру чи її частини).

Розглянемо тепер диференціальну форму основних законів магнітного поля.

Дивергенція поля

В магнітному полі дивергенція поля магнітної індукції дорівнює нулю:

                                                (2.5)

Рівняння (2.5) є фундаментальним і справедливе не лише для постійних струмів, а і для змінних магнітних полів.

Ротор поля вектора В

Розглянемо відношення циркуляції вектора В до площі S, що обмежена даним контуром. Нехай це відношення прямує до деякої границі при :

.

Дана границя залежить від орієнтації контуру в даній точці простору. Орієнтація задається вектором нормалі n до площини контуру. Напрям її зв’язаний з напрямом обходу по контуру правилом правого гвинта.

Даний вектор, до якого прямує розглядувана величина є ротором поля вектора магнітної індукції:

,                                   (2.6)

де  – проекція вектора на нормальn.

Згідно (2.6) рівняння (2.4) набуде вигляду:

.

Або:

                                       (2.7)

Останнє рівняння є диференціальною формою теореми про циркуляцію вектора В.

З цього видно, що ротор В співпадає з вектором густини струму j в даній точці.

 

В електричному полі циркуляція вектора напруженості дорівнює нулю, тому для електричного поля справедливо:

.                                                   (2.8)

Векторне поле, ротор якого всюди дорівнює нулю є потенціальним. В протилежному випадку поле є соленоїдальним.

2.2. Магнітне поле соленоїда і тороїда

Соленоїд – котушка, на яку намотано довгий провідник (l>>d).

Нехай струм І тече по провіднику, який намотано на довгий циліндр (соленоїд). На одиницю довжини циліндра припадає n витків провідника.

Якщо крок даної котушки малий, то кожен виток можна приблизно замінити замкненим витком. Також вважаємо, що переріз циліндра настільки малий, що струм можна вважати таким, що тече по його поверхні.

Чим довший соленоїд, тим менша індукція ззовні нього. Магнітне поле ззовні нескінченного соленоїда відсутнє.

Рис. 2.1

З міркувань симетрії індукція всередині соленоїда направлена по його осі і складає з напрямом сили струму правогвинтову систему.

Візьмемо прямокутний контур. Тоді циркуляція магнітної індукції по контуру буде чисельно дорівнювати Bl. В такому випадку контур охоплює струм nlI.

За теоремою про циркуляцію вектора магнітної індукції

.

Тоді всередині довгого соленоїда поле визначається за формулою:

.                                           (2.9)

Поле однорідне за виключенням областей, які прилягають до торців соленоїда.

Добуток nI називають числом Ампер-витків.

Тороїд – провідник, намотаний на каркас, який має форму тора (рис.2.2).

Рис.2.2

Лінії магнітної індукції у випадку тороїда направлені по колу. В якості контуру можна взяти одне з таких кіл. Якщо контур знаходиться всередині тороїда (кола радіуса r), то він містить струм NI, де N – кількість витків, охоплених контуром.

За теоремою про циркуляцію:

.

І відповідно поле всередині тороїда:

.                                 (2.10)

Таким чином, всередині тороїда магнітне поле співпадає з полем прямого струму NI, який тече по його осі.

Якщо  при незмінному перерізі тороїда отримаємо формулу (2.9) для соленоїда.

Якщо контур знаходиться ззовні тороїда, то струмів він не охоплює, . Отже ззовні тороїда поле відсутнє.

2.3. Закон Ампера

Кожен носій струму відчуває дію магнітного поля. Дія цієї сили передається провіднику, по якому рухаються заряди. В результаті магнітне поле діє з певною силою на сам провідник зі струмом. Такі висновки можна зробити із теоретичних міркувань.

Розглянемо ці явища з практичної точки зору.

Нехай об’ємна густина заряду, який є носієм струму чисельно дорівнює ρ. Виділимо елемент об’єму dV провідника. В ньому знаходиться заряд (носій струму) ρdV. Тоді сила, що діє на елемент провідника dV, може бути записана у вигляді:

,

де U – швидкість впорядкованого руху зарядів.

Враховуючи, що , маємо

.                                         (2.11)

Якщо струм тече по тонкому провіднику, то . Тоді

,                                          (2.12)

– вектор, що співпадає за напрямом з струмом і характеризує елемент довжини тонкого провідника.

Рівняння (2.11) і (2.12) виражають закон Ампера. Інтегруючи ці рівняння по елементам струму (об’ємним та лінійним), отримаємо силу, яка діє на провідник. Такі сили називаються Амперовими силами.

,

α – кут між напрямом сили струму І і вектором магнітної індукції В.

Напрям сили Ампера визначають за правилом лівої руки: якщо силові лінії входять в долоню, чотири пальці вказують напрям сили струму, то великий палець, відігнутий на 90^о покаже напрям сили Ампера.

2.4. Сила Лоренца

Сила F, що діє на точковий заряд Q залежить від положення даного заряду і швидкості його руху. Відповідно силу F розділяють на дві складові – електричну F_ел (не залежить від руху) і магнітну F_м (залежить від швидкості руху).

.

В будь-якому місці поля магнітна складова цієї сили F_м перпендикулярна визначеному в даному місці напряму і модуль її пропорційний складовій швидкості, яка перпендикулярна до даного виділеного напрямку.

,                                                (2.13)

тоді повна електромагнітна взаємодія, яка діє на заряд Q:

.                                             (2.14)

Дану силу називають силою Лоренца.

Рівняння (2.14) справедливе для постійних та змінних електричних і магнітних полів.

За дією сили Лоренца на заряд можна визначити модулі і напрям напруженості електричного та індукції магнітного полів, тому рівняння (2.14) можна розглядати для визначення електричних і магнітних полів.

На заряд, що знаходиться в стані спокою в магнітному полі, магнітне поле не діє.

Модуль сили Лоренца визначається за формулою:

.

Для позитивних зарядів напрям сили Лоренца визначається за правилом лівої руки (аналогічно до сили Ампера), для негативних зарядів сила Лоренца має протилежний  напрям.

Рис.2.3

Проаналізувавши останню формулу можемо зробити висновок:

- якщо V=0, то F_л=0, тобто сила Лоренца не діє на нерухомі заряди;

- якщо α=0, sin α=0, то F_л=0. Тобто якщо частинка рухається так, що вектор її швидкості паралельний вектору магнітної індукції, на неї з боку магнітного поля не діє ніяка сила.

Оскільки сила Лоренца завжди перпендикулярна швидкості руху частинки, сила Лоренца не змінює модуль швидкості, а змінює лише її напрям.

Сила Лоренца не виконує роботи.

 

Лекція 14

---

Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 820; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!